奧數(shù)：方陣問(wèn)題

1、.教學(xué)內(nèi)容 : 第十一講方陣問(wèn)題在日常生活中 , 我們經(jīng)常見(jiàn)到把人或物排成正方形的形狀 , 比如用花盆擺成正方形 , 同學(xué)們要參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式 , 要進(jìn)行隊(duì)列操練, 解放軍排著整齊的方隊(duì)接受檢閱等, 無(wú)論是訓(xùn)練或接受檢閱 , 都要按一定的規(guī)則排成一定的隊(duì)形 , 于是就產(chǎn)生了這一類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題 , 在數(shù)學(xué)上我們通常把研究這樣的問(wèn)題稱(chēng)為方陣問(wèn)題。掌握這類(lèi)問(wèn)題的解題規(guī)律 , 可以提高我們的解題能力 , 培養(yǎng)思維的靈活性。今天我們將共同研究和分析這類(lèi)問(wèn)題。士兵排隊(duì) , 橫著排叫行 , 豎著排叫列 , 若行數(shù)與列數(shù)都相等 , 恰好排成一個(gè)正方形 , 這就是一個(gè)方隊(duì) , 這種方隊(duì)也叫做方陣 (亦叫乘方問(wèn)題

2、)。在擺放的方陣中如果是實(shí)心的 , 我們叫它中實(shí)方陣 ; 如果這個(gè)方陣是空心的 , 我們叫它中空方陣。觀察中實(shí)方陣 , 我們不難發(fā)現(xiàn)方陣的基本特點(diǎn) :方陣的每行物體個(gè)數(shù)與每列物體個(gè)數(shù)相等。去掉橫豎各一排時(shí) , 有且只有 1 個(gè)物體是同時(shí)屬于被減去的一行和一列。如果把最外圈形成的正方形叫第一層, 再向里一圈叫第二層的話 , 會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰的這兩個(gè)正方形每邊個(gè)數(shù)相差為2, 相鄰兩層相差總個(gè)數(shù)為8。每邊人 (或物 )數(shù)和四周人 (或物 )數(shù)的關(guān)系.四周人 (或物 )數(shù) =每邊人 (或物 )數(shù) -1 4每邊人 (或物 )數(shù) =四周人 (或物 )數(shù) 4+1中實(shí)方陣的總?cè)藬?shù)(或物 )=每邊人 (或物 )數(shù)每邊

3、人 (或物 )數(shù)觀察中空方陣 , 我們不難發(fā)現(xiàn)方陣的基本特點(diǎn):中空方陣的總?cè)?或物 )數(shù) =( 最外層每邊人 (或物 )數(shù) - 中空方陣的層數(shù) ) 中空方陣的層數(shù)4下面我們就利用以上特點(diǎn)進(jìn)例 1 參加軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演 , 他們排成了一個(gè)七行七列的正方形隊(duì)列 , 如果去掉一行一列 , 請(qǐng)問(wèn) : 要去掉多少名學(xué)生 ?還剩下多少名學(xué)生 ?分析與解答 : 如上圖表示的是一個(gè)4 行 4 列的實(shí)心正方形隊(duì)列, 從圖中可以看出正方形隊(duì)列的特點(diǎn):( 1) 正方形隊(duì)列每行、每列的人數(shù)相等, 因此總?cè)藬?shù) =每行人數(shù)每列人數(shù)。( 2) 去掉橫豎各一排時(shí), 有且只有 1 人是同時(shí)屬于被減去的一行和一列的 , 如

