牛吃草問題介紹

1、解題關(guān)鍵：牛頓問題俗稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長。解題環(huán)節(jié)主要有四步：1、求出每天長草量；2、求出牧場原有草量；3、求出每天實際消耗原有草量( 牛吃的草量-生長的草量= 消耗原有的草量)；4、最后求出?？沙缘奶鞌?shù)。5、每頭牛一天吃多少草規(guī)律總結(jié)牛頓問題的難點在于草每天都在不斷生長，草的數(shù)量都在不斷變化。解答這類題目的關(guān)鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長的草量。顯而易見，原有的草量是一定的，新長的草量雖然在變，但如果是勻速生長，我們也能找到另一個不變量每天（每周）新長出的草的數(shù)量?；舅悸罚杭僭O(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩

2、次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量?；竟剑荷L量=（較長時間長時間牛頭數(shù)-較短時間短時間牛頭數(shù)）（長時間-短時間）；原有草量=較長時間長時間牛頭數(shù)-較長時間生長量；牛吃草問題常用到四個基本公式：牛吃草問題又稱為消長問題，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨著吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草

3、問題常用到四個基本公式，分別是（1）草的生長速度= （對應的牛頭數(shù)吃的較多天數(shù)相應的牛頭數(shù)吃的較少天數(shù)）（吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)）；（2）原有草量=牛頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長速度吃的天數(shù)；（3）吃的天數(shù)=原有草量（牛頭數(shù)草的生長速度）；（4）牛頭數(shù)=原有草量吃的天數(shù)+草的生長速度。例1、牧場上有一片牧草，供24頭牛6周吃完，供18頭牛10周吃完假定草的生長速度不變，那么供19頭牛需要幾周吃完？解：設(shè)1頭牛吃一周的草量的為一份（1）24頭牛吃6周的草量246=144（份）（2）18頭牛吃10周的草量1810=180（份）（3）（10-6）周新長的草量180-144=36（份）（4）每周新長的草量3

4、6（10-6）=9（份）（5）原有草量246-96=90（份）或1810-910=90（份）（6）全部牧草吃完所用時間不妨讓19頭牛中的9頭牛去吃新長的草量，剩下的10頭牛吃原有草量，有90（19-9）=9（周） 答：供19頭牛吃9周例2、一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解 草是均勻生長的，所以，草總量原有草量草每天生長量天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即

5、（11020）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以11020原有草量20天內(nèi)生長量同理 11510原有草量10天內(nèi)生長量由此可知 （2010）天內(nèi)草的生長量為110201151050因此，草每天的生長量為 50（2010）5（2）求原有草量原有草量10天內(nèi)總草量10內(nèi)生長量11510510100（3）求5 天內(nèi)草總量5 天內(nèi)草總量原有草量5天內(nèi)生長量10055125（4）求多少頭牛5 天吃完草因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125525（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例3、畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從

6、第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達的時間？解答：設(shè)每一個入場口每分鐘通過1份人，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析3個入場口 9分鐘 3927 ：原有人9分鐘來的人5個入場口 5分鐘 5525 ：原有人5分鐘來的人從上易發(fā)現(xiàn)：4分鐘來的人27252，即1分鐘來的人0.5；那么原有的人：2790.522.5；這些人來到畫展用時間22.50.5=45（分）。第一個觀眾到達的時間為9點45分=8點15分。例4、一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人

7、淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當于“牛數(shù)”），求時間。設(shè)每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量因為，3小時內(nèi)的總水量1123原有水量3小時進水量10小時內(nèi)的總水量1510原有水量10小時進水量所以，（103）小時內(nèi)的進水量為 1510112314因此，每小時的進水量為 14（103）2（2）求淘水前原有水量原有水量11233小時進水量362330（3）求17人幾小時淘完17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（

8、172），所以17人淘完水的時間是30（172）2（小時）答：17人2小時可以淘完水。例5、一片牧場南面一塊2000平方米的牧場上長滿牧草，牧草每天都在勻速生長,這片牧場可供18頭牛吃16天，或者供27頭牛吃8天。在東升牧場的西側(cè)有一塊6000平方米的牧場，6天中可供多少頭牛吃草？解答：設(shè)頭牛天的吃草量為，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析18頭牛 16天 1816288 ：原有草量16天自然減少的草量27頭牛 8天 27 8216 ：原有草量 8天自然減少的草量從上易發(fā)現(xiàn)：2000平方米的牧場上1688天生長草量28821672，即1天生長草量7289；那么2000平方米的牧場上原有草量

9、：288169144或21689144。則6000平方米的牧場1天生長草量9（60002000）27原有草量：144（60002000）432.6天里，共草場共提供草432276594，可以讓594699（頭）牛吃6天練習1、牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？2、一個水池裝一個進水管和三個同樣的出水管。先打開進水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時打開3個出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進水管晚開多少分鐘？3、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，

10、反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？4、自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級，女孩每分鐘走15級，結(jié)果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？5、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？6、有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，

