六方晶系四指數(shù)推導(dǎo)

1、1.4 晶向指數(shù)和晶面指數(shù)一 晶向和晶面1 晶向晶向：空間點(diǎn)陣中各陣點(diǎn)列的方向（連接點(diǎn)陣中任意結(jié)點(diǎn)列的直線方向）。晶體中的某些方向，涉及到晶體中原子的位置，原子列方向，表示的是一組相互平行、方向一致的直線的指向。2 晶面 晶面：通過空間點(diǎn)陣中任意一組陣點(diǎn)的平面（在點(diǎn)陣中由結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的平面）。晶體中原子所構(gòu)成的平面。不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的許多性質(zhì)和行為（如各種物理性質(zhì)、力學(xué)行為、相變、X光和電子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的關(guān)系。所以，為了研究和描述材料的性質(zhì)和行為，首先就要設(shè)法表征晶面和晶向。為了便于確定和區(qū)別晶體中不同方位的晶向和晶面，國際上通用密勒（Mil

2、ler）指數(shù)來統(tǒng)一標(biāo)定晶向指數(shù)與晶面指數(shù)。二 晶向指數(shù)和晶面指數(shù)的確定1 晶向指數(shù)的確定方法三指數(shù)表示晶向指數(shù)uvw的步驟如圖1所示。(1)建立以晶軸a，b，c為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系，各軸上的坐標(biāo)長度單位分別是晶胞邊長a，b，c，坐標(biāo)原點(diǎn)在待標(biāo)晶向上。(2)選取該晶向上原點(diǎn)以外的任一點(diǎn)P(xa，yb，zc)。(3)將xa，yb，zc化成最小的簡單整數(shù)比u，v，w，且uvw = xaybzc。(4)將u，v，w三數(shù)置于方括號內(nèi)就得到晶向指數(shù)uvw。圖1 晶向指數(shù)的確定方法圖2 不同的晶向及其指數(shù)當(dāng)然，在確定晶向指數(shù)時，坐標(biāo)原點(diǎn)不一定非選取在晶向上不可。若原點(diǎn)不在待標(biāo)晶向上，那就需要選取該晶向上兩點(diǎn)的坐

3、標(biāo)P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后將(x1-x2)，(y1-y2)，(z1-z2)三個數(shù)化成最小的簡單整數(shù)u，v，w，并使之滿足uvw=(x1-x2)(y1-y2)(z1-z2)。則uvw為該晶向的指數(shù)。 顯然，晶向指數(shù)表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，則晶向指數(shù)的數(shù)字相同，但符號相反，如圖3中0與010。說明：a 指數(shù)意義：代表相互平行、方向一致的所有晶向。b 負(fù)值：標(biāo)于數(shù)字上方，表示同一晶向的相反方向。c 晶向族：晶體中原子排列情況相同但空間位向不同的一組晶向。用表示，數(shù)字相同，但排列順序不同或正負(fù)號不同的晶向?qū)儆谕痪蜃?。晶體結(jié)構(gòu)中那些原子密度相

4、同的等同晶向稱為晶向軸，用表示。：100 010 001 ：111 圖3 正交點(diǎn)陣中的幾個晶向指數(shù)2 晶面指數(shù)的確定國際上通用的是密勒指數(shù)，即用三個數(shù)字來表示晶面指數(shù)（h k l）。圖4中的紅色晶面為待確定的晶面，其確定方法如下。圖4 晶面指數(shù)的確定(1)建立一組以晶軸a，b，c為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系，令坐標(biāo)原點(diǎn)不在待標(biāo)晶面上，各軸上的坐標(biāo)長度單位分別是晶胞邊長a，b，c。(2)求出待標(biāo)晶面在a，b，c軸上的截距xa，yb，zc。如該晶面與某軸平行，則截距為。(3)取截距的倒數(shù)1/xa，1/yb，1/zc。(4)將這些倒數(shù)化成最小的簡單整數(shù)比h，k，l，使hkl= 1/xa1/yb1/zc。(5)如