4、圖中點(diǎn)A 所示。因此去掉的總?cè)藬?shù)=原每行人數(shù)2- 1, 或去掉的總?cè)藬?shù)=減少后每行人數(shù)2+1。本題中所求 , 即去掉的人數(shù) =7 2- 1=13( 人 )或去掉的人數(shù) =( 7- 1) 2+1=13( 人 )還剩的人數(shù) =( 7- 1) ( 7- 1)= 36( 人 ).或還剩的人數(shù) =77- 13=49- 13=36( 人)答: 如果去掉一行一列, 要去掉 13 名學(xué)生 , 還剩下 36 名學(xué)生。例 2小剛用若干枚棋子擺成一個(gè)中實(shí)方陣, 最外層每邊擺6枚 , 請(qǐng)問(wèn) : 要擺成這樣一個(gè)中實(shí)方陣至少需要多少枚棋子 ?最外一層的棋子總數(shù)是多少 ?分析與解答 : 如圖 , 最外一層每邊擺6 枚, 根

5、據(jù)方陣每行每列個(gè)數(shù)相等特點(diǎn) , 因此一共有66=36 枚棋子。最外一層每邊有 6 枚 , 如果用 6 4=24 枚, 就認(rèn)為是最外一層棋子數(shù)的答案的話 , 那就錯(cuò)了。因?yàn)檎叫蚊總€(gè)頂點(diǎn)上的棋子分屬于一行一列, 這樣棋子在計(jì)算總數(shù)時(shí)就被多數(shù)了一次, 這樣的頂點(diǎn)一共有4 個(gè) , 需要把多數(shù)的減去 , 才能得到正確的結(jié)果。列式是6 4- 4=20 枚。說(shuō)明 : 這道題還可以這樣想: 數(shù)每邊棋子時(shí), 可以按上圖先劃分成 4 個(gè)相等的塊 , 這樣每邊就有5 枚了 , 因此用 5 4=20 枚 ,也可以得到正確答案。按照劃分塊的方法不同, 至少還有兩種方法 , 請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉?。?3有一隊(duì)士兵排成一個(gè)中實(shí)

6、方陣, 最外一層有100 人, 請(qǐng)問(wèn): 方陣中一共有士兵多少人?分析與解答: 要想求出方陣中一共有多少士兵, 就應(yīng)先求出方陣的最外層每邊有多少人。已知方陣最外一層有100 人 ,用 100 4=25 人, 每邊是不是 25 人呢 ?不是的 , 因?yàn)槠骄殖?4 份后 , 還需要再加上 1, 才正好是每邊上的人數(shù) , 列式應(yīng)該為.100 4+1=26 人。因此方陣中一共有26 26=676 人。答: 一共有 676 人。說(shuō)明 : 這道題關(guān)鍵是求出每邊人數(shù)。在求每邊人數(shù)時(shí), 不要認(rèn)為和“知道了正方形周長(zhǎng), 求邊長(zhǎng)”一樣 , 還必須要加上1。例 4若干名同學(xué)排成中實(shí)方陣則多12 人 , 若要將這個(gè)方

7、陣改擺成縱橫兩個(gè)方向各增加1 人的方陣則還差9 人排滿(mǎn) , 請(qǐng)問(wèn): 原有學(xué)生多少人?分析與解 : 由于縱橫兩個(gè)方向各增加 1 人 , 因此不但將剩余 12 人擺上 , 而且還差 9 人 , 說(shuō)明一橫行與一豎行的人數(shù)總和是12+9=21 人。又由于縱橫兩個(gè)方向各增加1 人 , 因此只有1 人同屬于橫行與縱行 , 在數(shù)每邊上的人數(shù)時(shí), 總被多數(shù)一次 , 因此可以用21人先加上被重復(fù)數(shù)過(guò)的1 人 , 再除以 2, 也就得到每邊人數(shù)。列式為 ( 21+1) 2=11 人。求出每邊人數(shù), 就可求出假設(shè)排滿(mǎn)后的人數(shù) , 列式為 1111=121 人 , 用 121 人減去差的9 人就是原來(lái)人數(shù) , 列式為

