高三數(shù)學(xué)教案：第2講數(shù)列問題的題型與方法

1、北京英才苑高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案第 2 講數(shù)列問題的題型與方法（3 課時(shí)）一、考試內(nèi)容數(shù)列；等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式；等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式。二、考試要求1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。2理解等差數(shù)列的概念， 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式， 并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問題。3理解等比數(shù)列的概念， 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式， 并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問題。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)能靈活地運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式解題；2能熟練地求一些特

2、殊數(shù)列的通項(xiàng)和前n 項(xiàng)的和；3使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題；4通過(guò)解決探索性問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力5在解綜合題的實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力6培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、 方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、 培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法四、雙基透視1 可以列

3、表復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì).2判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù) ,驗(yàn)證 an an 1(an / an1 ) 為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法： 若=+（ n-1） d=+（ n-k） d ，則 an為等差數(shù)列； 若，則 an 為等比數(shù)列。(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證都成立。3. 在等差數(shù)列an 中 ,有關(guān) sn 的最值問題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：(1)當(dāng)0,d0 時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù) m 使得取最大值 .(2)當(dāng)0 時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù) m 使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)

4、位相減法、倒序相加法等。五、注意事項(xiàng)1 證明數(shù)列an 是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過(guò)證明an 1an an an 1 或an 1ananan 1而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)， “基本量法” 是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。3對(duì)于一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。4注意一些特殊數(shù)列的求和方法。5注意 sn 與 a n 之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：s1 ,n1na1(akak 1 )a n =sn sn 1 ,2，nan =k 26數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)

5、迅速打通解題思路7解綜合題的成敗在于審清題目， 弄懂來(lái)龍去脈， 透過(guò)給定信息的表象， 抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略8通過(guò)解題后的反思，找準(zhǔn)自己的問題，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，吸取失敗的教訓(xùn)，增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容， 又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)， 所以在高考中占有重要的地位。 高考對(duì)本章的考查比較全面， 等差數(shù)列， 等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。 解答題多為中等以上難度的試題， 突出考查考生的思維能力，解決問題的能力， 試題大多有較好的區(qū)分度。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題， 經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)

6、和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點(diǎn)， 常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。 本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想， 在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。 應(yīng)用問題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來(lái)解決。六、范例分析例 1已知數(shù)列 a n 是公差 d 0 的等差數(shù)列，其前n 項(xiàng)和為 sn (2)過(guò)點(diǎn) q1 (1，a1 )，q 2 (2，a 2 )作直線 12，設(shè) l 1 與 l 2 的夾角為， 明： (1)因 等差數(shù)列a n 的公差

7、 d 0，所以kp 1 p k 是常數(shù) (k=2， 3， n)(2)直 l 2 的方程 y-a 1 =d(x-1)，直 l 2 的斜率 d例 2已知數(shù)列an中， sn 是其前 n 和，并且 sn 14an 2( n 1,2, ), a1 1， 數(shù)列 bnan 12an (n 1,2,) ，求 ：數(shù)列bn 是等比數(shù)列；ann 數(shù)列 cn2 n , (1,2,) ，求 ：數(shù)列cn 是等差數(shù)列；求數(shù)列 an的通 公式及前n 和。分析：由于 b n 和 c n 中的 都和 a n 中的 有關(guān)， a n 中又有 sn 1 =4a n +2，可由 sn 2 -sn 1 作切入點(diǎn)探索解 的途徑解： (1)由

8、 sn 1 =4a n2 ，sn 2 =4a n 1 +2，兩式相減，得 sn 2 -sn 1 =4(a n 1 -a n )，即 a n 2 =4a n 1-4a n (根據(jù) b n 的構(gòu)造，如何把 式表示成b n 1 與 b n 的關(guān)系是 明的關(guān) ，注意加 恒等 形能力的 )a n 2 -2a n 1 =2(a n 1 -2a n )，又 b n =a n 1 -2a n ，所以 b n 1 =2b n已知 s2 =4a 1 +2， a 1 =1， a 1 +a 2 =4a 1 +2，解得 a 2 =5， b 1 =a 2 -2a 1 =3由 和 得，數(shù)列 b n 是首 3，公比 n 12

