高三數(shù)學(xué)曲邊梯形的面積.ppt

1、,曲邊梯形的面積,一 教材分析,地位和作用：曲邊梯形的面積”是（人教版）普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-2第一章第五節(jié)的內(nèi)容，曲邊梯形的面積中蘊(yùn)涵的積分思想貫穿整個(gè)定積分的始終，作為定積分的前奏曲，是定積分概念的引例和重要鋪墊材料，借助曲邊梯形的面積這一直觀具體的實(shí)例來(lái)初步感受定積分的定義。使學(xué)生了解定積分的實(shí)際背景，建立定積分概念的認(rèn)知基礎(chǔ)，為理解后續(xù)定積分概念及幾何意義奠定基礎(chǔ)。也是充分感受用極限的思想方法思考與處理問(wèn)題的好題材。,二 教學(xué)目標(biāo),（一）知識(shí)目標(biāo)：1、初步了解、感受定積分的實(shí)際背景。 2、體會(huì)“以直代曲”，“逼近”的思想。 （二） 能力目標(biāo)： 1、通過(guò)探索求曲邊梯形的面

2、積的過(guò)程，了解用“分割、近似代替、求和、取極限”的方法、步驟分析問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，理解用極限的思想方法思考與處理問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。 2、體會(huì)“以直代曲”，“逼近”的思想。以直代曲的過(guò)程中體會(huì)直與曲雖然是一對(duì)矛盾，但它們可以相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。,三教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：,重點(diǎn)： 了解定積分的基本思想方法以直代曲、逼近的思想，通過(guò)化整為零，積零為整求曲邊梯形的面積這一過(guò)程，初步掌握求曲邊梯形面積的步驟的“四步曲”，即“分割、近似代替、求和、取極限”，領(lǐng)會(huì)其微積分思想方法 難點(diǎn)：“以直代曲”、“逼近”思想的形成過(guò)程。（由于這種“以直代曲” 、“逼近”思想學(xué)生比較陌

3、生 ）,四教學(xué)方法和手段 A在教學(xué)過(guò)程中我選用啟發(fā)式、討論探究式的教學(xué)方法，運(yùn)用多媒體的直觀的功能，讓學(xué)生在觀察過(guò)程中通過(guò)類(lèi)比、分析、歸納等方法解決問(wèn)題；在師生互動(dòng)中啟發(fā)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生積極思維、主動(dòng)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興 趣 .,B運(yùn)用多媒體課件輔助課堂教學(xué)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，為學(xué)生提供豐富、生動(dòng)、直觀的觀察材料，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。,教學(xué)總思路： 根據(jù)從具體到抽象、從特殊到一般的原則，先研究一個(gè)特殊的曲邊梯形面積問(wèn)題，通過(guò)類(lèi)比圓的面積的求法得到解決它的思想方法，并具體化為四個(gè)步驟-分割、近似代替、求和、取極限、從而求出它的面積。最后再說(shuō)明這個(gè)方法可以推廣到求一般曲邊梯形的面積。求曲邊梯

4、形的面積的過(guò)程蘊(yùn)涵著定積分的基本思想方法，因此，在本小節(jié)的教學(xué)中，應(yīng)突出解決問(wèn)題的思想方法和步驟，從而為引入定積分的概念、體會(huì)定積分的基本思想、初步了解定積分的概念奠定基礎(chǔ)。,五、教學(xué)程序的設(shè)計(jì),依據(jù)教學(xué)思路本節(jié)課在程序上分為問(wèn)題提出歷史介紹方法講解鏈接生活模擬訓(xùn)練歸納總結(jié)作業(yè)布置”等七個(gè)階段。,1、問(wèn)題提出 以思考給出求一般曲邊梯形的面積問(wèn)題，建構(gòu)問(wèn)題情境，然后根據(jù)從具體到抽象、從特殊到一般的原則，先研究一個(gè)特殊的曲邊梯形面積問(wèn)題：如何計(jì)算y=x2在0,1上的曲邊梯形的面積呢？設(shè)計(jì)意圖：心理學(xué)表明，思維從疑問(wèn)開(kāi)始，問(wèn)題的提出使學(xué)生的思維得以啟動(dòng)，同時(shí)這個(gè)曲邊梯形并不象正方形、長(zhǎng)方形、圓、扇形

5、等有現(xiàn)成的公式可以利用，它沒(méi)有現(xiàn)成的公式可用，問(wèn)題本身具有新鮮感和誘惑力，極大地引起了學(xué)生的興趣，這樣引入符合教學(xué)論中的激發(fā)性原則。,2、歷史介紹 介紹300年前，牛頓、卡瓦列利、瓦里士等著名學(xué)者對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究成果。同時(shí)介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽早在三國(guó)時(shí)代，就提出了著名的“割圓術(shù)”，以“直”代“曲”把圓的面積近似看成多邊形面積來(lái)計(jì)算,提出以直代曲，逼近思想。 給學(xué)生介紹公元3世紀(jì)誕生的劉徽 “割圓術(shù)”：用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓周的方法。劉徽指出：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！?這就是說(shuō)，圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加的時(shí)候，它的面積的極限是圓面積。今天帶著

6、學(xué)生應(yīng)用這種思想解決定積分的問(wèn)題。從數(shù)學(xué)史角度體會(huì)最早的“直曲轉(zhuǎn)化”思想。,3方法講解 引導(dǎo)學(xué)生從感性上理解，再逐步上升到理性上的認(rèn)識(shí)，這符合人們認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，即先由感性認(rèn)識(shí)再逐步上升到理性認(rèn)識(shí)；同時(shí)計(jì)算機(jī)的直觀形象的演示，也符合教學(xué)論中的直觀性原則；極限理論與計(jì)算機(jī)的結(jié)合運(yùn)用，使學(xué)生清楚地看到曲邊梯形的面積由量變到質(zhì)變的變化過(guò)程，這也符合事物的發(fā)展變化由量變到質(zhì)變的哲學(xué)原理。,引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納得出曲邊梯形的定義。把由直線 x=a、x=b(ab)y=0和曲線y=f(x)所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形,求曲邊梯形面積,這是一個(gè)一般而又抽象的問(wèn)題，學(xué)生從未遇過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題，因此，直接解決這個(gè)