5、有某一數(shù)為負(fù)值，則將負(fù)號標(biāo)注在該數(shù)字的上方，將h，k，l置于圓括號內(nèi)，寫成(hkl)，則(hkl)就是待標(biāo)晶面的晶面指數(shù)。說明：晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而是代表著一組相互平行的晶面。a 指數(shù)意義：代表一組平行的晶面；b 0的意義：面與對應(yīng)的軸平行；c 平行晶面：指數(shù)相同，或數(shù)字相同但正負(fù)號相反；d 晶面族：晶體中具有相同條件（原子排列和晶面間距完全相同），空間位向不同的各組晶面，用hkl表示。在立方系中，100：（100）（010）（001），110：（110）（101）（011）（10）（01）（01），111：（111）（11）（11）（11）e 若晶面與晶向同面，則hu+kv+l

6、w=0;f 若晶面與晶向垂直，則u=h, k=v, w=l。立方系常用晶面指數(shù)圖5。圖5 立方系常用晶面指數(shù)例子：請確定圖6中的晶面的晶面指數(shù)，并在圖7中畫出這些晶面指數(shù)所代表的晶面。首先選定坐標(biāo)系，如圖所示。然后求出待標(biāo)晶面在a，b，c軸上的截距，分別為a/2，2b/3，c/2。取倒數(shù)后得到2，3/2，2。再將其化成最小的簡單整數(shù)比，得到4，3，4三個數(shù)。于是該面的晶面指數(shù)為(434)。圖6圖7 晶面指數(shù)的標(biāo)注所有相互平行的晶面在三個晶軸上的截距雖然不同，但它們是成比例的，其倒數(shù)也仍然是成比例的，經(jīng)簡化可以得到相應(yīng)的最小整數(shù)。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指數(shù)相同，或者三個符號均相反。可見

7、，晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而且代表著一組相互平行的晶面。圖8立方晶胞的110、111晶面族3 關(guān)于晶面指數(shù)和晶向指數(shù)的確定方法還有以下幾點(diǎn)說明：(1)參考坐標(biāo)系通常都是右手坐標(biāo)系。坐標(biāo)系可以平移（因而原點(diǎn)可置于任何位置）。但不能轉(zhuǎn)動，否則，在不同坐標(biāo)系下定出的指數(shù)就無法相互比較。 (2)晶面指數(shù)和晶向指數(shù)可為正數(shù)，亦可為負(fù)數(shù)，但負(fù)號應(yīng)寫在數(shù)字上方，如（），等。 (3)若各指數(shù)同乘以不等于零的數(shù)n，則新晶面的位向與舊晶面的一樣，新晶向與舊晶向或是同向(當(dāng)n0)，或是反向(當(dāng)n0)。但是，晶面距（兩個相鄰平行晶面間的距離）和晶向長度（兩個相鄰結(jié)點(diǎn)間的距離）一般都會改變，除非n=1。從以上各

8、例可以看出，立方晶體的等價晶面具有“類似的指數(shù)”，即指數(shù)的數(shù)字相同，只是符號（正負(fù)號）和排列次序不同。這樣，我們只要根據(jù)兩個（或多個）晶面的指數(shù)，就能判斷它們是否為等價晶面。另一方面，給出一個晶面族符號hkl，也很容易寫出它所包括的全部等價晶面。 對于非立方晶系，由于對稱性改變，晶面族所包括的晶面數(shù)目就不一樣。例如正交晶系，晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以100族來包括。 與晶面族類似，晶體中因?qū)ΨQ關(guān)系而等同的各組晶向可歸并為一個晶向族，用表示。仿照上例，讀者可以寫出在立方晶系中的，和等晶向族所包括的等價晶向。以后，在討論晶體的性質(zhì)(或行為)時,若遇到晶面族或晶向族

