數(shù)學(xué)物理方法1-5分式線性變換

1、1.5 分式線性變換,導(dǎo)數(shù)f (z0)的幅角Argf (z0)是曲線經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角.,w=f(z),導(dǎo)數(shù)f ( z0)的模|f ( z0)|是經(jīng)過w=f(z)映射后通過z0的任何曲線在z0的伸縮率。,Z 平面,w 平面,復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義（伸縮系數(shù)與旋轉(zhuǎn)角）,導(dǎo)數(shù)不為零的解析變換屬于保角變換,1 分式線性變換的定義,5,2 分式線性變換的分解,可分解為下述簡單類型變換的復(fù)合,6,(I)(II)型變換的幾何性質(zhì),旋轉(zhuǎn),位似(伸縮),平移,平移映射,8,3. 分式線性變換的保圓周(圓)性,對(duì)(I)顯然將圓周(或直線)變?yōu)閳A周(或直線).,對(duì)(II)型:,圓周(或直線)

2、可表為,它表示圓周或直線.,9,注,在擴(kuò)充z平面上,直線可視為過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周.,補(bǔ)充定義,10,定理1.5.3,注,三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定一分式線性變換.,證明,先考慮已給各點(diǎn)都是有限點(diǎn)的情形,設(shè)所求分式線性函數(shù)是,那么，由,11,得,同理，有,因此，有,12,由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。,那么，由,同理有,由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。,其次，如果已給各點(diǎn)除 外都是有限點(diǎn)。則所求分式線性函數(shù)有下列的形式：,13,解,所求的分式線性變換為,整理得,即,14,15,解,16,即,整理后得,17,六 線性變換的

3、應(yīng)用,由于線性變換具有共形性,保交比性,保圓(圓周)性和保對(duì)稱點(diǎn)性,它在處理邊界為圓弧或直線的區(qū)域變換中,起著重要的作用,下面介紹一些類型.,例6,18,事實(shí)上,所述變換將實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸,且當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),即實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸是同向的,或,解,19,例7,解,故,20,即,故,解該方程組得,故所的線性變換為,21,例8,解,由線線變換的保對(duì)稱性,22,因此這個(gè)變換應(yīng)具有形式,故可令,從而所求的變換為,23,注1,確定變換(7.13)的k,只需再給一對(duì)邊界對(duì)應(yīng)點(diǎn).,注2,24,例9,解,因此所求變換具有形式,25,利用單位圓周變?yōu)閱挝粓A周的條件知,因此令,從而所求的變換為,26,注1,確定變換(7.14)的k,只需再給一對(duì)邊界對(duì)應(yīng)點(diǎn).,注2,作 業(yè),習(xí) 題 （P）,1（1）（3）（5）； 2,28,.,.,.,2 定理7.1,證明,29,.,.,.,30,3 分式線性變換的保對(duì)稱性,定理7.12,證明,由分式線性變換的保角性,由定理7.11,31,五 分式線性變換的保對(duì)稱性,1定義7.5,注,證明,“必要性”,32,則,所以,“充分性”,33,例10,34,解,作線線變換,復(fù)合上述兩個(gè)變換得,整理得,35,即由,得,從而所求的變換為,36,例11,解,(1)先作伸縮變換,(