7-5曲面方程及其方程.ppt

1、,第五節(jié),一、曲面方程的概念,二、幾種常見的曲面及其方程,曲面及其方程,第七章,一、曲面方程的概念,求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的,化簡得,即,說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.,引例,顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.,解 設軌跡上的動點為,軌跡方程.,1. 定義,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:,(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程;,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.,(2)

2、不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程,水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡,曲面的實例：,例1,故所求方程為,方程.,特別,當M0在原點時,球面方程為,解 設軌跡上動點為,即,依題意,距離為 R 的軌跡,表示上(下)球面 .,求動點到定點,例2,解 配方得,此方程表示:,說明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通過配方研究它的圖形.,其圖形可能是,的曲面.,半徑為,的球面.,球心為,一個球面, 或點, 或虛軌跡.,(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,求曲面方程.,(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀,( 必要時需作圖 ).,2. 兩個基

3、本問題,以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：,以M0 (x0 , y0 , z0 )為球心，R 為半徑的球面方程為,二、幾種特殊的曲面及其方程,2. 球面,3. 旋轉(zhuǎn)曲面,1. 平面,旋轉(zhuǎn)曲面,(1) 定義,一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,如圖，,代入,轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面 方程的特征：,得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程：,繞坐標軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點：,出現(xiàn)某兩變量的平方和.,(3) 常見的旋轉(zhuǎn)曲面, 圓柱面：, 圓錐面,直線 L 繞另一條與其 相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面,兩直線的交點叫圓錐面的頂點,叫圓錐面的半頂角.

4、,兩直線的夾角,試建立頂點在坐標原點，旋轉(zhuǎn)軸為z 軸，半頂角為 的圓錐面方程,(0 ,繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐面方程：,雙葉雙曲面,單葉雙曲面,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：, 旋轉(zhuǎn)雙曲面,雙葉雙曲面,單葉雙曲面,解,例3,過點 M 作垂直于z 軸,的平面，它與所給直線 L的交點為,故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為:,旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,注,一般地，旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,還可成是由直線,或,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成.,因而旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面又稱為直紋面., 旋轉(zhuǎn)橢球面,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：,旋轉(zhuǎn)橢球面, 旋轉(zhuǎn)拋物面,繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：, 旋轉(zhuǎn)拋物面,(1) 定義,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直

5、線L 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線C 叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.,4. 柱面,注,柱面的準線不惟一.,(2) 母線平行于坐標軸的柱面方程的特征,方程中缺少一個變量 (該坐標軸的變量),如：,表示母線 / z 軸的柱面.,事實上，,過點M 作垂直于 xoy 面的垂線，,則此垂線與 C的交點M1(x, y, 0)的坐標必滿足 ：,反之，不在上的點M，其在 xoy 面上的投影點M1不在C上，從而其坐標不滿足該方程., M, M1,類似地，,表示母線 / x 軸的柱面.,表示母線 / y 軸的柱面.,小結(jié)：,（其他類推）,常見的二次柱面, 橢圓柱面,母線 / 軸, 雙曲柱面,母線 / 軸, 拋物柱面,母線 / 軸,特殊柱面： 平面,內(nèi)容小結(jié),1. 空間曲面,三元方程,2. 球面,3. 旋轉(zhuǎn)曲面,如, 曲線,繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:,4. 柱面,如, 曲面,表示母線平行 z 軸的柱面.,又如, 橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .,(旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法).,(母線、準線).,1. 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？,思考題,解,平面解析幾何中,空間解析幾何中,斜率為1的直線,方程,2.,直線,繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周, 求此旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)曲面的方程.,解,在 L 上任取一點,設 M(x, y, z)為M0 繞z 軸旋