9、符號，那就表示該性質(zhì)（或行為）對于該晶面族中的任一晶面或該晶向族中的任一晶向都同樣成立，因而沒有必要區(qū)分具體的晶面或晶向。 另外，在立方晶系中，具有相同指數(shù)的晶向和晶面必定是相垂直的，即hkl(hkl)。4.六方晶系指數(shù)表示上面我們用三個指數(shù)表示晶面和晶向。這種三指數(shù)表示方法，原則上適用于任意晶系。對六方晶系，取a，b，c為晶軸，而a軸與b軸的夾角為120，c軸與a，b軸相垂直，如圖9所示。圖9 六方晶體的等價晶面和晶向指數(shù)但是，用三指數(shù)表示六方晶系的晶面和晶向有一個很大的缺點(diǎn)，即晶體學(xué)上等價的晶面和晶向不具有類似的指數(shù)。這一點(diǎn)可以從圖9看出。圖中六棱柱的兩個相鄰表面（紅面和綠面）是晶體學(xué)上等

10、價的晶面，但其密勒指數(shù)卻分別是（1）和(100)。圖中夾角為60的兩個密排方向D1和D2是晶體學(xué)上的等價方向，但其晶向指數(shù)卻分別是100和110。由于等價晶面或晶向不具有類似的指數(shù)，人們就無法從指數(shù)判斷其等價性，也無法由晶面族或晶向族指數(shù)寫出它們所包括的各種等價晶面或晶向，這就給晶體研究帶來很大的不便。為了克服這一缺點(diǎn)，或者說，為了使晶體學(xué)上等價的晶面或晶向具有類似的指數(shù)，對六方晶體來說，就得放棄三指數(shù)表示，而采用四指數(shù)表示（密勒-布拉菲指數(shù)）。四指數(shù)表示是基于4個坐標(biāo)軸：a1，a2，a3和c軸，如圖10所示，其中，a1，a2和c軸就是原胞的a，b和c軸，而a3=-(a1+a2)。下面就分別討

11、論用四指數(shù)表示的晶面及晶向指數(shù)。圖10 六方晶體的四軸系統(tǒng)（1）六方晶系晶面指數(shù)的標(biāo)定六方晶系晶面指數(shù)的標(biāo)定原理和方法同立方晶系中的一樣，從待標(biāo)晶面在a1，a2，a3和c軸上的截距可求得相應(yīng)的指數(shù)h，k，i，l，于是晶面指數(shù)可寫成(hkil)。根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨(dú)立的坐標(biāo)軸最多不超過三個。應(yīng)用上述方法標(biāo)定的晶面指數(shù)形式上是4個指數(shù)，但是不難看出，前三個指數(shù)中只有兩個是獨(dú)立的，它們之間有以下的關(guān)系：i = -( h + k )，因此，可以由前兩個指數(shù)求得第三個指數(shù)。六方晶體中常見晶面及其四指數(shù)（亦稱六方指數(shù)）標(biāo)于圖11中。從圖看出，采用四指數(shù)后，同族晶面（即晶體學(xué)上等價的晶面）就具有類似的

12、指數(shù)。例如： 共6個等價面(型棱柱面)。 共6個等價面(型棱柱面)。 而0001只包括(0001)一個晶面，稱為基面。六方晶體中比較重要的晶面族還有，請讀者寫出其全部等價面。圖11 六方晶體中常見的晶面（2）六方晶系晶向指數(shù)的標(biāo)定采用四軸坐標(biāo)，六方晶系晶向指數(shù)的標(biāo)定方法如下：當(dāng)晶向通過原點(diǎn)時，把晶向沿四個軸分解成四個分量，晶向OP可表示為：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指數(shù)用uvtw表示，其中t=-(u+v)。原子排列相同的晶向為同一晶向族，圖12中a1軸為，a2軸，a3軸均屬，其缺點(diǎn)是標(biāo)定較麻煩。可先用三軸制確定晶向指數(shù)UVW，再利用公式轉(zhuǎn)換為uvtw。采用三軸坐標(biāo)系時。C軸垂直底

