線性代數(shù)-向量及其線性運(yùn)算.ppt

1、,Econ_ Password:111111,2.2 維向量,一 維向量,三 應(yīng)用舉例,二 向量的運(yùn)算,五 向量空間,四 向量組與矩陣,注意：集中精力，仔細(xì)理解,確定飛機(jī)的狀態(tài)，需 要以下6個(gè)參數(shù)：,飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z),機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角,機(jī)身的仰角,機(jī)翼的轉(zhuǎn)角,所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，會產(chǎn)生一個(gè)有序數(shù)組,、引入,一、維向量（Vector）,、定義,個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組,稱為一個(gè)維向量，其中稱為第個(gè)分量.,記作,如：,維向量寫成一行，稱為行矩陣，也就是行向量，,如：,記作,.,維向量寫成一列，稱為列矩陣，也就是列向量，,（Row Vector）,（Column Vector）,注

2、意,、行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；,、當(dāng)沒有明確說明時(shí)，都當(dāng)作實(shí)的列向量.,幾何上的向量可以認(rèn)為是它的特殊情形，即,n = 2, 3 且 F 為實(shí)數(shù)域的情形.,在 n 3 時(shí)，n 維向,量就沒有直觀的幾何意義了.,我們所以仍稱它為向,量，一方面固然是由于它包括通常的向量作為特殊,另一方面也由于它與通常的向量一樣可以定,義運(yùn)算，并且有許多運(yùn)算性質(zhì)是共同的，因而采取,這樣一個(gè)幾何的名詞有好處.,以后我們用小寫希臘字母 ， 等來代表向,量.,情形，,三、n 維向量的運(yùn)算,1. 兩個(gè)向量相等,定義 2 . 3 如果 n 維向量, = ( a1 , a2 , , an)T, = (b1 ,

3、b2 , , bn )T,的對應(yīng)分量都相等，即,ai = bi ( i = 1, 2, , n ) ,就稱這兩個(gè)向量是相等的，記作 = .,2. 向量的加法,1) 定義,定義 2 . 4 向量, = ( a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn )T,稱為向量, = ( a1 , a2 , , an)T, = (b1 , b2 , , bn )T,的和，記為, = + .,2) 運(yùn)算規(guī)律,交換律 + = + .,結(jié)合律 + ( + ) = ( + ) + .,4) 負(fù)向量,定義 向量 ( - a1 , - a2 , , - an )T 稱為向量, = (a1, a2, , a

4、n) 的負(fù)向量，記為 - .,顯然，對于所有的 ，都有, + 0 = ， + ( - ) = 0 .,5) 向量減法運(yùn)算,定義 - = + ( - ) .,3. 數(shù)量乘積,定義 2 . 5 設(shè) k 為數(shù)域 F 中的數(shù)，向量,( ka1 , ka2 , , kan ),稱為向量 = ( a1, a2, , an ) 與數(shù) k 的數(shù)量乘積，,記為 k .,1) 定義,向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn),算.,顯然，數(shù)域 F 上的向量經(jīng)過線性運(yùn)算后，仍,為數(shù)域 F 上的向量.,2) 運(yùn)算規(guī)律,k ( + ) =k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl )

5、 , 1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 .,如果 k 0, 0, 那么,k 0 .,3、向量與矩陣的關(guān)系,其第個(gè)列向量記作,個(gè)維行向量.,按行分塊,按列分塊,個(gè)維列向量.,其第個(gè)行向量記作,矩陣與向量的關(guān)系中注意什么是向量的個(gè)數(shù)、什么是向量的維數(shù)，二者必須分清.,若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組,例如,三、向量組、矩陣、線性方程組,向量組稱為矩陣的列向量組.,對于一個(gè) 矩陣有個(gè)維列向量.,記作：,向量組為矩陣的行向量組,類似的，矩陣有個(gè)維行向量.,四、線性方程組AX=b的向量表示,方程組的解x1=c1, x2=c2,., xn=cn

6、,可以用n維列向量： x=（c1,c2,., cn)T 來表示。此時(shí)稱為方程組的一個(gè)解向量。（P78）,例,維向量的集合是一個(gè)向量空間,記作 .,五、向量空間,1、定義,設(shè)為維非空向量組，且滿足,對加法封閉,對數(shù)乘封閉,那么就稱向量組為向量空間（Vector Space）,解,任意兩個(gè)維向量的和仍是一個(gè)維向量；,任意維向量乘以一個(gè)數(shù)仍是一個(gè)維向量,所以，所有維向量的集合構(gòu)成一個(gè)向量空間.,易知該集合對加法封閉，對數(shù)乘也封閉，,向量,幾何形象：可 隨 意 平行移動的有向線段,代數(shù)形象：向 量 的 坐標(biāo)表示式,2、結(jié)構(gòu),空間,2.3 向量間的線性關(guān)系,回憶：向量線性運(yùn)算,數(shù)乘,規(guī)定,稱為數(shù)與向量的

7、數(shù)量積.,設(shè)=k，那么兩個(gè)向量之間是什么樣的關(guān)系？ 引申到多個(gè)向量，關(guān)系又如何？,向量 能 由向量組 線性表示,一定義,若k，則稱向量與成比例,零向量是任一向量組的線性組合,任一維向量,都是基本向量組,的一個(gè)線性組合,事實(shí)上，有,向量組中每一向量都可由該向量組線性表示,b能夠?yàn)?，2，n線性表示：,令x1，x2，xn分別為1, 2,., n，則以上線性組合可以表示為：,定理1,注意:,定義,二、線性相關(guān)性的概念,則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān),相關(guān)結(jié)論P(yáng)92例3-4,定理向量組線性無關(guān)齊次線性方程組只有零解；,定理向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解.,二、線性相關(guān)性的判斷準(zhǔn)則P9

8、1,推論個(gè)維向量線性相關(guān).,推論個(gè)維向量線性無關(guān).,P91定理,解,例,1、設(shè)向量組,線性相關(guān)，則 .,2、設(shè)向量組,自己練習(xí)：,證法,進(jìn)一步：P94 定理2.6,向量組線性相關(guān)至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示,定理,向量組線性無關(guān)任何一個(gè)向量都不能由其向量線性表示,定理,P96 例題9,如果向量組,線性相關(guān)，則可由唯一線性表示.,線性無關(guān)，而向量組,證,設(shè),線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，,，（否則與線性無關(guān)矛盾）,可由線性表示.,即有,下證唯一性：,兩式相減有,線性無關(guān)，,即表達(dá)式唯一.,設(shè),性質(zhì),設(shè)向量組,若線性相關(guān),則向量組也線性相關(guān)；反之，若,向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).,P95 例7,此時(shí)A稱為B的一個(gè)部分組。,說明：,P95 例8,. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方 程組