潮汐中的三角函數(shù)問(wèn)題

1、潮汐問(wèn)題中三角函數(shù)模型 農(nóng)七師高級(jí)中學(xué) 高一數(shù)學(xué)組 席雪梅摘要 圣米切爾山的漲潮、落潮-圣米切爾山是繼巴黎鐵塔同凡爾賽宮之后，法國(guó)第三大景點(diǎn)。它的最大特點(diǎn)是在水中央，潮漲時(shí)整座山幾乎四面環(huán)海，潮退時(shí)則一片荒漠。 海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮。晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋。潮汐現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，天文學(xué)家將潮汐形象的比喻為地球的脈搏、地球的呼吸 潮汐與海港碼頭的建設(shè)有著密切的關(guān)系 ，在港口建設(shè)中要按沿海潮汐的規(guī)律來(lái)確定港口高度和港口水深，使船只達(dá)到港口不至于被高潮淹沒(méi)，也不至在最低潮時(shí)使船擱淺。 在客觀現(xiàn)實(shí)世

2、界中象潮汐的周期性變化現(xiàn)象，我們通常需要借助于三角函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)，以便更好的為國(guó)民經(jīng)濟(jì)服務(wù)。一 問(wèn)題研究現(xiàn)在給出這樣一個(gè)與潮汐有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題問(wèn)題探究1 若你作為船長(zhǎng)，當(dāng)你的船只要到某個(gè)港口去 ，你希望知道關(guān)于那個(gè)港口的一些什么情況？如圖所示，下面是在某個(gè)港口某年某個(gè)季節(jié)每天的時(shí)間與水深的關(guān)系表：時(shí)間0.001.003.006.008.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深5.06.257.55.02.842.55.07.55.02.55.0仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米，水的深度變化有什么特點(diǎn)嗎？水的深度開(kāi)始由5.0米增

3、加到7.5米，后逐漸減少一直減少到2.5，又開(kāi)始逐漸變深，增加到7.5米后，又開(kāi)始減少。水深變化并不是雜亂無(wú)章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律，為了更加直觀明了地觀察出這種周期性變化規(guī)律，我們需要做什么工作呢？假設(shè)和檢驗(yàn)將表中的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，畫(huà)出它們的散點(diǎn)圖，進(jìn)行觀察散點(diǎn)圖的基礎(chǔ)上應(yīng)用Excel的功能繪制不同類(lèi)型的圖表，如平滑線(xiàn)散點(diǎn)圖，折線(xiàn)散點(diǎn)圖，三維柱形圖，圓錐圖，餅圖。從不同角度感受這些數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，并整理、提升出較好的函數(shù)模型三角函數(shù)模型 下面這個(gè)函數(shù)模型給求出由圖得得到了一個(gè)近似刻畫(huà)水深與時(shí)間關(guān)系的三角函數(shù)模型，為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個(gè)檢驗(yàn)過(guò)程，帶值進(jìn)行簡(jiǎn)單的驗(yàn)證。

4、有了這個(gè)模型，我們要制定一張一天24小時(shí)內(nèi)整時(shí)刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面算一下在4時(shí)的時(shí)候水深是多少？（呈現(xiàn)水深關(guān)于時(shí)間的數(shù)值表）時(shí)刻1.002.003.004.005.006.007.008.009.0010.0011.0012.00水深5.0006.2507.1657.5006.2505.0003.7542.8352.5002.8353.7545.000時(shí)刻13.0014.0015.0016.0017.0018.0019.0020.0021.0022.0023.0024.00水深6.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.83

5、53.7545.000水深關(guān)于時(shí)間的函數(shù)模型，作為船長(zhǎng)考慮的問(wèn)題還沒(méi)有結(jié)束，因?yàn)榇辉谶M(jìn)出港時(shí)，每艘船只的吃水深度是不一樣，下面我們就看一看把這兩方面的情況都考慮進(jìn)去的一個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}探究2：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問(wèn)：該船何時(shí)能夠進(jìn)入港口？在港口能呆多久？貨船能夠進(jìn)入港口所需要滿(mǎn)足的條件是什么只有當(dāng)“實(shí)際水深吃水深度+安全間隙”時(shí)，船只才可以進(jìn)去或離開(kāi)港口。 解三角不等式，通常我們是算去邊界值，然后再確定解的范圍。令 ，我們知道三角方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解就有無(wú)數(shù)個(gè)，那么在0，24范圍內(nèi)，其他一些解該怎么求呢？我們

6、來(lái)看圖象情況。發(fā)現(xiàn)：在0，24范圍內(nèi)，方程的解一共有4個(gè)，從小到大依次記為4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值。結(jié)合圖象貨船應(yīng)該選擇什么時(shí)間進(jìn)港？什么時(shí)間出港呢？方案1 貨船可以在0時(shí)30分鐘左右進(jìn)港，早晨5時(shí)30分鐘左右出港；或者是中午12時(shí)30分鐘左右進(jìn)港，在傍晚17時(shí)30分鐘左右出港。方案2貨船可以在0時(shí)30分鐘左右進(jìn)港，可以選擇早晨5時(shí)30分，中午12時(shí)30分，或者傍晚17時(shí)30分左右出港。給出了兩種不同的進(jìn)出港時(shí)間方案，哪一種情況更符合實(shí)際或者說(shuō)更安全。問(wèn)題的分析研究方案1 為安全方案，因?yàn)楫?dāng)實(shí)際水深小于安全深度時(shí)，貨船盡管沒(méi)有行駛，但是擱淺后船身完全可以餡入淤泥，即使后來(lái)水位上漲，也很可能船身不再上