13、面，a1、a2軸在底面上，其夾角為120o，如圖12，確定晶向指數(shù)的方法同前。采用三軸制雖然指數(shù)標(biāo)定簡單，但原子排列相同的晶向本應(yīng)屬于同一晶向族，其晶向指數(shù)的數(shù)字卻不盡相同，例如100，010，見圖12。 圖12 六方晶系的一些晶面與晶向指數(shù) 六方晶系按兩種晶軸系所得的晶向指數(shù)可相互轉(zhuǎn)換如下，。例如，100，010，這樣等同晶向的晶向指數(shù)的數(shù)字都相同。標(biāo)定方法通常采用行走法。用行走法確定六方晶體的四軸晶向指數(shù)時，會遇到一個新的問題，即解是不唯一的。例如，a1軸的指數(shù)可以是，也可以是2000；a2軸的指數(shù)可以是，也可以是0200。分析各種等價晶向的四指數(shù)后發(fā)現(xiàn)，要想使等價晶向具有類似的四指數(shù)，就

14、需要人為地附加一個條件，即前三個指數(shù)之和為零。若將晶向指數(shù)寫成UVTW，則上述附加條件可寫成：U+V+T=0，或T=-(U+V)。按照這個附加條件，上述a1軸的指數(shù)就應(yīng)該是，而不是2000；同樣，a2和a3軸的指數(shù)分別是和。圖13中標(biāo)出了六方晶體中各重要晶向的四指數(shù)，它們是0001，等等。圖13 六方晶體中常見的晶向除上述幾個特殊晶向外，對一般的晶向，很難直接求出四指數(shù)UVTW，因為很難保證在沿a1，a2，a3和c軸分別走了U，V，T和W步后既要到達(dá)晶向上的另一點(diǎn)，又要滿足條件T=-(U+V)。比較可靠的標(biāo)注指數(shù)方法是解析法。該法是先求出待標(biāo)晶向在a1，a2和c三個軸下的指數(shù)u，v，w（這比較

15、容易求得），然后按以下公式算出四指數(shù)U，V，T，W。 (1-1)T = - (U + V)W = w此公式可證明如下。由于三指數(shù)和四指數(shù)均描述同一晶向，故：Ua1+ Va2+ Ta3+ Wc = ua1+va2+wc(1-2)又由幾何關(guān)系：a1+ a2 = - a3(1-3)再由等價性要求： T = - (U+V)(1-4)解以上三個聯(lián)立方程，即得到：u = 2U+V，v = 2V+U，w = W(1-5)(1-5)式和(1-1)式可用矩陣表示如下： =下面舉兩個例子。例1 請寫出a1軸的晶向指數(shù)。解：從晶胞圖直接得到：u=1，v=0，w=0，按(1-1)式算得：故。例2 請寫出a2和-a3交

16、角的平分線D的晶向指數(shù)。解：從晶胞圖可看出：D=a1+(-a3)=2a1+a2，得u=2，v=1，w=0，代入(1-1)式得到：U=1，V=0，T=-1，W=0，故。5 立方和六方晶體中重要晶向的快速標(biāo)注在以后各章將多次遇到立方和六方晶體中的一些低指數(shù)重要晶向，需要迅速確定其指數(shù)。根據(jù)上述標(biāo)定指數(shù)的方法，我們歸納出一條快速標(biāo)定晶向指數(shù)的口訣，即：“指數(shù)看特征，正負(fù)看走向”。就是說，根據(jù)晶向的特征，決定指數(shù)的數(shù)值；根據(jù)晶向是“順軸”（即與軸的正向成銳角）還是“逆軸”（即與軸的正向成鈍角），決定相應(yīng)于該軸的指數(shù)的正負(fù)。下面具體討論立方和六方晶體中的各重要晶向。（1）立方晶體立方晶體中各重要晶向的特

