矩陣的定義及其運算規(guī)則

1、矩陣的定義及其運算規(guī)則1、矩陣的定義一般而言，所謂矩陣就是由一組數(shù)的全體，在括號（）內(nèi)排列成m行n 列（橫的稱行，縱的稱列）的一個數(shù)表，并稱它為mn陣。矩陣通常是用大寫字母A 、B 來表示。例如一個m 行n 列的矩陣可以簡記為：，或。即： （2-3）我們稱（2-3）式中的為矩陣A的元素，a的第一個注腳字母 ，表示矩陣的行數(shù)，第二個注腳字母j（j1，2，n）表示矩陣的列數(shù)。當mn時，則稱為n階方陣，并用表示。當矩陣（aij）的元素僅有一行或一列時，則稱它為行矩陣或列矩陣 。設(shè)兩個矩陣，有相同的行數(shù)和相同的列數(shù)，而且它們的對應(yīng)元素一一相等，即，則稱該兩矩陣相等，記為AB。2、三角形矩陣由ij的元素

2、組成的對角線為主對角線，構(gòu)成這個主對角線的元素稱為主對角線元素。如果在方陣中主對角線一側(cè)的元素全為零，而另外一側(cè)的元素不為零或不全為零，則該矩陣叫做三角形矩陣。例如，以下矩陣都是三角形矩陣：， ， 。3、單位矩陣與零矩陣在方陣中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全為零，如：則稱為對角矩陣，可記為。如果在對角矩陣中所有的彼此都相等且均為1，如： ，則稱為單位矩陣。單位矩陣常用E來表示，即： 當矩陣中所有的元素都等于零時，叫做零矩陣，并用符號“0”來表示。4、矩陣的加法矩陣A（aij）mn和B（bij）mn相加時，必須要有相同的行數(shù)和列數(shù)。如以C（cij）m n表示矩陣A及B的和，則有： 式中：

3、。即矩陣C的元素等于矩陣A和B的對應(yīng)元素之和。 由上述定義可知，矩陣的加法具有下列性質(zhì)（設(shè)A、B、C都是mn矩陣）： （1）交換律：ABBA （2）結(jié)合律：（AB）CA（BC）5、數(shù)與矩陣的乘法我們定義用k右乘矩陣A或左乘矩陣A，其積均等于矩陣中的所有元素都乘上k之后所得的矩陣。如： 由上述定義可知，數(shù)與矩陣相乘具有下列性質(zhì)：設(shè)A、B都是mn矩陣，k、h為任意常數(shù)，則：（1） k（AB）kAkB（2）（kh）AkAhA（3） k（hA）khA6、矩陣的乘法若矩陣乘矩陣，則只有在前者的列數(shù)等于后者的行數(shù)時才有意義。矩陣的元素的計算方法定義為第一個矩陣第i行的元素與第二個矩陣第j列元素對應(yīng)乘積的和

4、。若： 則矩陣的元素由定義知其計算公式為： （2-4）【例2-1】 設(shè)有兩矩陣為：， ，試求該兩矩陣的積?！窘狻坑捎贏矩陣的列數(shù)等于B矩陣的行數(shù)，故可乘，其結(jié)果設(shè)為C：其中： 【例2-2】 已知：A，B，求A、B兩個矩陣的積?！窘狻坑嬎憬Y(jié)果如下： 矩陣的乘法具有下列性質(zhì)：（1）通常矩陣的乘積是不可交換的。（2）矩陣的乘法是可結(jié)合的。（3）設(shè)A是mn矩陣， B、C是兩個nt矩陣，則有：A（BC）ABAC。（4）設(shè)A是mn矩陣，B是nt矩陣。則對任意常數(shù)k有：k（AB）（kA）BA（kB）?！纠?-3】 用矩陣表示的某一組方程為：（2-5）式中： （2-6）試將矩陣公式展開，列出方程組。【解】現(xiàn)將（2-6）式代入（2-5）式得： （2-7）將上式右邊計算整理得：（2-8）可得方程組：可見，上述方程組可以寫成（2-5）式的矩陣形式。上述方程組就是測量平差中的誤差方程組，故知（2-5）式即為誤差方程組的矩陣表達式。式中稱為改正數(shù)陣，稱為誤差方程組的系數(shù)陣，稱為未知數(shù)陣，稱為誤差方程組的常數(shù)項陣?！纠?-4】 設(shè)由n個觀測值列出r個條件式如下，試用矩陣表示?！窘狻楷F(xiàn)記：