9、 的等比數(shù)列，故 b n =3 2 n 1當(dāng) n2 ， sn =4a n 1 +2=2 (3n-4)+2；當(dāng) n=1 ， s1 =a 1 =1 也適合上式n 1 上可知，所求的求和公式 sn =2(3n-4)+2 明： 1本例主要復(fù) 用等差、等比數(shù)列的定 明一個(gè)數(shù)列 等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通 與前 n 和。解決本 的關(guān) 在于由條件sn 14an2 得出 推公式。2解 合 要 全局，尤其要注意上一 的 可作 下面 的已知條件，在后面求解的 程中適 用例 3已知數(shù)列 a n 是首 a1 0，q -1 且 q 0的等比數(shù)列， 數(shù)列 b n 的通 b n =a n 1 -kan 2 (n n)，數(shù)列

10、a n 、 b n 的前 n 和分 sn ，t n 如果 t n ksn 一切自然數(shù)n 都成立，求 數(shù)k 的取 范 分析：由探 t n 和 sn 的關(guān)系入手 求解 思路。解：因 a n 是首 a1 0，公比 q -1 且 q 0 的等比數(shù)列，故2a n 1 =a n q，a n 2 =a n q 2所以b n =a n 1 -ka n 2 =a n (q -kq )22t n =b 1 +b 2 + +b n =(a 1 +a 2 + +a n )(q -kq )=sn (q -kq )2 一切自然數(shù) n 都成立依 意，由 t n ksn ，得 s n (q-kq ) ksn ，當(dāng) q0 ，由

11、 a1 0，知 a n 0，所以 sn 0；n當(dāng)-1 q 0 ，因 a1 0， 1-q 0， 1-q 0，所以 sn = 合上面兩種情況，當(dāng)q -1 且 q 0 ， sn 0 成立2由 式可得q-kq k，例 4 (2001 年全國(guó)理 )從社會(huì)效益和 效益出 ，某地投入 金 行生 境建 ，并以1此 展旅游 . 根據(jù) 劃，本年度投入800 萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少5 .本年度當(dāng)?shù)芈糜?收入估 400 萬(wàn)元，由于 建 旅游 的促 作用， 今后的旅游 收1入每年會(huì)比上年增加4 。 ( )設(shè) n 年內(nèi) (本年度 第一年) 投入 an 萬(wàn)元，旅游 收入 bn 萬(wàn)元 . 寫出 an， bn 的表達(dá)式

12、 ( )至少 幾年旅游 的 收入才能超 投入?解析：第1 年投入 800萬(wàn)元，第2 年投入 800（ 1- ）萬(wàn)元 ，第 n 年投入 800（1） n 1 萬(wàn)元所以 投入 an 800 800（ 1） 800（ 1）n1 4000 1（） n同理：第1 年收入 400 萬(wàn)元，第2 年收入 400（ 1）萬(wàn)元， ，第 n 年收入 400（1） n 1 萬(wàn)元bn 400 400 （ 1） 400 （ 1）n 1 1600 （） n 1(2) bnan 0， 1600（） n 1 4000 1（）n 0化 得， 5（ ） n 2（） n 7 0設(shè) x（） n ，5x2 7x 20 x ， x1（舍