8、121- 9=112 人。也可以根據(jù)原來(lái)的方陣再加上 12, 請(qǐng)你試一試。答: 原有學(xué)生 112 人。前四個(gè)例題涉及的都是實(shí)心方陣問(wèn)題。下面我們來(lái)研究中空方陣問(wèn)題。例 5 游行隊(duì)伍中 , 手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車(chē)的四周?chē)擅窟吶龑拥姆疥?, 最外邊一層每邊 12 人, 請(qǐng)問(wèn) : 彩車(chē)周?chē)?的少先隊(duì)員共有多少人?分析與解答1: 請(qǐng)同學(xué)們自己畫(huà)一個(gè)圖, 下圖是一個(gè)三層中空方陣的示意圖 , 不難發(fā)現(xiàn) , 有如下特點(diǎn) :( 1) 外層每邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)都比相鄰內(nèi)層的每邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)多2;( 2) 每相鄰兩層之間, 點(diǎn)的總數(shù)相差8 個(gè)。最外層隊(duì)員的總數(shù) : 12 4-4=44( 人 )三層共有隊(duì)員的總數(shù) :

9、44+(44- 8) +( 44- 8 2)=44+36+28=108( 人)分析與解答 2: 如下圖可分成相等的四部分, 每一部分的人數(shù):( 12- 3) 3=9 3=27( 人 )三層共有隊(duì)員數(shù): 27 4=108( 人)答: 彩車(chē)周?chē)纳傧汝?duì)員共有108 人。這個(gè)問(wèn)題還有別的解法, 請(qǐng)同學(xué)們自己試著做一下。例 6 小明用圍棋子擺了一個(gè)五層中空方陣 , 一共用了 200 枚棋子 , 請(qǐng)問(wèn) : 最外邊一層每邊有多少枚棋子 ?分析與解答1: 利用“相鄰兩層之間, 每層的總數(shù)相差8”的特點(diǎn) , 可知最外層共有棋子數(shù):( 200+8+8 2+8 3+8 4) 5=56( 個(gè) )最外層每邊的棋子數(shù):

10、 564+1=15( 個(gè))分析與解答2: 如例 5 的圖 , 把棋子分成相等的四部分。.每一部分的棋子數(shù): 200 4=50( 個(gè) )每一部分每排的棋子數(shù): 50 5=10( 個(gè))最外層每邊的棋子數(shù): 10+5=15( 個(gè) )綜合列式為 : 2004 5+5=15( 個(gè) )答: 最外邊一層每邊有15 枚棋子。閱讀材料牛頓是英國(guó)一位偉大的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家, 他是個(gè)早產(chǎn)兒, 從小就體弱多病, 不能像同年齡的孩子在外面跑跑跳跳。只能躲在室內(nèi)。不過(guò) , 聰明的他卻有一套玩耍的方法; 他制造了一種利用老鼠磨面粉的機(jī)械玩具水車(chē), 把小麥磨成雪白的面粉,還做了有燈光的風(fēng)箏嚇唬村民。牛頓最有名的一段小故事,就是

11、因?yàn)樘O(píng)果落下 , 而發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力 , 為什么蘋(píng)果會(huì)落下 ?小朋友你想過(guò)這個(gè)問(wèn)題嗎 ?這是因?yàn)榈匦囊?, 所以有重量 , 蘋(píng)果才落下。喔 牛頓很喜歡想問(wèn)題 , 也喜歡看書(shū) , 最后成為偉大的科學(xué)家和數(shù)學(xué)家哩練習(xí)題1. 實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)原準(zhǔn)備排成一個(gè)正方形隊(duì)列參加廣播操表演 , 由于服裝不夠 , 只好橫豎各減少一排 , 這樣共需去掉 27 人, 請(qǐng)問(wèn) : 四年級(jí)原來(lái)準(zhǔn)備多少人參加表演 ?分析與解答 : 此題剛好是例 1 的逆向思考問(wèn)題。根據(jù)正方形隊(duì)列的特點(diǎn) , 可知原每行人數(shù) =( 去掉一行一列的人數(shù) +1) 2.即 : 原來(lái)每行人數(shù) :( 27+1) 2=14( 人)原來(lái)準(zhǔn)備參加表演的人數(shù): 1

