藝考生專用數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課程5-7

1、專題二三角函數(shù)、解三角形、平面向量第五講: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考情分析三角函數(shù)作為一種重要的基本初等函數(shù)，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)之一近幾年對三角函數(shù)的要求基本未作調(diào)整，主要考查三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角與倍角公式等高考對三角函數(shù)與三角恒等變換內(nèi)容的考查，一是設(shè)置一道或兩道客觀題，考查三角函數(shù)求值、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)或三角恒等變換等內(nèi)容；二是設(shè)置一道解答題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的恒等變換或三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一般出現(xiàn)在前兩個解答題的位置無論是客觀題還是解答題，從難度來說均屬于中低檔題目，所占分值在20分左右，約占總分值的13

2、.3%.編寫思路1.考慮到該部分在高考試題中的考查特點(diǎn)和難度，加強(qiáng)了對基礎(chǔ)知識、基本方法的講解和練習(xí)的力度，控制選擇和填空題的難度；2.突出了的圖像和性質(zhì)；3.考慮到三角函數(shù)知識的工具性，適當(dāng)加入了應(yīng)用方面的題目。 教學(xué)建議鑒于高考對三角部分知識的考查難度較低，所以在平時訓(xùn)練中要準(zhǔn)確把握習(xí)題難度，不要求引入難度過高，計算過繁，技巧性過強(qiáng)的題目，重點(diǎn)應(yīng)放在提高基礎(chǔ)知識的熟練度和準(zhǔn)確度上，但由于這部分內(nèi)容公式多，性質(zhì)復(fù)雜，變形有一定的技巧，所以要多花時間加強(qiáng)訓(xùn)練，熟練掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、倍角公式、半角公式以及正、余弦定理，掌握三角恒等變形的常用方法和簡單技巧同時注意三角函數(shù)與其他

3、知識的交匯問題，復(fù)習(xí)時還要重視常用數(shù)學(xué)思想方法的滲透，比如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊值法等總之，三角函數(shù)的復(fù)習(xí)，要立足基礎(chǔ)，強(qiáng)化訓(xùn)練，綜合應(yīng)用，增強(qiáng)能力課時安排建議本講用2課時上完選材程度及數(shù)量課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類（ 5）道（ 3 ）道（6 ）道B類（ 6）道（ 4）道（6 ）道知識梳理：1任意角和弧度(1)弧度制：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫1弧度的角(2)弧長公式：l|R，扇形的面積公式：SlR|R2.2任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin y，cos x，tan .(2)各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正

4、弦，三正切，四余弦3誘導(dǎo)公式公式一sin(2k)sin ，cos(2k)cos tan(2k)tan (kZ)公式二sin()sin ，cos()cos ，tan ()tan 公式三sin()sin ，cos()cos ，tan ()tan 公式四sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式五sincos ，cossin 公式六sincos ，cossin 4同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2cos21，tan (cos 0)5正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RRx|xk，kZ值域1,11,1R最小正周期22單調(diào)性在在，(kZ)上單調(diào)遞

5、增；在在(kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在(kZ)上單調(diào)遞增最值當(dāng)x2k，kZ時，y取得最大值1；當(dāng)x2k，kZ時，y取得最小值1當(dāng)x2k，kZ時，y取得最大值1；當(dāng)x2k，kZ時，y取得最小值1無最值對稱性對稱中心：(k，0)(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：(kZ)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)6.函數(shù)yAsin (x)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖設(shè)zx，令z0，2求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得(2)圖象變換ysin xysin(x)ysin(x)yAsin (x)(A0，0)，ysin xys

6、in xyysin(x)yAsin(x)(A0，0)題型一三角函數(shù)的概念及基本關(guān)系式的應(yīng)用例1（A）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則y= _-8_-8 .例2(A)已知函數(shù)，若，則的取值范圍為 （ ）A.B.C.D. 答案：A解析：由，即，解得，所以選A.例3(A) 如右圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為、.(1)求tan()的值；(2)求2的值解：(1)由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，cos ，cos .因為為銳角，故sin 0，從而sin .同理可得sin .因此tan