17、征如下：(1)是晶軸。若沿著a軸，則第一指數(shù)為1，依次類推；如果“逆軸”（如沿-a軸），則相應(yīng)指數(shù)為。(2)是立方體面對角線。若面對角線在a面（即(100)面）上，則第一指數(shù)為零，其余兩個指數(shù)為1或（取決于所討論的對角線是“順著”還是“逆著”相應(yīng)的晶軸）。(3)是體對角線。三個指數(shù)都是1或，取決于該對角線與相應(yīng)軸的交角（銳角為1，鈍角為)。(4)是頂點(diǎn)到對面（即不通過該頂點(diǎn)的100面）面心的連線。如果對面是a面，則第一指數(shù)為2或，其余兩個指數(shù)為1或。（2）六方晶體六方晶體中各重要晶向的特征如下：(1)0001c軸。(2)和a1，a2 或a3軸平行的晶向。和哪個軸正（或反）平行，則相應(yīng)的指數(shù)就是

18、2（或），其余三個指數(shù)就是，0（或1，1，0）。 (3)兩個晶軸ai和aj交角的平分線（i、j=1，2，3，ij）。例如，是+a1軸和-a3軸交角的平分線；是-a2軸和+a3軸交角的平分線等等。根據(jù)以上幾類晶向指數(shù)，還可以迅速求得某些不平行于基面的重要晶向。方法是先求該晶向在基面上的投影線的指數(shù)UVT0，而w可從晶胞圖中直觀看出。例如，求圖1-19中MN的指數(shù)時，先將MN平移至原點(diǎn)，找出其投影ON的指數(shù)，從圖1-19中可直觀看出W=1，故MN的指數(shù)，化整后得到。6 晶帶相交于某一晶向直線或平行于此直線的晶面構(gòu)成一個晶帶，此直線稱為晶帶軸。設(shè)晶帶軸的指數(shù)為uvw，則晶帶中任何一個晶面的指數(shù)（hk

19、l）都必須滿足：hu+kv+lw=0，滿足此關(guān)系的晶面都屬于以uvw為晶帶軸的晶帶，已知兩個非平行的晶面指數(shù)為（h1k1l1）和（h2k2l2）則其交線即為晶帶軸的指數(shù)uvw：，。圖14 晶帶軸7 晶面間距一組平行晶面中，相鄰兩個平行晶面之間的距離叫晶面間距。兩近鄰平行晶面間的垂直距離，用dhkl表示。對于不同的晶面族hkl其晶面間距也不同?？偟膩碚f，低指數(shù)晶面的面間距較大，高指數(shù)晶面的面間距較小。圖15 晶面間距 圖16 晶面間距公式的推導(dǎo)由晶面指數(shù)的定義，可用數(shù)學(xué)方法求出晶面間距，（簡單立方）：d=a/(h2+k2+l2)1/2，正交系：，立方系：，六方系：。此公式用于復(fù)雜點(diǎn)陣（如體心立方

20、，面心立方等）時要考慮晶面層數(shù)的增加。例如，體心立方（001）面之間還有同一類的晶面，可稱為（002）面，故晶面間距應(yīng)為簡單晶胞的一半，等于。由公式也可看出低指數(shù)晶面的面間距大。三 晶體的極射赤面投影采用立體圖難以做到清晰表達(dá)晶體的各種晶向、晶面及它們之間的夾角。通過投影圖可將立體圖表現(xiàn)于平面上。晶體投影方法很多，廣泛應(yīng)用的是極射赤面投影。1 參考球與極射赤面投影（1）參考球設(shè)想將一很小的晶體或晶胞置于一個大圓球的中心，由于晶體很小，可認(rèn)為各晶面均通過球心，由球心作晶面的法線與球面的交點(diǎn)稱為極點(diǎn)，這個球稱參考球，如圖17。球面投影用點(diǎn)表示相應(yīng)的晶面，兩晶面的夾角可在參考球上量出，如圖17，(1

