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1、名校名 推薦高考大題專攻練11. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) (a 組)大題集訓(xùn)練,練就慧眼和規(guī)范,占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)!1. 已知函數(shù) f(x)=x ex-1 -a(x+lnx) , a r.(1) 若曲線 y=f(x) 在點(diǎn) (1 , f(1) 處的切線為 x 軸,求 a 的值 .(2) 在 (1) 的條件下,求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間 .23(3) 若任意 x0, f(x) f(m) 恒成立,且f(m) 0,求證: f(m) 2(m -m ).f (x)=e x-1 +x ex-1 -a,故 f(1)=1-a , f (1)=2-2a,故切線方程是 y-(1-a)=(2-2a)(x-1),即 y=(2-2a)x
2、+a-1 ;由 2-2a=0 ,且 a-1=0 ,解得 a=1.(2) 由 (1) 得 a=1, f (x)=(x+1),令 g(x)=e x-1 - , x (0 , + ) ,所以 g (x)=e x-1 +0,故 g(x) 在 (0 , + ) 上遞增,又 g(1)=0 , x (0 ,1) 時, g(x)g(1)=0 ,此時 f (x)g(1)=0 ,此時 f (x)0 ,f(x)遞增,故 f(x) 在 (0 , 1) 遞減,在 (1 ,+ ) 遞增 .(3)f (x)=(x+1),令 h(x)=e x-1 - , x (0 , + ) , h (x)=ex-1 +,a 0 時, h(
3、x)0 ,此時 f (x)0 ,f(x)遞增,無最小值,故a0 不符合題意;1名校名 推薦 a0 時, h (x)0 , h(x) 在(0 , + ) 遞增,取實(shí)數(shù) b,滿足 0bmin,則 eb-1 =, -2 ,故 h(b)=e b-1 - -21-=0,所以存在唯一的x0 (b , a+1) ,使得 h(x 0)=0 ,即 a=x0,x (0 , x0) 時, h(x)h(x0)=0 ,此時f (x)h(x0)=0 ,此時f (x)0 , f(x)遞增,故 x=x0 時, f(x) 取最小值,由題設(shè), x0=m,故 a=mem-1, lna=lnm+m-1 ,f(m)=me m-1(1-
4、m-lnm) ,由 f(m) 0,得 1-m-lnm 0,令 (m)=1-m-lnm ,顯然 (m) 在 (0 , + ) 遞減 .因?yàn)?(1)=0 ,所以 1-m-lnm 0,故 0m 1,下面證明em-1 m,令 n(m)=e m-1-m,則 n (m)=e m-1-1 ,m (0 , 1) 時, n (m)0,所以 f(m)=m e(1-m-lnm) m 2(1-m)=2(m -m ) ,綜上, f(m) 2(m2-m3).2. 已知 f(x)=bx-b ,g(x)=(bx-1)e x , b r.(1) 若 b 0,討論 g(x) 的單調(diào)性 .(2) 若不等式f(x)g(x)有且僅有兩個整數(shù)解,求b 的取值范圍 .【解析】 (1)g (x)=e x(bx+b-1),當(dāng) b=0 時,g (x)0 時,g (x)0的解集為,即 g(x) 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減 .(2) 由不等式 f(x)g(x) 有且僅有兩個整數(shù)解得,b(xe x-x+1)0 時,ex -10 ,x(e x-1)+10 ;當(dāng) x0 時,ex-10 ,所以, b有 兩 個 整 數(shù) 解 , 設(shè) (x)=, 則 (x)=, 令x,則 h (x)=-1-ex, h(1)=1-e0,所以存在 x (0, 1) ,使得h(x)=2-
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