13、)即（） n ， n5. 明： 本 主要考 建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基 知 ， 考 合運(yùn)用數(shù)學(xué)知 解決 的能力。解數(shù)學(xué) 用 重點(diǎn)在 好三關(guān)：（ 1）事理關(guān)： 理解，知道命 所表達(dá)的內(nèi)容； （ 2）文理關(guān)：將 “ 情景 ”中的文字 言 化 符號(hào) 言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（ 3）數(shù)理關(guān)：由 意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將 數(shù)學(xué)化，并解答 一數(shù)學(xué)模型，得出符合 意 的解答。例 5 設(shè) 實(shí) 數(shù) a0 ， 數(shù) 列 an 是 首 項(xiàng) 為 a ， 公 比 為a 的 等 比 數(shù) 列 ， 記bnan1g | an | (n n * ), snb1b2bn ，a lg a求證：當(dāng) a1 時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)n

14、都有 sn = (1 a) 2 1 ( 1)n1 (1 n na)an解：an a1 qn 1a( a)n 1( 1) n 1 an。bnan lg | an | ( 1) n 1 a n lg | ( 1)n 1 an | ( 1) n 1 na n lg | a |sna lg | a | 2a 2 lg | a | 3a3 lg | a |( 1) n 2 (n 1)a n 1 lg | a | ( 1) n 1 na n lg | a | a 2a23a3( 1) n 2 ( n 1)an 1( 1)n 1 na n lg | a |記 s a 2a 23a3( 1) n 2 ( n

15、1) an 1( 1)n 1 na nas a 22a3( 1) n 3 (n 2)a n 1( 1)n 2 (n 1)a n( 1) n 1 na n 1+得 (1 a) s a a2a 3( 1) n 2 a n 1( 1) n 2 a n( 1) n 1 na n 1a1, (1 a) sa ( 1)n 1an 1( 1)n 1 n an 11(1 a)sa ( 1) n 1 a n 1(1 a) ( 1)n 1 na n 1(1a) 2sa(1 nna) (1) n 1 a n1a1(1nna)( 1) n1 a n (1a) 2(1a)2sna lg | a2| 1(1) n1 (1

16、 nna)a n (1a)說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng)，確定c nan bn , an 是等差數(shù)列， bn 等比數(shù)列。解法一：設(shè)等差數(shù)列a n 的首項(xiàng) a1 =a，公差為d，則其通項(xiàng)為根據(jù)等比數(shù)列的定義知s5 0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二：依題意，得例 7設(shè)二次方程an2an+1x+1=0(n n)有兩根和，且滿足 6 -2 +6 =3x -(1)試用 an 表示 a n 1；例 8在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) , pn ( xn , yn )，對(duì)一切正整數(shù) n ，y1353x2 為

17、首項(xiàng)， 1為公差的等差點(diǎn) pn 位于函數(shù)4 的圖象上， 且 pn 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以數(shù)列xn 。求點(diǎn) pn 的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列 c1 , c2 , c3 , cn ,中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于x 軸，第 n 條拋物線 cn 的頂點(diǎn)為 pn ，且過(guò)點(diǎn)d n (0, n 21)，記與拋物線cn 相切于d n 的直線的斜率為kn ，求：111k1 k2 k2 k3kn 1k n 。 設(shè) sx | x 2xn , n n , n1 , ty | y 4 yn , n 1 ， 等 差 數(shù) 列 an的 任 一 項(xiàng)anst ，其中 a1 是 st 中的最大數(shù)，265a10125 ，求 an的通項(xiàng)公式。xn5(n

18、1)( 1)n322解：（ 1）y3 xn133n5 , p ( n3 , 3n5)n44n24（ 2 ）cn的 對(duì) 稱 軸 垂 直 于 x 軸 ， 且 頂 點(diǎn) 為 pn .設(shè) cn 的 方 程 為 ：ya( x2n3) 212n5 ,24把 d n (0, n 21) 代入上式，得 a1 ，cn 的方程為： yx2(2n3) xn21 。k ny|x 02n 3111 (11)，k n 1kn(2n 1)(2n 3)2 2n 1 2n 31111 ( 1 1 ) ( 1 1 )(11)k1 k2k2 k3kn 1k n2 5 77 92n 1 2n 31 ( 11)116= 252n3104