21、10)與(010)夾角為45o。但使用上仍不方便。可在此基礎(chǔ)上再作一次極射赤面投影。圖17 參考球與立方系球面投影（2）極射赤面投影以球的南北極為觀測點(diǎn)，赤道面為投影面。連結(jié)南極與北半球的極點(diǎn)，連線與投影面的交點(diǎn)即為晶面的投影，如圖18。投影圖的邊界大圓與參考球直徑相等叫基圓。位于南半球的極點(diǎn)應(yīng)與北極連線，所得投影點(diǎn)可另選符號，使之與北半球的投影點(diǎn)相區(qū)分。也可選與赤道平行的其他平面作投影面，所得投影圖形狀不變，只改變其比例。對于立方系，相同指數(shù)的晶面和晶向互相垂直、所以立方系標(biāo)準(zhǔn)投影圖的極點(diǎn)即代表了晶面又代表了晶向。若將參考球比擬為地球，以地球的兩極為投影點(diǎn)，將球面投影投射到赤道平面上，就叫極

22、射赤面投影。圖18 極射赤面投影2 標(biāo)準(zhǔn)投影圖以晶體的某個晶面平行于投影面，作出全部主要晶面的極射投影圖稱為標(biāo)準(zhǔn)投影圖。一般選擇一些重要的低指數(shù)晶面作投影面，如立方系(001)，(011)，(111)及六方系(0001)等。例如(001)標(biāo)準(zhǔn)投影圖是以(001)為投影面，進(jìn)行極射投影而得到的，如圖19。圖19 立方系（001）標(biāo)準(zhǔn)投影圖3 吳氏網(wǎng)吳氏網(wǎng)是球網(wǎng)坐標(biāo)的極射平面投影，分度為2 o，具有保角度的特性。其讀數(shù)由中心向外讀，分東，南，西，北。吳氏網(wǎng)如圖20所示。圖20 吳氏網(wǎng)（分度為2o）使用吳氏網(wǎng)時，投影圖大小與吳氏網(wǎng)必須一致。利用吳氏網(wǎng)可方便讀出任一極點(diǎn)的方位，并可測定投影面上任意兩極

23、點(diǎn)間的夾角，是研究晶體投影，晶體取向等問題的有力工具。在測量時，用透明紙畫出直徑與吳氏網(wǎng)相等的基圓，并標(biāo)出晶面的極射赤面投影點(diǎn)。將透明紙蓋于吳氏網(wǎng)上。兩圓圓心始終重合，轉(zhuǎn)動透明紙、使所測兩點(diǎn)落在赤道線上，子午線上，基因上，同一經(jīng)線上。兩點(diǎn)緯度差(在赤道上為經(jīng)度差)就等于晶面夾角。不能轉(zhuǎn)到某一緯線去測夾角，因為此時所測得的角度不是實際夾角。例題1.已知純鈦有兩種同素異構(gòu)體，低溫穩(wěn)定的密排六方結(jié)構(gòu) 和高溫穩(wěn)定的體心立方結(jié)構(gòu) ，其同素異構(gòu)轉(zhuǎn)變溫度為882.5，計算純鈦在室溫（20）和900時晶體中（112）和（001）的晶面間距（已知aa20=0.2951nm, ca20=0.4679nm, a900=0.3307nm）。答案20時為-Ti：hcp結(jié)構(gòu)當(dāng)h+2k=3n (n=0,1,2,3) ，l=奇數(shù)時，有附加面。 ； 900時為 -Ti： bcc結(jié)構(gòu)當(dāng) 奇數(shù)時，有附加面。內(nèi)容提要晶胞是能反映點(diǎn)陣對稱性、具有代表性的基本單元（最小平行六面體），其不同方向的晶向和晶面可用密勒指數(shù)加以標(biāo)注，并可采用極射投影方法來分析晶面和晶向的相對位向關(guān)系。重點(diǎn)與難點(diǎn)1 晶向指數(shù)與晶面指數(shù)的標(biāo)注；2 晶面間距的確定與計算；晶向指數(shù)：uvw 即為AB晶向的晶向指數(shù)。如u、v、w中某一數(shù)為負(fù)值，則將負(fù)號標(biāo)注在該數(shù)的上方