11、第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？7、牧場上的牧草每天均勻生長，這片草地可供17頭牛吃6天，可供13頭牛吃12天問多少頭牛4天可以把草地上的草吃完?8、有牧場，21頭牛20天可將草吃完，25頭牛則15天可將草吃完，現(xiàn)有牛若干頭，吃6天后賣了4頭，余下的牛再吃2天則將草吃完，問原有牛多少頭?9、22頭牛，吃33公畝牧場的草54天可吃完， 17頭牛吃同樣牧場28公畝的草，84天可吃完問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天可吃完?10、某火車站檢票口，在檢票開始前已有些人排隊，檢票開始后每分鐘有10人前來排隊檢票，個檢票口每分鐘能讓25人檢票進站如果只有個檢票口，檢

12、票開始8分鐘后就沒有人排隊；如果有兩個檢票口，那么檢票開始后多少分鐘就沒有人排隊?11、甲、乙、丙三個倉庫，各存放著同樣數(shù)量的大米，甲倉庫用皮帶輸送機臺和12個工人5小時把甲倉庫搬空，乙倉庫用皮帶輸送機臺和28個工人3小時把乙倉庫搬空丙倉庫有皮帶輸送機2臺，如果要2小時把丙倉庫搬空，同時還需要多少名工人?12、牧場上片牧草，可供27只羊吃6天；或者供23只羊吃9天，如果牧草每周勻速生長，可供21只羊吃幾天?13、片牧草，每天生長的速度相同現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者可供80只羊吃12天如果l頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么lO頭牛與60只羊起吃可以吃多少天?14、陜北某村有塊草場

13、，假設(shè)每天草都均勻生長，這片草場經(jīng)過測算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天問：如果放牧250只羊可以吃多少天?放牧這么多羊?qū)?為防止草場沙化，這片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草場沙化就應該使草場的草永遠吃不完)15、12頭牛28天可吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可吃完30公畝牧場上全部牧草多少頭牛126天可吃完72公畝牧場上全部牧草?(每公畝牧場上原有的草量相等，且每公畝牧場上每天草的生長量相同)小學五年級數(shù)學奧賽專題過關(guān)檢測牛吃草問題試題A卷（50分）一、填空題（每題3分，共30分）1牧場上有一片牧草，供24頭牛6周吃完，供18頭牛10周吃完。假定

14、草的生長速度不變，則供19頭牛_周吃完。2有一片牧場上的草均勻地生長，如果4只羊吃，15天可以把草吃光。如果8只羊吃，7天可以把草吃光。若想5天把草吃光，則需要_只羊去吃。3有一條船因觸礁，破了一個洞，海水均勻地進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)船漏時，船已進了一些水。如果12個人舀水，則3小時可以把水舀完；如果5人舀水，則10小時可以把水舀完。如果需要在2小時內(nèi)舀完水，則需要_人。4有一片草地上的草每天都均勻地生長，如果24只羊吃，則6天可吃完；如果21只羊吃，則8天可以吃完。如果16只羊吃草，則可_天吃完。524頭牛6天可將一片牧草吃完；21頭牛8天可將這片牧草吃完；如果每天的草增長量相等，要使這片草永遠吃不

15、完，最多可以放_頭牛去吃這片牧草。6某個水庫原存有一定的水，河水又均勻地流入庫內(nèi)，5臺抽水機連續(xù)20天可將水庫的水抽干；6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可將水抽干。若要6天抽干水庫的水，則需_臺同樣的抽水機。7有一片牧草，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供16頭大牛吃20天；或者可供80頭小牛吃12天。如果一頭大牛的吃草量等于4只小牛的吃草量，那么10頭大牛與60頭小牛一起吃草可以吃_天。8一片牧草，每畝草原有的草量相等，且每天草的生長量相同。12只羊28天可以吃完10畝地的全部牧草，21只羊63天可以吃完30畝地的全部牧草，_只羊126天可以吃完72畝地的全部牧草。（畝是舊制的土地面積單位）9甲

16、從A地出發(fā)行了一段時間后，乙、丙、丁三人才同時從A地出發(fā)沿同一條路去追甲。乙、丙、丁三人分別用了3小時、5小時、6 小時才追上甲。已知乙每小時行18千米，丙每小時行16千米。那么丁每小時行_千米。10有一片牧場上的草每天生長的速度相同，草可供10頭牛吃10個星期，或供24只羊吃20個星期。已知1頭牛和3只羊的吃草量相同，那么10頭牛和12只羊一起吃草，可以吃_個星期。二、解答題（20分）1一條船破了一個洞漏水，假設(shè)每小時涌進船內(nèi)的水量相等，發(fā)現(xiàn)船漏時已涌進了一些水。如果3個人排水，3.6小時可以把水排完；如果5個人排水，則2小時可以把水排完，現(xiàn)在要在1.2小時內(nèi)把水排完，需要幾個人？2有一片牧