19、n（3） s x | x( 2n 3), nn , n 1 ，t y | y(12n5), nn ,n 1 y | y2( 6n1)3, nn , n1stt , t 中最大數(shù) a117 .設(shè) an 公差為 d ，則 a10179d(265,125) ，由此得248d12, 又antd12m( mn * ),9d24,an724n(nn * ).說(shuō)明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（ 2）兩問運(yùn)用幾何知識(shí)算出kn ，解決（ 3）的關(guān)鍵在于算出st 及求數(shù)列 an的公差。例 9數(shù)列 an 中， a18, a42 且滿足 an 22an 1 an n n *求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；

20、設(shè) sn | a1 | a2 | an |，求 sn ；1n * ), tnn * ) ，是否存在最大的整數(shù)設(shè) bn = n(12an ) (nb1b2bn (nm ，n * ，均有 tnm使得對(duì)任意 n32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（ 1）由題意， an 2an 1an1an ， an 為等差數(shù)列，設(shè)公差為d ，由題意得 283dd2 ，an82(n1) 102n .（2）若 102n 0則 n5， n5時(shí) , sn| a1 | | a2 | an |a1a2an8 10 2nn 9n n2 ,2n 6 時(shí)， sna1a2a5a6a7ans5(sns5 ) 2s5

21、snn 29n 409nn2n5故 snn 29n40n6bn11111)n(12an )2n( n1)2(n（3）n11 (11 )( 1 1)( 11)(11 )( 11 )ntn.222 33 4n 1 nn n 12(n 1)若 tnmnm32 對(duì)任意 n n * 成立，即n116 對(duì)任意 nn * 成立，n( nn * )1m1,m 的最大整數(shù)值是 7。n1的最小值是2 ，162即存在最大整數(shù)m7, 使對(duì)任意 nn * ，均有tnm .32說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。例 10如圖，在 y 軸的正半軸上依次有點(diǎn)a1, a2, , an ,其中點(diǎn) a1

22、 (0,1), a2 (0,10)，且| an 1 an | 3 |an an 1 |( n2,3,4, )， 在 射 線yx( x0) 上 依 次 有 點(diǎn)b1 , b2 , , bn ,點(diǎn)b1的 坐 標(biāo) 為 （ 3 ， 3 ）， 且| obn | | obn1 | 22 ( n2,3,4, )用含 n 的式子表示 | an an 1 |；用含 n 的式子表示an , bn 的坐標(biāo)；求四邊形an an 1 bn 1 bn 面積的最大值。| an an 1 | 1 ,且 | a1 a2 | 10 1 9解：（1）| an 1 an |3，| an an 1 | | a1 a2 | ( 1)n 1

23、9(1) n 1( 1) n 3333（2）由（ 1）得| a1 a2 | | a2 a3 | an 1 an | 9 3 1(1) n 427 1 ( 1) n 4322 3(0, 271 ( 1) n4 )| obn | | obn 1 |2 2且 | ob1 |32點(diǎn) an 的坐標(biāo)223，| obn| 是以 3 2為首項(xiàng)， 22為公差的等差數(shù)列| obn |3 2( n1)22(2n1)2bn的坐標(biāo)為 (2n1,2n1)（3）連接 an bn 1 ，設(shè)四邊形 an an1 bn1 bn 的面積為 sn ，則sns an an 1 bn 1s bn bn 1an1 ( 1) n 3 (2n

24、 3)1 2 2 29 27 ( 1) n 1 22322232299n36n23n 1 ,sn 1sn3n10, 即 sn 1sn , sn 單調(diào)遞減 .29 47sn 的最大值為 s12 9 2 .說(shuō)明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知| an an 1 | 為等比， | obn | 為等差，（ 3）利用函數(shù)單調(diào)性求最值。例 11設(shè)正數(shù)數(shù)列a n 為一等比數(shù)列，且a 2 =4， a 4 =16說(shuō)明：這是2000 年全國(guó)高考上海試題，涉及對(duì)數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式， 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式， 對(duì)數(shù)計(jì)算， 求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)， 以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力例

