離散數(shù)學(xué) 函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù).ppt

1、4.7 函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù),函數(shù)的復(fù)合 函數(shù)復(fù)合的定理 函數(shù)復(fù)合的性質(zhì) 反函數(shù) 反函數(shù)存在的條件 反函數(shù)的性質(zhì),由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，兩個函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上 就是兩個關(guān)系的合成，因此函數(shù)的合成方法與關(guān)系的合成 方法是一致的。,由圖可知 f 和g合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)， 記為g f。且gf =, , 。,例如: 已知 f 是A到B的函數(shù)，g 是B到C的函數(shù)，它們所確定的對應(yīng)關(guān)系如圖所示。,f=, , ， g=, , , ，,由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系同，兩個函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上就是兩個關(guān)系的合成。,例如設(shè)f 是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，它對所確定 的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：,如果將函數(shù)f

2、看作是A到B的二元關(guān)系，g看作是B到C的二元 關(guān)系，合成后的關(guān)系記為R，它是A到C的二元關(guān)系， 記為R=f g，且R=(x,b),(y,b),(z,a).,f=, , ， g=, , , ，,一、復(fù)合函數(shù)的定義,設(shè)f 是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，f 和 g合成后的函數(shù) 稱為復(fù)合函數(shù)，記為g f 。它是A到C的函數(shù)。 當(dāng)a A, b B, c C，且f(a)=b,f(b)=c 時，g f(a)=c.,注意：當(dāng) f 和g 看作是二元關(guān)系時，合成后的關(guān)系記為f g， 但當(dāng)f 和g 看作是函數(shù)時f 和 g合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)， 記為g f 。,定理 設(shè)F, G是函數(shù), 則FG也是函數(shù), 且滿

3、足 (1) dom(FG)= x | xdomF F(x)domG (2) xdom(FG) 有 FG(x) = F(G(x),例：設(shè)集合A=x,y,z ,B=a,b,c,d, C=1,2,3,f 是A到B的函數(shù)，g 是B到C的函數(shù)，其中 f(x)=b, f(y)=c, f(z)=c g(a)=1, g(b)=2, g(c)=1, g(d)=3 求復(fù)合函數(shù)g f。,解：由定義可知復(fù)合函數(shù)g f是A到C的函數(shù)。且 g f(x)= g (f(x)= g (b)=2.,g f(y)= g (f(y)= g (c)=1.,g f(z)= g (f(z)= g (c)=1.,推論1 設(shè) f：AB, g：

4、BC, 則 f g：AC, 且 xA 都有 f g(x) = f(g(x).,推論2 設(shè)F, G, H為函數(shù), 則 (FG)H 和 F(GH) 都是函數(shù), 且 (FG)H = F(GH),由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，而二元關(guān)系的合成可以看作是一種運(yùn)算，且這種運(yùn)算滿足結(jié)合律但不滿足交換律。于是有：,推論3 設(shè)F, G為函數(shù), 則 FG和 GF 都是函數(shù), 且 FGGF,函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì),定理 設(shè) f：AB, g：BC. (1) 如果 f 和 g都是單射函數(shù), 則 g f ：AC也是單射的函數(shù). (2) 如果 f 和 g都是滿射函數(shù), 則 g f ：AC也是滿射的函數(shù). (3) 如果 f 和

5、g都是雙射函數(shù), 則 g f ：AC也是雙射的函數(shù).,證 (1) c C, 由 g：BC 的滿射性, b B 使得 g(b)=c. 對這個b, 由 f：AB 的滿射性，a A 使得 f(a)=b. 由合成定理有 g f (a)=g(f(a)=g(b)=c 從而證明了 f g：AC是滿射的.,二、函數(shù)的逆（反函數(shù)）,對于二元關(guān)系R，只要交換所有的有序?qū)Γ湍?得到逆關(guān)系 ；,但對于函數(shù) f ,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到 卻不一定是函數(shù)，只有當(dāng) f 為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系 才是函數(shù)。,二、反函數(shù)(函數(shù)的逆),但對于函數(shù) f , 交換f 的所有有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系f 1是二元關(guān)系卻不一定是函數(shù)。 如

6、：F=,， F 1=,對于二元關(guān)系R，只要交換所有有序?qū)Φ捻樞?，就能?其逆關(guān)系 ；,反函數(shù)存在的條件,但對于函數(shù) f ,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到 卻不一定是函數(shù)，只有當(dāng) f 為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系 才是函數(shù)。,反函數(shù)的定義及性質(zhì),反函數(shù)的定義： 對于雙射函數(shù)f：AB, 稱 f 1：BA是 它的反函數(shù).,定理 設(shè) f：AB是雙射的, 則f 1：BA也是雙射的.,反函數(shù)的性質(zhì)： 定理: 設(shè) f：AB是雙射的, 則f 1f = IA, f f 1 = IB對于雙射函數(shù) f：AA, 有f 1f = f f 1 = IA,函數(shù)復(fù)合與反函數(shù)的計算,例：設(shè)R是實數(shù)集，且f,g,h是R到R的函數(shù)其中 f