7、問(wèn)題超出了學(xué)生的認(rèn)知水平，為了使學(xué)生建立解決它的基本經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生先考慮一個(gè)特殊的曲邊梯形面積問(wèn)題。 如何求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的曲邊梯形的面積？由劉徽 的“割圓術(shù)”中以“直”代“曲” 思想的啟示，用正多邊形逼近圓求圓面積 “以直代曲，逼近”的思想啟發(fā)學(xué)生得到解決問(wèn)題的思路：將求曲邊梯形面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問(wèn)題。接著提問(wèn)怎樣以“直”代“曲”， (先讓學(xué)生討論，采用“以直代曲”“逼近”的思想方法求曲邊梯形面積的具體實(shí)施步驟）,問(wèn)題：具體怎樣以直代曲？ 引導(dǎo)學(xué)生思考能整體以“直”代“曲”嗎？ 誤差太大，為減小誤差需要先將整個(gè)曲邊梯形分割，細(xì)分后再對(duì)小曲邊梯形“

8、以直代曲”。即在小范圍內(nèi)“以直代曲”。將上述 “以直代曲”和逼近的思想具體化為四個(gè)步驟；,第一步 分割（化整為零）教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：用“以直代曲”的方法求曲邊梯形的面積時(shí)，關(guān)鍵是減小誤差如果將曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，在每個(gè)局部小范圍內(nèi)實(shí)施“以直代曲”，那么就能有效地減小誤差，而且分割得越細(xì)，誤差就會(huì)越小 于是我們可以在區(qū)間0,1上等間隔地插入分點(diǎn)，把區(qū)間0,1等分割成個(gè)小區(qū)間，分別過(guò)上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，這些垂線把曲邊梯形分成若干個(gè)小曲邊梯形。,第三步 求和（積零為整，給出“整”的近似值）將所有這些小矩形之和加起來(lái)，對(duì)所有這些近似值求和，得到原曲邊梯形面積的近似值,第二步 近似代替

9、 （以不變高代替變高，以矩形代替曲邊梯形，給出“零”的近似值） 分割后得到個(gè)小曲邊梯形， 提問(wèn)：對(duì)每個(gè)曲邊梯形面積如何以直代曲？ 引導(dǎo)學(xué)生用恰當(dāng)?shù)姆绞阶鼋拼妫?學(xué)生可能會(huì)提出多種“以直代曲”的方法，教學(xué)中應(yīng)分析各種方法的利弊，引導(dǎo)學(xué)生用矩形近似代替小曲邊梯形-數(shù)學(xué)最講究簡(jiǎn)潔。,第四步 取極限 使近似值向精確值轉(zhuǎn)化，當(dāng)小區(qū)間無(wú)限細(xì)分到 無(wú)限小時(shí),通過(guò)圖象動(dòng)畫(huà)演示可以看到區(qū)間分的越細(xì),那么就越接近近似值,為此我們把讓區(qū)間無(wú)限接近與零直到不能再分為止,這就是一個(gè)極限的過(guò)程: （強(qiáng)調(diào)極限思想） 圖象動(dòng)畫(huà) 這就促成了上述近似向精確的轉(zhuǎn)化；顯然，分割越細(xì)，近似程度越好采用幾何直觀和列表計(jì)算相結(jié)合的方法

10、，引導(dǎo)學(xué)生觀察近似值的變化趨勢(shì)，教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生想象近似值隨分割的不斷細(xì)化而趨向于曲邊梯形面積的過(guò)程，利用信息技術(shù)向?qū)W生展示逼近過(guò)程，以增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知,、鏈接生活（運(yùn)用所學(xué)的思想及方法來(lái)解決生活中的問(wèn)題） 舉世矚目的長(zhǎng)江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據(jù)流體力學(xué)原理設(shè)計(jì)的，如圖1所示，上端一段是是拋物線，中間部分是直線，下面部分是圓弧。建造這樣的大壩自然要根據(jù)它的體積備料，計(jì)算它的體積就需要盡可能準(zhǔn)確的計(jì)算出它的斷面面積。該斷面最上面拋物線所圍的那一塊面積該怎樣計(jì)算呢？顯然這是一曲邊梯形的面積，所以根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)過(guò)的思想和方法我們來(lái)計(jì)算長(zhǎng)江三峽溢流壩上部斷面面積。,假設(shè)上部分拋物線方程為 將 等分成n等份，拋物線下面部分分割成n個(gè)小曲邊梯形第i個(gè)小曲邊梯形用長(zhǎng)為 高為 的矩形代替，,模擬訓(xùn)練 求y=1/x2在0,1上曲邊梯形面積作為練習(xí)題目的設(shè)置，主要是為了強(qiáng)化本節(jié)課的重點(diǎn)，通過(guò)學(xué)生自己親自嘗試、體驗(yàn)，才能深刻理解“分割、近似代替、求和、取極限”的微積分思想方法,歸納總結(jié),1、求曲邊梯形面積的思想方法：以直代曲，逐漸逼近,2、“四步曲”步驟：分割 近似代替 求和 取極限,（教師引導(dǎo)，學(xué)生總結(jié)）,教學(xué)反思 1揭示解決問(wèn)題的思想方法： 以直代