25、 12已知拋物線 x24 y ，過(guò)原點(diǎn)作斜率1 的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)p1 ，又過(guò)點(diǎn) p 作斜率為1p2 ，再過(guò) p2 作斜率為1p32 的直線交拋物線于點(diǎn)4 的直線交拋物線于點(diǎn)，1pn 作斜率為1pn 1 ，設(shè)點(diǎn) pn ( xn , yn ) 如此繼續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn)2n的直線交拋物線于點(diǎn)（）令 bnx2 n 1 x2n1 ，求證：數(shù)列 bn 是等比數(shù)列31（）設(shè)數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 sn ，試比較 4 sn1與 3n10 的大小pn (xn , yn )pn 1 ( xn 1, yn 1 )xn224yn 1解：（ 1）因?yàn)?、在拋物線上，故4yn ,xn 1，又 因 為 直

26、線 pn pn 11yn 1yn1的 斜 率 為 2n， 即 xn 1xn2 ， 代 入 可 得1 x2n1x2n1xn 1xn14 xn 1xn2n2n 2bnx2n 1x2 n 1( x2n 1x2 n ) (x2nx2n 1 )111bn11 bn 1，故 bn422n 222n 322n 2是以 4 公比的等比數(shù)列；sn4 (11)3 sn114n 與 3n10 的大小（2）34n44n，故只要比 4n(13)n1cn13 cn2321 3nn(n1)321 3n9 3n 10(n 3)方法（一）2，當(dāng) n3 sn13n13 sn111 ， 410 ； 當(dāng) n2 時(shí) 43n 10 ；3

27、11當(dāng) n3,nn*sn3n 10 ， 4方法（二）用數(shù)學(xué) 法 明，其中假 nk (k3, kn ) 有 4k3k10 , 當(dāng) nk1時(shí) , 4k 144k4(3k10)3( k1)10 9k273(k1)10 .a n )，是公差 -1 的等差數(shù)列，又2a 2 -a 1 ， 2a 3 -a 2 ， 2a n 1 -a n ，(1)求數(shù)列 a n 的通 公式；(2) 算(a 1 +a 2 + +a n )分析：由于 中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列an的相關(guān) 構(gòu)成，分 求出它 的通 公式構(gòu)造關(guān)于a n 的方程 解： (1)設(shè) b n =log 2 (3a n 1 -a n )，因 bn 是等差數(shù)

28、列， d=-1 b1=log 2n3a n 1-a n 2設(shè) c n =2 a n 1 -a n ， c n 是等比數(shù)列，公比為q， |q| 1，c1 =2a 2 -a 1 =例 14等比數(shù)列 a n 中，已知 a1 0，公比 q 0，前 n 項(xiàng)和為 sn ，自然數(shù) b， c，d， e 滿足 bc d e，且 b+e=c+d求證：sb se sc sd 分析：凡是有關(guān)等比數(shù)列前 n 項(xiàng) sn 的問題，首先考慮確適時(shí)地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵q=1 的情況，證明條件不等式時(shí)，正(證明不等式首選方法是差比較法，即作差變形判定符號(hào)，變形要有利于判定符號(hào))be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+d

29、e-e2-cd=(c-e)(e-d)因?yàn)?ce， d e，所以 c-e 0， e-d 0，于是 (c-e)(e-d) 0又同理(要比 sb se 與 sc sd 的大小，只要比 (1-qb)(1 -qe)與 (1-qc)(1-qd)的大小，仍然運(yùn)用差比 法 )(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否將 qc-qb 用 qe-qd 表示是上式化成 的關(guān) ，利用 定的 c+d=b+e， 求 形的途徑，c=b+e-d， d、 e 出 了，于是 qc-qb=qb+e -d-qb=qb(qe -d-1)=qbq -d(qe-qd)恒