7、7，tan .所以tan()3.(2)tan(2)tan()1又0，0，故02，從而由tan(2)1得2.方法點(diǎn)撥： 根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義cos 不難得到cos 、cos 的值，利用同角三角函數(shù)可求sin 、sin 、tan 、tan 的值，進(jìn)而利用和角公式求tan()的值注意到第(2)問相當(dāng)于“給值求角”問題，除注意到“角的變換”：2()外，還應(yīng)注意該類問題求解的一般程序變式訓(xùn)練：1(A).已知為第三象限的角，cos 2，則tan_.解析：2k2k，4k220，cos0)，yf(x)的圖象與直線y2的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.，kZ B.，kZC.，kZ

8、 D.，kZ解析：f(x)2sin，yf(x)的圖象與直線y2的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于，f(x)的周期為T，又T，2，f(x)2sin，由2k2x2k，得kxk，kZ，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ，故選C.答案：C方法點(diǎn)撥：求函數(shù)f(x)Asin(x)(0)單調(diào)區(qū)間常用換元法：將x作為一個整體，若求單調(diào)增區(qū)間，令x(kZ)；若求單調(diào)減區(qū)間，則令x(kZ)值得注意的是，若0)的形式，再用換元法求單調(diào)區(qū)間變式訓(xùn)練：3(A)(2010陜西)對于函數(shù)f(x)2sin xcos x，下列選項中正確的是 ()Af(x)在上是遞增的 Bf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱Cf(x)的最小正周期為2 Df(x)的最大

9、值為2解析：f(x)2sin xcos xsin 2x，其增區(qū)間為，kZ.f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱周期為T，f(x)max1，故選B.答案：B例5*. 已知函數(shù)f(x)sin(x)，其中0，|.(1)若coscos sinsin 0，求的值；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位長度后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)解析：方法一(1)由coscos sinsin 0得coscos sinsin 0，即cos0.又|0，0，|)的圖象上一個最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(，3)，與之相鄰的一個最

10、低點(diǎn)的坐標(biāo)為(，1)(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x，時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和零點(diǎn)解(1)依題意得，所以T.于是2.由解得f(x)2sin(2x)1.把(，3)代入f(x)2sin(2x)1，可得sin()1，所以2k(kZ)所以2k(kZ)因為|0，0)的圖象求解析式(1)A，B.(2)由函數(shù)的周期T求，.(3)利用與“五點(diǎn)法”中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求.3函數(shù)yAsin(x)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)4求三角函數(shù)式最值的方法(1)將三角函數(shù)式化為yAsin(x)B的形式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解(2)將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x，cos x的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而借助二次

11、函數(shù)的性質(zhì)求解.題型三三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)例6(A). (2011年高考廣東卷文科16)已知函數(shù)，（1）求的值；（2）設(shè)求的值解析：例7(B). (2010山東)已知函數(shù)f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0)，其圖象過點(diǎn).(1)求的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象， 求函數(shù)g(x)在上的最大值和最小值解：(1)因為f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0)所以f(x)sin 2xsin cos cos sin 2xsin cos 2xcos (sin 2xsin cos 2xcos )cos(2

12、x)又函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以cos，即cos1.又00，0)的解析式時，常用的方法是待定系數(shù)法由圖中的最大、最小值求出A，由周期確定，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定的值(2)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個點(diǎn)“第一點(diǎn)”(即圖象上升時與x軸的交點(diǎn))為x002k(kZ)，其他依次類推即可例8(B).函數(shù)yAsin(x)(A0，0，|)的一段圖象如圖所示)，求其解析式解析:設(shè)函數(shù)的周期為T，則T，T，2.又由2，又|0，0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；由圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)確定.(2)求函數(shù)的周期時，注意以下規(guī)律：相鄰的

13、最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為半個周期，最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)差的絕對值為個周期變式訓(xùn)練：5(B) .(2010天津)右圖是函數(shù)yAsin(x)(xR)在區(qū)間，上的圖象為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將ysin x(xR)的圖象上所有的點(diǎn) ()A向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變B向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變C向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變D向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變解析由圖象可知A1，T()，2.ysin(2x)(xR)圖象過點(diǎn)

