高中數(shù)學正余弦定理

1、正弦定理和余弦定理一：基礎(chǔ)知識理解1正弦定理分類內(nèi)容定理2R(R是ABC外接圓的半徑)變形公式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C，sin Asin Bsin Cabc，sin A，sin B，sin C解決的問題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角2余弦定理分類內(nèi)容定理在ABC中，有a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C變形公式cos A；cos B；cos C解決的問題已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角3三角形中常用的面積公式(1)Sah(h表示邊a上的高)

2、；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)二：基礎(chǔ)知識應用演練1(2012廣東高考)在ABC中，若A60，B45，BC3，則AC()A4B2C. D.2在ABC中，a，b1，c2，則A等于()A30 B45C60 D753(教材習題改編)在ABC中，若a18，b24，A45，則此三角形有()A無解 B兩解C一解 D解的個數(shù)不確定4(2012陜西高考)在ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若a2，B，c2，則b_.5ABC中，B120，AC7，AB5，則ABC的面積為_解析：1選B由正弦定理得：，即，所以AC2.2選Ccos

3、 A，又0A180，A60.3 選B，sin Bsin Asin 45，sin B.又aBabsin Asin B.(2)在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個數(shù)一解兩解一解一解三、典型題型精講 （1）利用正弦、余弦定理解三角形例1(2012浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大??； (2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解析：(1)由bsin Aacos B及正弦定理 ，得sin Bcos B，所以tan B，所以B.(2)由sin C2si

4、n A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac. 所以a，c2.思考一下：在本例(2)的條件下，試求角A的大小方法小結(jié)：1應熟練掌握正、余弦定理及其變形解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷2已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷試題變式演練1ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B. 解：(1)由正弦定理得，sin2Asin B

5、sin Bcos2A sin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin B sin A，所以 .(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀例2在ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大?。?2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀解析(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos

6、A，故cos A，0A180，A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C 又sin Bsin C1，解得sin Bsin C.0B60，0C60，故BC， ABC是等腰的鈍角三角形方法小結(jié)：依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用ABC這個結(jié)論注意在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因

7、式，應移項提取公因式，以免漏解 試題變式演練 (2012安徽名校模擬)已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m(4，1)，n，且mn.(1)求角A的大?。?2)若bc2a2，試判斷ABC的形狀解：(1)m(4，1)，n，mn4cos2cos 2A4(2cos2A1)2cos2A2cos A3.又mn，2cos2A2cos A3，解得cos A.0A，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，且a，()2b2c22bcb2c2bc.又bc2， b2c，代入式整理得c22c30，解得c，b ，于是abc ，即ABC為等邊三角形（3）與三角形面積有關(guān)的問題 例3(20

8、12新課標全國卷)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因為BAC， 所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin. 又0A，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28. 解得bc2.方法小結(jié)：1正弦定理和余弦定理并不是孤立的解題時要根據(jù)具體題目合理選用，有時還需要交替使用2在解決三角形問

9、題中，面積公式Sabsin Cbcsin Aacsin B最常用，因為公式中既有邊也有角，容易和正弦定理、余弦定理結(jié)合應用試題變式演練 (2012江西重點中學聯(lián)考)在ABC中，cos 2Acos2Acos A.(1)求角A的大小；(2)若a3，sin B2sin C，求SABC.解：(1)由已知得(2cos2A1)cos2Acos A，則cos A.因為0A，所以A.(2)由，可得2， 即b2c.所以cos A， 解得c，b2，所以SABCbcsin A2.課后強化與提高練習（基礎(chǔ)篇-必會題）1在ABC中，a、b分別是角A、B所對的邊，條件“acos B”成立的()A充分不必要條件B必要不充分

10、條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2(2012泉州模擬)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊若A，b1，ABC的面積為，則a的值為()A1 B2C. D.3(2013“江南十?！甭?lián)考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2，c2，1，則C()A30 B45C45或135 D604(2012陜西高考)在ABC中 ，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2b22c2，則cos C的最小值為()A. B.C. D5(2012上海高考)在ABC中，若sin2 Asin2Bc，b，求的值12(2012山東高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

11、已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若a1，c2，求ABC的面積S.課后強化與提高練習（提高篇-選做題）1(2012湖北高考)設ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且ABC，3b20acos A，則sin Asin Bsin C為()A432 B567C543 D6542(2012長春調(diào)研)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4sin2cos 2C，且ab5，c，則ABC的面積為_3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2bc)cos Aacos C0.(

12、1)求角A的大?。?2)若a，SABC，試判斷ABC的形狀，并說明理由選做題1已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊若a1，b，AC2B，則sin C_.2在ABC中，a2bcos C，則這個三角形一定是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos 2C.(1)求sin C的值；(2)當a2,2sin Asin C時，求b及c的長4設ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos B，b2.(1)當A30時，求a的值；(2)當ABC的面積為3時，求ac的值課后強化與提高練習（基礎(chǔ)篇-必

13、會題）解析1解析：選CabAcos B.2解析：選D由已知得bcsin A1csin，解得c2，則由余弦定理可得a241221cos3a.3解析：選B由1和正弦定理得cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，所以cos A，則A60.由正弦定理得，則sin C，又ca，則C60，故C45.4解析：選C由余弦定理得a2b2c22abcos C，又c2(a2b2)，得2abcos C(a2b2)，即cos C.6解析：選C由正弦定理得a2b2c2，所以cos Cc，故a3，c2.于是cos A，所以|cos Acbcos A21.12解：(

14、1)證明：在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan Atan C，所以sin B，因此sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C，所以sin Bsin(AC)sin Asin C.又ABC，所以sin(AC)sin B，因此sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比數(shù)列(2)因為a1，c2，所以b，由余弦定理得cos B，因為0Bbc，且為連續(xù)正整數(shù)，設cn，bn1，an2(n1，且nN*)，則由余弦定理可得3(n1)20(n2)，化簡得7n213n600，nN*，解得n4，由正弦定理可得sin Asin Bsin

15、Cabc654.2解析：因為4sin2cos 2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cos C2cos2C1，cos2Ccos C0，解得cos C.根據(jù)余弦定理有cos C，aba2b27,3aba2b22ab7(ab)2725718，ab6，所以ABC的面積SABCabsin C6.答案：3解：(1)法一：由(2bc)cos Aacos C0及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin(AC)0，sin B(2cos A1)0. 0B，sin B0，cos A.0A，A.法二：由(2bc)cos Aacos C0，及余弦定

16、理，得(2bc)a0，整理，得b2c2a2bc，cos A，0A，A.(2)SABCbcsin A，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos A，a，A，b2c26，由得bc，ABC為等邊三角形選擇題解析1解析：在ABC中，AC2B，B60.又sin A，A30或150(舍)，C90，sin C1.答案：12解析：選A法一：(化邊為角)由正弦定理知：sin A2sin Bcos C，又A(BC)，sin Asin(BC)2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C0，sin(BC)0.又B、C為三角形內(nèi)角，BC.法二：(化角為邊)由余弦定理知cos C，a2b，a2a2b2c2，b2c2，bc.3解：(1)因為cos 2C12sin2C，且0C，所以sin C.(2)