30、等 形只有目 明確， 形才能有方向)上式 =qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq -d-1)=q-d(qe-qd)(qb -qd) 因 q 0所以 q-d 0(運(yùn)用函數(shù)的思想將 化 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的 性判 乘 的符號(hào))事 上，由 b d e，q 0， 當(dāng) 0 q 1 ， y=qx 是減函數(shù)， qe qd ，qb qd，即 qe-qd 0， qb-qd0； 當(dāng) q 1 ， y=qx 是增函數(shù)， qe qd， qb qd，即 qe-qd 0， qb-qd 0所以無(wú) 0 q 1 是 q 1，都有 qe-qd 與 qb-qd 異號(hào)，即 (qe-qd)(qb -qd) 0 上所

31、述，無(wú) q=1 是 q 1，都有 sb se sc sd 明： 復(fù) 的任 在于 知 的深化， 能力的提高、 關(guān) 在落 根據(jù)上面所研究的 ， 一步提高運(yùn)用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列 的能力例 15（ 2003 年北京春季高考） 如 ，在 l 的等 abc中， o1 為 abc的內(nèi)切 ，圓 o2 與 o1 外切，且與 ab，bc相切， ， on+1 與 on 外切，且與 ab， bc相切，如此無(wú)限 下去. 記圓 on 的面 .（ ） 明是等比數(shù)列；（ ）求的 .（ ） 明： rn 為圓 on 的半徑，則所以故成等比數(shù)列 .（ ）解：因?yàn)樗哉f(shuō)明：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識(shí)

32、，考查邏輯思維能力.七、強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè) sn 和 t n 分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和，若對(duì)任意n n，（）a4 3b 3 2c 7 4d 78 712一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3 項(xiàng)的和等于前11 項(xiàng)的和，當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和最大時(shí)， n 等于（）a5b 6c7d8ana13aa 2( n n * )an3若數(shù)列中，且n 1n，則數(shù)列的通項(xiàng)4設(shè)在等比數(shù)列an中， a1 an 66, a2 an 1 128, sn126, 求 n 及 q5根據(jù)下面各個(gè)數(shù)列an 的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式a11, an 1an2n(n n * )n a11, an 1n 1 an (n n * )1

33、a11, an 12 an1 (n n * )6數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 sn 1ra n (r 為不等于0，1的常數(shù) )，求其通項(xiàng)公式 an7某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2001年底全縣的綠化率已達(dá)30%。從 2002 年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。（1）設(shè)全縣面積為a13 ,經(jīng)過(guò) n 年綠化總面積為 an 1.1，2001 年底綠化面積為10an 144 an .求證255（2）至少需要多少年 （年取整數(shù)， lg 20.3010 ）的努力， 才能使全 的 化率達(dá)到60%？8（ 2002

34、 年春招 ）已知點(diǎn)的序列（， 0），其中=0，a3 是 a1a2 的中點(diǎn)， a4 是 段 a2a3 的中點(diǎn)， ， an 是 段的中點(diǎn)， 。（i）寫出與、之 的關(guān)系式（3）（ii） ， 算，由此推 數(shù)列的通 公式， 并加以 明。9(94 年全國(guó)理 ) an是正數(shù) 成的數(shù)列，其前 n 和 sn，并且 所有自然數(shù) n， an 與 2 的等差中 等于 sn 與 2 的等比中 .(1)寫出數(shù)列 an的前三 ；(2) 求數(shù)列 an的通 公式(寫出推 程 )；(3)令 bn=(n n)，求： b1+b2+ +bn-n.八、參考答案1解： 兩個(gè)等差數(shù)列分 an和 bn故 a 明：注意巧妙運(yùn)用等差中 的性 來(lái)反映等差數(shù)列的通 an 與前 2n-1 和 s2n-1 的內(nèi)在 系2解：依 意知數(shù)列 減，公差d0因 s3=s11=s3+a4+a5+a10+a11所以a4+a5+