線性代數(shù)(數(shù)學(xué)系輔導(dǎo))參考答案

1、28道復(fù)習(xí)題參考答案1、五階行列式有5！項(xiàng)，其中一項(xiàng)為：，該項(xiàng)為負(fù)，則i 4 ；j 5 。提示：先把寫為，因?yàn)樵擁?xiàng)為負(fù)，則項(xiàng)列標(biāo)排列必為奇排列，即：（i，1，j，2，3）的逆序數(shù)為奇，則i4、j5。2、A為五階方陣，且|A|=3，則 | |A| A | 729 。提示：公式：3、，A為三階方陣，且|A|5，求|B| 30 。提示：對(duì)矩陣B的行列式進(jìn)行若干次列變化，就可以找出和A的行列式的關(guān)系。4、若有：，則x 1， 2， 5 。提示：把2提出來(lái)，再轉(zhuǎn)置，原行列式就變?yōu)榉兜妹尚辛惺?，則有：2（12）（15）（1x）（x2）（x5）（52）0。5、。提示：做變換：，6、。7、。提示：該題應(yīng)該有一個(gè)

2、條件：。該題為“箭頭矩陣”。做變換：，。8、，求： 0 。提示：把D的第三列的4個(gè)元素分別乘第3列4個(gè)元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，顯然即為所求：，根據(jù)定理有：該值為0。9、，求： 3E 。A的特征多項(xiàng)式為：，則有：，則有：10、先求、，該題考查對(duì)角分塊矩陣的求逆法：；。11、設(shè)n階方陣滿足：，若有AXX2E，求：X 。提示：，而（AE）（2004A2010E）2010E5EO，則：12、判斷下列命題是否正確：若可以由線性表示，但不能由線性表示，則：可以由線性表命題正確。提示：若可以由線性表示，則有：；又根據(jù)：“但不能由線性表示”，可以知道，。則，顯然有：13、已知：向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組、是： 。

3、A、線性相關(guān) B、線性無(wú)關(guān) C、可能線性相關(guān)，也可能線性無(wú)關(guān)答案為：C提示：題目的意思是向量組、可以由向量組線性表示，即有：系數(shù)矩陣的行列式按第一行展開，得：。顯然有：當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，行列式不為零，即向量組、線性無(wú)關(guān)；當(dāng)n偶數(shù)時(shí)，行列式為零，即向量組、線性相關(guān)。14、非常重要?。ㄒ?jiàn)三導(dǎo)叢書）會(huì)證明，且會(huì)用其結(jié)論。（如13題）15、設(shè)A為三階方陣，A的三個(gè)不同特征值為：，它們對(duì)應(yīng)的特征向量為：，證明：線性無(wú)關(guān)。證明：（必會(huì)?。┰O(shè)： （1）已知：、，把它們代入（1）式，并化簡(jiǎn)，有：因?yàn)楦鞑幌嗤?，則線性無(wú)關(guān)，則有方程組：，其矩陣表示為：，顯然系數(shù)矩陣為范得蒙行列式，各不相同，則系數(shù)行列式不為零，故，方程

4、組只有零解：，證畢。16、已知線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，則是： 。A、線性無(wú)關(guān) B、線性相關(guān) C、可能線性無(wú)關(guān)，也可能線性相關(guān)答案為A。提示：可以這樣理解：線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，則可以由線性組合出來(lái)，則顯然有：矩陣（）進(jìn)行若干次初等列變換，可得到：矩陣：（）。17、求向量組、的秩，并求一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用最大線性無(wú)關(guān)組線性表示。提示：（必會(huì)?。┫喈?dāng)于解兩次非奇次線性方程組。則為最大無(wú)關(guān)組，且有、18、驗(yàn)證，是的一個(gè)基，并將向量、用這個(gè)基來(lái)表示。提示：與17題類似。先驗(yàn)算矩陣（）的行列式不為零。再解非奇次線性方程組。步驟為：對(duì)矩陣進(jìn)行行初等變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形式：如為：，則有結(jié)論：、。

5、19、對(duì)n元方程，下列命題正確的是：A、Ax0只有零解，則Axb有唯一解B、Ax0有非零解，則Axb無(wú)窮解C、Axb有唯一解，則Ax0有唯一解D、Axb有唯一解， r(A)=n答案為：C提示：因?yàn)锳xb常常無(wú)解。故，從“Axb有解”出發(fā)的命題往往是對(duì)的。當(dāng)然要具體問(wèn)題，具體分析啦！20、已知為Axb的兩個(gè)不同的解向量；為Ax0的基礎(chǔ)解系，則，Axb的通解為： 。A、 B、C、 D、答案為：B提示：為基礎(chǔ)解系，則也為Ax0的解，且與線性無(wú)關(guān)。當(dāng)然（，）也為基礎(chǔ)解系了。另顯然為Axb的一個(gè)特解。21、問(wèn)a、b為何值時(shí)，下列方程有唯一解；無(wú)解；有無(wú)窮解？并求出無(wú)窮解時(shí)的通解。提示：這類題目有兩種方法

6、，該題目若用第一種方法，則很難得出完整的答案。故，選第二種方法。對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換。三行交換第二行乘a加到第三行中第三行和第二行交換，并化簡(jiǎn)新的第三行1、則當(dāng)時(shí)方程組有唯一解；2、要讓0，且時(shí)方程組有矛盾方程。則有：當(dāng)a1且；或b0。時(shí)，方程組無(wú)解。3、當(dāng)0，且，即a1且時(shí)方程組有無(wú)窮多組解。其方程組的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換為：，則通解為：k22、試問(wèn)a取何值，方程組有非零解，并求其解。答案：，；，。23、已知：、。 （1）a、b取何值時(shí)，不能由線性表示。（2）a、b取何值時(shí)，由唯一的線性表示。答案：無(wú)解；唯一解。提示：（1）、（2）分別對(duì)應(yīng)方程組無(wú)解和唯一解。24、設(shè)（b0）。若f的矩

7、陣A的所有特征值之和為1，所有特征值之積為12。（1）求a、b的值（2）利用正交變換將f化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交矩陣。（3）若，求的最大值和最小值。答案：（1）a1，b2（2）（3），則顯然有： ，因?yàn)檎蛔儞Q不改變向量長(zhǎng)度，則2，所以有： 25、是： 。A、正定 B、負(fù)定 C、不是正定，也不是負(fù)定。答案為C。26、設(shè)A為正定矩陣，證明：|E+A|1。證：因?yàn)锳為正定陣，則，其中為對(duì)角陣，且對(duì)角線元素必為正，則|E+|主對(duì)角線上的元素都大于1，在|E+A|1。27、設(shè)A為n階正定矩陣，證明：存在n階正定矩陣B，使A因?yàn)锳為正定陣，則，其中，且對(duì)角線元素必為正。則有：，令，顯然B也為正定陣。則ABB。28、設(shè)：