7、浮整個(gè)過(guò)程，貨船在進(jìn)港，在港口停留，到后來(lái)離開(kāi)港口，貨船的吃深深度一直沒(méi)有改變，也就是說(shuō)貨船的安全深度一直沒(méi)有改變，但是實(shí)際情況往往是貨船載滿(mǎn)貨物進(jìn)港，在港口卸貨，在卸貨的過(guò)程中，由物理學(xué)的知識(shí)我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會(huì)上浮，換句話(huà)說(shuō)，隨著貨物的卸載，貨船的安全深度不再向開(kāi)始那樣一直是一個(gè)常數(shù)，現(xiàn)在它也是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的變量，而實(shí)際水深也一直在變化，這樣一來(lái)當(dāng)兩者都在改變的時(shí)候，我們又改如何選擇進(jìn)出港時(shí)間呢？請(qǐng)看下面問(wèn)題：?jiǎn)栴}探究3：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.

8、3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？問(wèn)題中“必須停止卸貨”，是在貨船即將面臨什么危險(xiǎn)的時(shí)候呢？ 當(dāng)實(shí)際水深快要小于或等于安全水深的時(shí)候，就必修停止卸貨。 那么我們先把貨船安全需要滿(mǎn)足的條件給寫(xiě)出來(lái)： 安全即需要：實(shí)際水深安全水深 即：（x=2）用代數(shù)的方法不好解的時(shí)候，我們不妨從幾何的角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題。作圖并呈現(xiàn)通過(guò)圖象可以看出，當(dāng)快要到P時(shí)刻的時(shí)候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。那么P點(diǎn)的坐標(biāo)如何求得呢？P點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程解，很顯然，精確常見(jiàn)解我們是無(wú)法求得，我們二分法只能是求得其近似解，由圖得點(diǎn)P在6，7，故我們只需要算出6，6.5，7三個(gè)時(shí)刻的安全水深與

9、實(shí)際水深的數(shù)值表就可以回答上面的問(wèn)題。時(shí)間 實(shí)際水深安全水深是否安全605米43米安全6542米41米較安全7038米40米危險(xiǎn)貨船應(yīng)該在6時(shí)30分駛離港口。問(wèn)題的分析與研究P點(diǎn)是兩圖像的交點(diǎn) 在貨船的安全水深正好和港口的水深相等時(shí)，停止卸貨駛向較深的水域是不行的 因?yàn)檫@樣不能保證貨船有 足夠的時(shí)間發(fā)動(dòng)螺旋漿從這這個(gè)問(wèn)題可以看出，如果有時(shí)候時(shí)間控制不當(dāng)，貨船在卸貨的過(guò)程中，就會(huì)出現(xiàn)貨還沒(méi)有卸完，不得已要暫時(shí)駛離港口，進(jìn)入深水區(qū)，等水位上后在駛回來(lái)。這樣對(duì)船長(zhǎng)來(lái)說(shuō)就會(huì)造成才力、物力上的巨大浪費(fèi)？這顯然不是船長(zhǎng)愿意看到的。那該怎么來(lái)做呢？加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度，合理調(diào)配人力物力資

10、源，時(shí)間分配不違背自然規(guī)律，懂科學(xué)，用科學(xué)，生活中無(wú)處不存在數(shù)學(xué)的知識(shí)二 數(shù)學(xué) 模型建立的步驟回顧我們整個(gè)探究過(guò)程，經(jīng)歷了這么幾個(gè)階段 第一階段：收集數(shù)據(jù)-畫(huà)散點(diǎn)圖（為了更加直觀形象揭示變化規(guī)律）第二階段：根據(jù)圖象特征-選擇適當(dāng)函數(shù)類(lèi)型，并求得函數(shù)類(lèi)型第三階段：函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用三 模型中的數(shù)學(xué)思想在整個(gè)探究過(guò)程，我們用到數(shù)的一些思想方法：（1）對(duì)實(shí)際問(wèn)題處理過(guò)程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；（2）在對(duì)一些數(shù)據(jù)處理的過(guò)程用到了估算的思想；（3）在用代數(shù)方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數(shù)形結(jié)合的思想；（4）在方程的求解過(guò)程中，用到了算法中“二分法”思想。我們利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)處理了生活中貨船進(jìn)出港問(wèn)題，本文中 潮汐的變化直接影響著人們的生活，象軍事、遠(yuǎn)洋航海、海上捕魚(yú)、海水養(yǎng)殖，海洋工程及沿岸各類(lèi)生產(chǎn)活動(dòng)都受潮汐的影響，為了掌握潮汐的規(guī)律，對(duì)潮汐的研究從來(lái)沒(méi)有停止過(guò)，在我國(guó)沿海分布著許許多多大大小小的海洋站，這些海洋站隨時(shí)記錄著當(dāng)?shù)爻毕那闆r，潮位的變化