17、草，每天勻速地生長，它可供17只羊吃30天，或可供19只羊吃24天?，F(xiàn)在若干只羊吃，6天后賣了4只，余下的羊2天將草吃光，那么原有多少只羊？3一個水池，底部有一個常開的排水管，上部安有若干根同樣粗細的進水管。打開2個進水管，需要15小時把水池注滿；如果打開4個進水管，只需要5小時就可以把水池注滿?，F(xiàn)在需要2小時將水池注滿，那么至少要打開幾個進水管？4某棉紡廠倉庫，可儲存全廠45天的用棉量，若用1輛大汽車往空倉庫內(nèi)運棉，則除了供應車間生產(chǎn)外，5天可將倉庫裝滿；若用2輛小汽車往空倉庫運棉，則9天可將倉庫裝滿。如果用1輛大汽車和2輛小汽車同時運棉。需要幾天可將倉庫裝滿？5甲、乙、丙三輛車同時從同一地

18、點出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個行人。這三輛車分別用了6分鐘、10分鐘、12分鐘追上這個人。已知甲車每小時行24千米，乙車每小時行20千米。那么丙車每小時行多少千米？B卷（50分）一、填空題（每題2分，共20分）1牧場上長滿了牧草，而且每天還在勻速生長，這片牧場上的草可供9頭牛吃20天，或可供15頭牛吃10天。如果要供18頭牛吃，可以吃_天。2一片牧草每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃_天。3一個水池，池底有水流均勻涌出，若將滿池水抽干，用10臺水泵需2小時，用5臺同樣的水泵需7

19、小時，現(xiàn)要在半小時內(nèi)把滿池水抽干，至少要這樣的水泵_臺。4有一片草地，可以供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假如草的每天生長速度不變，現(xiàn)有羊若干，吃了4天后又增加了6只，這樣又吃了2天便將草吃完，原來有羊_只。512頭牛4周吃完6公頃的牧草，20頭牛6周吃完12公頃的牧草。假設(shè)每公頃原有草量相等，草的生長速度不變，那么_頭牛8周吃完16公頃的牧草。6一堆草，可供3頭牛與5只羊吃15天，或供5頭牛和6只羊吃10天。這堆草可供8頭牛與11只羊吃_天。7一片牧草，如果讓馬和牛去吃草，45天將草吃完；如果讓馬和羊去吃，60天將草吃完；如果讓牛和羊去吃，90天將草吃完。已知牛和羊一天吃草量等于馬一

20、天的吃草量，現(xiàn)在讓馬、牛、羊一起去吃草，_天可以將這片草吃盡。8某火車站的檢票口，在檢票開始前已經(jīng)有一些人排隊，檢票開始后，每分鐘有15人前來排隊檢票，一個檢票口每分鐘能讓30個人檢票進站。如果只有一個檢票口，檢票開始6分鐘后就沒有人排隊。如果有兩個檢票口，那么檢票開始后_分鐘就沒有人排隊。9某游樂場在開門前已經(jīng)有100個人排隊等待，開門后每分鐘來的游人數(shù)是相同的，一個入口處每分鐘可以放入10名游客。如果開放2個入口處，20分鐘后就沒有人排隊，現(xiàn)在開放4個入口處，那么開門后_分鐘就沒有人排隊。二、解答題（20分）1有三輛不同車速的汽車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個騎車人。這三輛車

21、分別用3分鐘、5分鐘、8分鐘追上騎車人。已知快車每小時行54千米，中速車每小時行39.6千米，那么慢車每小時行多少千米?2一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水。如果打開5個水龍頭，2.5小時就把水池中的水放光；如果打開8個水龍頭，1.5小時就能把水池中的水放光（每個水龍頭每小時放走的水量相同）?，F(xiàn)在打開13個水龍頭，則多長時間把水池中的水放光？3有一個蓄水池裝有9根水管，其中1根為進水管，其余8根為相同的出水管。開始進水管以均勻的速度不停地向這個蓄水池蓄水。池內(nèi)注入一些水后，有人想把出水管也打開，使池內(nèi)的水都全部排光。如果把8根出水管全部打開需要3小時可將池內(nèi)水排光；而若僅打開3根出水管，則需要1

22、8小時。問：如果想要在8小時內(nèi)將池中的水全部排光，最少要打開幾根出水管？4有三塊草地，面積分別為公頃、10 公頃和4公傾。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。如果第一塊草地飼養(yǎng)12頭牛，可以維持4周；第二塊草地飼養(yǎng)21頭?？梢跃S持9周。則第三塊草地應飼養(yǎng)多少頭牛，恰好可以維持18周？三、生活題（10分）1假設(shè)地球上每年新生成的資源量是一定的。據(jù)測算，地球上的資源可供110億人生活90年而耗盡，或者可供90億人生活210年而耗盡。世界總?cè)丝诒仨毧刂圃诙嗌僖詢?nèi)，才能保證地球上的資源足以使人類不斷繁衍下去？2國畫展館9時開門。但是早有人前來排隊等候人場，從第一個觀眾來到起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個入場口，9時9分就不再有人排隊；如果開5個人場口，9時5分就沒有人排隊。問：第一個觀眾到達的時間是幾時幾分？參考答案A卷一、19 211 317 418 512 612 78 836 915.5 105二1（33.652）（3.62）0.5，33.60.53.69，（0.51.2+9）1.28（個人） 2（17301924）（3024）9，1730930=240，（