7、(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3, 求 f g, g f， (f g)h 和 f (gh).,解： f g(x)=f(1+x2)=2+x2,g f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2,(f g)h(x)=(f g) (1+x3)=2+ (1+x3)2,f (gh)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2,思考： 設(shè) f ：RR, g ：RR 求 f g, g f. 如果 f 和 g 存在反函數(shù), 求出它們的反函數(shù).,f：RR不是雙射的, 不存在反函數(shù). g：RR是雙射的, 它的反函數(shù)是 g1：RR, g1(x) = x2,解：,思考： 設(shè)a1,a2,an是任

8、意的n個正整數(shù)， 證明存在i和k (i0,k1)，使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被n整除。,三、鴿洞原理,如果某人營造了n個鴿洞，養(yǎng)了多于n只鴿子， 則必有一個鴿洞有2只或 2只以上的鴿子， 這就是鴿洞原理。,用數(shù)學(xué)語言來描述這個原理，即： A，B是有限集合，f 是A到B的函數(shù)， 如果AB，則A中至少有兩個元素， 其函數(shù)值相等。,一般的情況是：當(dāng)鴿洞為n個，鴿子數(shù)大于 nm只時，必有一個鴿洞住有m+1只或多于 m+1只鴿子。,例如，有3個鴿洞，13只鴿子，則必有一個鴿洞， 住有5只或 5只以上的鴿子。,更一般的情況是： A，B是有限集合，f 是A到B 的函數(shù)，如果A nm ，B=

9、n，則在 A中至少有m+1個元素，其函數(shù)值相等。,例：證明任意n+1個正整數(shù)，其中必有兩個數(shù) 之差被n整除。,證明 由于任意正整數(shù)被n除后，其余數(shù)只能 是0，1，2 n-1，所以n+1個正整數(shù)中， 必有兩個數(shù)被n除后余數(shù)相同， 因此這兩個數(shù)之差必能被n整除。,例: 某人步行駛10小時，共走45公里，已知他第 一小時走了6公里，最后一小時只走了2公里， 證明必有連續(xù)的兩小時，在這兩小時內(nèi)至少 走了10公里。,證明: 設(shè)第i小時走了ai公里，連續(xù)的兩小時所走里 程為a1+a2, a2+a3, a9+a10,共有9種； 因為（ a1+a2 ）+（ a2+a3 ）+ + (a9+a10) =245-6

10、-2=82, 所以必有連續(xù)的兩小時里所走里程大于等于10公里。,例: 證明在1100的正整數(shù)中，任取51個正整數(shù)， 其中必存在兩個數(shù)，一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。,證明 對于任意的偶數(shù)，使得：偶數(shù)=奇數(shù)2k. 構(gòu)造以下50個集合： A1=1，12，122，123，124，125，126 A3=3，32，3 22 ，3 23 ，3 24 ，3 25 A5=5，52，5 22 ，5 23 ，5 24 A7=7，72，7 22 ，7 23 A9=9，92，9 22 ，9 23 A11=11，112，11 22 ，11 23 A13=13，132，13 22 . A49=49，492 A51=51 A53

11、=53 . A99=99,這50個集合中元素的總和共100個，恰好是1100的 所有正整數(shù)，且在含有2個或2 個以上元素的集合 A1，A3，A5，, A49中，同一個集合中的任意 兩個正整數(shù)必是：一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。 因此在1100的正整數(shù)中任取51個數(shù)，其中至少 有兩個數(shù)屬于同一個集合， 所以這兩個數(shù)中有一個數(shù)是另一個的倍數(shù)。,證明 A1(小王) A2 (小張) A3(小何) A4(小周) A5(小楊) A6(小劉),思考: 試證在任意六個人中必有三人他們相互認(rèn)識 或相互不認(rèn)識.,例: 在一個有6個點(diǎn)的完全圖中，給每一條邊涂色， 可隨意涂紅色或白色。證明在這個完全圖中，必存在 一個三角形，其三條邊的顏色相同。,證明 A1 A1 A2 A3 A2 A3 A4 A5 A4 A5 A6 A6,思考： 設(shè)a1,a2,an是任意的n個正整數(shù)，證明存在i和k (i0,k1)，使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被n整除。,證明 令 A1= a1 A2= a1+a2 A3= a1+a2+a3 An= a1+a2+an 在這n個數(shù)A1，A2， ，An中，如果有一個