12、4 14=196( 人 )答: 四年級(jí)原準(zhǔn)備196 人參加表演。2. 一隊(duì)學(xué)生站成 20 行 20 列方陣 , 如果去掉 4 行 4 列 , 那么要減少多少人 ?分析與解答1: 把去掉 4 行 4 列轉(zhuǎn)化為一行一列的去掉, 就可用例 6 的結(jié)論 :去掉一行一列的總?cè)藬?shù)=原每行人數(shù) 2- 1反復(fù)利用4 次這個(gè)公式 , 只要注意“原每行人數(shù)”的變化, 即可列式為 :去掉4 行 4 列的總?cè)藬?shù) =202- 1+( 20- 1) 2- 1+( 20- 2) 2- 1+( 20- 3) 2- 1=40- 1=38- 1+36- 1+34- 1=144( 人)分析與解答 2: 我們還可以這樣想 : 原來(lái)是

13、一個(gè)7 行 7 列的方陣, 若去掉 4 行4 列后 , 仍剩下一個(gè)小正方形方陣, 因此去掉 4行 4 列的總?cè)藬?shù) =原正方形方陣每邊人數(shù)- 4, 即去掉的總?cè)藬?shù)=20 20-( 20- 4) ( 20- 4)=400- 256=144( 人 )答: 去掉 4 行 4 列, 要減少 144 人。.3. 正方形舞廳四周均勻的裝彩燈, 如果四個(gè)角都裝一盞且每邊裝 12 盞 , 那么這個(gè)舞廳四周共裝彩燈多少盞?分析與解1: 自己畫(huà)圖可以看出, 角上的四盞燈各屬于兩行,所以彩燈總數(shù)應(yīng)為: 12 4- 4=44( 盞 )分析與解2: 還可以把彩燈分成相等的四部分, 因此彩燈總數(shù)為 :( 12- 1) 4=

14、44( 盞 )答: 這個(gè)舞廳四周共裝彩燈44 盞。4. “六一”兒童節(jié)前夕 , 在校園雕塑的周?chē)?, 用 204 盆鮮花圍成了一個(gè)每邊三層的方陣 , 請(qǐng)你求出最外面一層每邊有鮮花多少盆 ?分析與解答 : 分析思路參見(jiàn)例6, 最外層每邊人數(shù)=總數(shù) 4層數(shù) +層數(shù)204 43+3=20(盆 )答: 最外面一層每邊有鮮花20 盆5. 四年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式 , 排成一個(gè)方陣 , 最外層一周的人數(shù)為 20 人, 請(qǐng)問(wèn) : 方陣最外層每邊的人數(shù)是多少 ?這個(gè)方陣共有多少人?分析 : 根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知:每邊人數(shù) =四周人數(shù) 4+1, 可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù) , 那么這個(gè)方陣隊(duì)

15、列的總?cè)藬?shù)就可以求出來(lái)了。解答 :( 1) 方陣最外層每邊的人數(shù): 20 4+1=5+1=6( 人 )( 2) 整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù): 6 6=36( 人 ).答: 方陣最外層每邊的人數(shù)是6 人 , 這個(gè)方陣共有36 人。6. 明明用圍棋子擺成一個(gè)三層中空方陣, 如果最外層每邊有圍棋子15 個(gè) , 明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少枚棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少枚棋子?分析 :( 1) 方陣每向里面一層 , 每邊的個(gè)數(shù)就減少 2個(gè) , 知道最外面一層 , 每邊放 15 個(gè) , 可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù), 就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。( 2) 根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)中空方陣