14、(，0)，sin()0，2k，kZ，2k，kZ.ysin(2x2k)sin(2x)故將函數(shù)ysin x先向左平移個單位長度后，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得原函數(shù)的圖象答案 A6(B)已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)(00)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.(1)求f()的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間解：(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因為f(x)為偶函數(shù)，所以對xR，f(x)f(x)恒成立，因此

15、sinsin.即sin xcoscos xsinsin xcoscos xsin，整理得sin xcos0.因為0，且xR，所以cos0.又因為0，故.所以f(x)2sin2cos x.由題意得2，所以2.故f(x)2cos 2x.因此f2cos .(2)將yf(x)的圖象向右平移個單位后，得到y(tǒng)f的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)f的圖象所以g(x)f2cos2cos.當(dāng)2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)時，g(x)單調(diào)遞減因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)題型四熱點(diǎn)交匯例9(A). (2009湖北卷)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，

16、sin )，c(1,0)(1)求向量bc的模的最大值；(2)設(shè)，且a(bc)，求cos 的值解：(1)bc(cos 1，sin )，則|bc|2(cos 1)2sin2 2(1cos )1cos 1，0|bc|24，即0|bc|2.當(dāng)cos 1時，有|bc|2，向量bc的模的最大值為2；(2)由已知可得bc(cos 1，sin )，a(bc)cos cos sin sin cos cos()cos .a(bc)，a(bc)0，即c()cos .由，得coscos ，即2k(kZ)，2k或2k(kZ)，于是cos 0或cos 1.例10（B）(2009廣東文16)已知向量互相垂直，其中(1)求的

17、值；(2)若，求的值解：(1)與互相垂直，則，即，代入得，又，.(2)，則，.例11(B). 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P 在角的終邊上，點(diǎn)Q（sin2，-1）在角的終邊上，且.(1)求cos 2的值；(2)求sin()的值解：（1）因為，所以sin2cos2，,即(1cos2)cos2，所以cos2，,所以cos 22cos21.,(2)因為cos2，所以sin2，所以點(diǎn)P，點(diǎn)Q.又點(diǎn)P在角的終邊上，所以sin ，cos .同理sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin .變式訓(xùn)練：7(B)已知函數(shù)f(x)a(2sin2 sin x)b.(1)當(dāng)a1，求函數(shù)f(x)的

18、單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)a0時，f(x)在0，上的值域是2,3，求a，b的值解：(1)a1，f(x)2sin2sin xbsin xcos xb1sin(x)1b.ysin x的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)，當(dāng)2kx2k，即2kx2k(kZ)時，f(x)是減函數(shù)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)(2)f(x)asinab，x0，x，sin1，又a0，aasina，aabf(x)b，f(x)的值域是2,3，aab2，且b3，解得a1，b3.課后練習(xí)題A組：1.角的終邊過點(diǎn)P（4k，3k），（k0），則的值是( )ABCD解析：（任意角三角函數(shù)的定義） x=-4k,y=3k(k0，)的圖象如圖，則_.解析

19、：T2，即則；當(dāng)x時，x，即，又0,0)，且此函數(shù)的一段圖象如圖所示，則點(diǎn)P(，)的坐標(biāo)是() A.(2，)B(2，)C(4，) D(4，)解析，T，2，當(dāng)x時，x2 (2k1)，kZ，又00，0，|)的圖象關(guān)于直線x對稱，它的最小正周期為.則函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心是()A(，1) B(，0)C(，0) D(，0)解析由題意知T，2，由函數(shù)圖象關(guān)于直線x對稱，得2k(kZ)，即k(kZ)又|0，0，|)的一段圖象如圖所示(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位，得到y(tǒng)g(x)的圖象，求直線y與函數(shù)yf(x)g(x)的圖象在(0，)內(nèi)所有交點(diǎn)的坐標(biāo)解(1

20、)由圖知A2，T，于是2，將y2sin 2x的圖象向左平移，得y2sin(2x)的圖象于是2，f(x)2sin(2x)(2)依題意得g(x)2sin2(x)2cos(2x)故yf(x)g(x)2sin(2x)2cos(2x)2sin(2x)由得sin(2x).2x2k或2x2k(kZ)，xk或xk.x(0，)，x或x.交點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，(，)12已知函數(shù)f(x)sin xsin(x)cos2(3x)(xR)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求f(x)圖象的對稱軸方程和對稱中心的坐標(biāo)解f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsi

21、n(2x)(1)f(x)的最小正周期：T.(2)由2k2x2k(kZ)，知kxk(kZ)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k，kZ.(3)由2xk(kZ)得對稱軸方程為x(kZ)由2xk(kZ)得x(kZ)，故對稱中心坐標(biāo)為(，0)(kZ)第六講：三角變換、解三角形考情分析高考對三角部分的考查，有三個重點(diǎn)：一是在三角函數(shù)部分，以三角變換為基本工具考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；二是在三角形中結(jié)合正弦定理、余弦定理考查三角形中的三角變換；三是考查正弦定理、余弦定理解三角形，或者是正弦定理、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用.以選擇、填空或解答題的形式出現(xiàn)，考查基礎(chǔ)知識和簡單應(yīng)用.編寫思路根據(jù)高考對本講知識的考查要

22、求，編制三角變換方面的應(yīng)用問題和正弦定理、余弦定理應(yīng)用方面的問題，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性和綜合性. 教學(xué)建議要求同學(xué)掌握和、差角公式，倍角、差角公式以及正、余弦定理的簡單應(yīng)用.課時安排建議本講用2課時上完選材程度及數(shù)量課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類（ 6）道（ 3 ）道（ 5 ）道B類（ 6）道（2）道（ 5 ）道知識梳理：1.兩角和與差公式所在的象限由a,b的符號而定) 2.倍角公式2.其它公式及變形:；(降次公式)由此可得半角公式:；萬能公式*:；3. 三角形中的常用結(jié)論：等。正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin

23、 B，sin C.abcsin Asin Bsin C.余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。三角形中大角對大邊，小角對小邊。三角形面積公式。SABC=；S= pr = (其中p=, r為內(nèi)切圓半徑)題型一三角變換及求值例1(A).若sin，則cos2_. 解析:sin，cos，cos22cos21.答案:例2(A).若且，那么的值是( )A、B

24、、C、D、或解析：（兩角和與差的三角函數(shù)公式）因為，所以，且，；且，； 答案：C例3(A).已知，求的值。解析：且，又，例4(A).若sinxcosx，x(0，)，則sinxcosx的值為()A B C. D. 解析:由sinxcosx兩邊平方得，12sinxcosx，sin2xcosx，sinxcosx，故選D.答案:D例5(A). 已知函數(shù)求：（I）函數(shù)f(x)的最小正周期；（II）函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間解析：（I）函數(shù)的最小正周期是；（II）當(dāng)，即（）時，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）變式訓(xùn)練:1(A).已知(，)，且sincos.(1)求cos 的值；(2)若sin()，(

25、，)，求cos 的值解析：(1)sincos，兩邊平方得12sincos，sin .(，)，.cos .(2)(，)，(，)又sin()，cos()，cos cos()cos cos()sin sin()().方法點(diǎn)撥：(1)注意角的變換，()()；(2)先由tan tan()，求出tan 的值，再求tan 2的值，這樣能縮小角2的取值范圍；(3)善于觀察條件中的角與欲求式中角的內(nèi)在聯(lián)系，整體運(yùn)用條件中角的函數(shù)值可使問題簡化2(A). 函數(shù)是 A最小正周期為的奇函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù) D. 最小正周期為的偶函數(shù) 解析:因為為奇函數(shù),所以選A.答案:A題型二

26、正、余弦定理的應(yīng)用例6（A）.若的三個內(nèi)角滿足，則（A）一定是銳角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形. (D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C為鈍角答案：C例7（B）.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=（A） （B） （C） （D）解析：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題。由由正弦定理得：，所以cosA=，所以A=300答案：A例8（B）：已知ABC是半徑為R的圓內(nèi)接三角形，且2R(sin2Asin2C)(ab)sin B.(1)求角C；(2)試求ABC的面積S的最大值解析：(1)由2R(sin2Asin2C)(ab)sin B，兩邊同乘以2R，得(2Rsin A)2(2Rsin C)2(ab)2Rsin B，根據(jù)正弦定理，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，a2c2(ab)b，即a2b2c2ab.再由余弦定理，得cos C，又0C，C.(2)C，AB.Sabsin C(2