16、的層數(shù),再乘以層數(shù) , 再乘以 4, 計(jì)算出這個(gè)中空方陣共用棋子多少個(gè)。解答 :( 1) 最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是:( 15-2-2-1) 4=40( 個(gè) )( 2) 這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是:( 15-3) 3 4=144( 個(gè) )答 : 這個(gè)方陣最里層一周有40 個(gè)棋子 ;擺這個(gè)中空方陣共用144 個(gè)棋子。7. 若干戰(zhàn)士排成一個(gè)四層中空方陣, 只知道最外一層每邊有12 人, 請(qǐng)你求出總?cè)藬?shù)。分析與解 : 我們可以采用先求出每層人數(shù)再求總?cè)藬?shù)的方法進(jìn)行解答 : 由于最外層每邊有12 人 , 因此最外層一共有( 12- 1) 4=44 人 , 又根據(jù)方陣相鄰兩層, 外層比內(nèi)層人數(shù)多8 的特點(diǎn)

17、,因此第二層有44- 8=36 人, 第三層有36- 8=28 人 , 第四層有28- 8=20 人。因此一共有44+36+28+20=128 人。.還可以這樣想 , 把四層中空方陣劃分如例5 的形狀 , 我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)長(zhǎng)方形可以看成四排戰(zhàn)士, 每排有8 人組成。因此一個(gè)長(zhǎng)方形有 84=32 人 , 一共有 4 個(gè)長(zhǎng)方形 , 324=128 人。當(dāng)然還可以先把中空方陣看成中實(shí)方陣, 然后再減去補(bǔ)上的小中實(shí)方陣人數(shù), 也可以求出一共有多少人, 看成中實(shí)方陣后, 最外一層每邊12 人 , 因此一共有1212=144 人。又因?yàn)樵诜疥囍邢噜弮蓚€(gè)正方形每邊人數(shù)相差2, 因此第二層每邊有 12- 2=10

18、 人 , 第三層每邊有 10- 2=8 人 , 第四層每邊有 8- 2=6人, 第五層每邊有6- 2=4 人。因此小的中實(shí)方陣有4 4=16人。 144- 6=128 人就表示一共有戰(zhàn)士的人數(shù)。答: 一共有 128 人。8. 有若干盆鮮花擺成一個(gè)中空方陣 , 最外層共擺 48 盆 , 最內(nèi)層共擺 24 盆 , 請(qǐng)問(wèn) : 共擺了多少盆鮮花 ?分析與解答 : 由于方陣中相鄰兩個(gè)正方形每邊相差8, 因此第二層應(yīng)擺鮮花48- 8=40 盆, 第三層有花40- 8=32 盆 , 第四層有花 32- 8=24 盆。這樣通過(guò)枚舉方法求出一共有四層花, 及中間兩層花的總數(shù)。因此一共擺了48+40+32+24=

19、144 盆。答: 一共擺了 144 盆。9. 五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽, 他們排成甲、乙兩個(gè)中實(shí)方陣, 其中甲方陣每邊的人數(shù)等于8, 如果把兩隊(duì)合并 , 可以另排成一個(gè)中空的丙方陣, 丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4 人, 甲方陣的人數(shù)正好填滿(mǎn)丙方陣的.空心 , 請(qǐng)問(wèn) : 五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少名學(xué)生?分析 : 若只排列一個(gè)乙方陣, 則多余的人數(shù)為(即甲方陣的人數(shù) )88=64(人 ), 排列一個(gè)實(shí)心的丙方陣, 不足的人數(shù)是: 88=64(人 )。假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣, 則乙多的人數(shù)是: 88+8 8=128(人 ), 又根據(jù)方陣擴(kuò)展一層 , 每邊增加 2 人 , 丙方陣丙實(shí)心方陣比乙方陣的外邊多 4 人 , 說(shuō)明丙方陣多于乙方陣的層數(shù)是 4 2=2(層 ), 方陣擴(kuò)展 2 層, 需要增加 128 人 , 根據(jù)“和差問(wèn)題”則方陣最外層的人數(shù)是 : (128+2 4) 2=68(人 ), 所以丙方陣的總?cè)藬?shù) 1818-8 8=260( 人 )解 :( 1) 假設(shè)丙方陣為中實(shí)方陣, 則丙方陣最外層是:( 8 8+8 8+24) 2=68( 人)(