復變函數(shù)測試題及答案

1、第一章 復數(shù)與復變函數(shù)一、 選擇題1當時，的值等于（）（A） （B） （C） （D）2設復數(shù)滿足，那么（）（A）（B）（C）（D）3復數(shù)的三角表示式是（）（A）（B）（C）（D）4若為非零復數(shù)，則與的關系是（）（A）（B）（C）（D）不能比較大小設為實數(shù)，且有，則動點的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線一個向量順時針旋轉(zhuǎn)，向右平移個單位，再向下平移個單位后對應的復數(shù)為，則原向量對應的復數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）使得成立的復數(shù)是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）純虛數(shù)（D）實數(shù)設為復數(shù)，則方程的解是（）（A）（B）（C）（D）滿足不等式的所有點構成的集合是（）（A）有界

2、區(qū)域（B）無界區(qū)域（C）有界閉區(qū)域（D）無界閉區(qū)域10方程所代表的曲線是（）（A）中心為，半徑為的圓周 （B）中心為，半徑為的圓周（C）中心為，半徑為的圓周（D）中心為，半徑為的圓周11下列方程所表示的曲線中，不是圓周的為（）（A）（B）（C）（D）12設，則（）（A） （B） （C） （D）13（）（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在14函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件是（）（A）在處連續(xù) （B）在處連續(xù)（C）和在處連續(xù)（D）在處連續(xù)15設且，則函數(shù)的最小值為（）（A） （B） （C） （D）二、填空題1設，則 2設，則 3設，則 4復數(shù)的指數(shù)表示式為 5以方程的根的對應點為頂點的多邊形

3、的面積為 不等式所表示的區(qū)域是曲線 的內(nèi)部方程所表示曲線的直角坐標方程為方程所表示的曲線是連續(xù)點 和 的線段的垂直平分線對于映射，圓周的像曲線為10三、若復數(shù)滿足，試求的取值范圍四、設，在復數(shù)集中解方程.五、設復數(shù)，試證是實數(shù)的充要條件為或.六、對于映射，求出圓周的像.七、試證.的充要條件為；. 的充要條件為.八、若，則存在，使得當時有.九、設，試證.十、設，試討論下列函數(shù)的連續(xù)性：1.2.第二章 解析函數(shù)一、選擇題：1函數(shù)在點處是( )（A）解析的 （B）可導的（C）不可導的 （D）既不解析也不可導2函數(shù)在點可導是在點解析的( )（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件

4、（D）既非充分條件也非必要條件3下列命題中，正確的是( )（A）設為實數(shù)，則（B）若是函數(shù)的奇點，則在點不可導（C）若在區(qū)域內(nèi)滿足柯西-黎曼方程，則在內(nèi)解析（D）若在區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)也解析4下列函數(shù)中，為解析函數(shù)的是( )（A） （B）（C） （D）5函數(shù)在處的導數(shù)( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 （D）不存在6若函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析，那么實常數(shù)( )（A） （B） （C） （D）7如果在單位圓內(nèi)處處為零，且，那么在內(nèi)( )（A） （B） （C） （D）任意常數(shù)8設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有定義，則下列命題中，正確的是（A）若在內(nèi)是一常數(shù)，則在內(nèi)是一常數(shù)（B）若在內(nèi)是一常數(shù)，則在內(nèi)是一常數(shù)

5、（C）若與在內(nèi)解析，則在內(nèi)是一常數(shù)（D）若在內(nèi)是一常數(shù)，則在內(nèi)是一常數(shù)9設，則( )（A） （B） （C） （D）10的主值為( )（A） （B） （C） （D）11在復平面上( )（A）無可導點 （B）有可導點，但不解析（C）有可導點，且在可導點集上解析 （D）處處解析12設，則下列命題中，不正確的是( )（A）在復平面上處處解析 （B）以為周期（C） （D）是無界的13設為任意實數(shù)，則( )（A）無定義 （B）等于1 （C）是復數(shù)，其實部等于1 （D）是復數(shù)，其模等于114下列數(shù)中，為實數(shù)的是( )（A） （B） （C） （D）15設是復數(shù)，則( )（A）在復平面上處處解析 （B）的模為（

6、C）一般是多值函數(shù) （D）的輻角為的輻角的倍二、填空題1設，則 2設在區(qū)域內(nèi)是解析的，如果是實常數(shù)，那么在內(nèi)是 3導函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件為 4設，則 5若解析函數(shù)的實部，那么 6函數(shù)僅在點 處可導7設，則方程的所有根為 8復數(shù)的模為 9 10方程的全部解為 三、設為的解析函數(shù)，若記，則四、試證下列函數(shù)在平面上解析，并分別求出其導數(shù)12五、設，求.六、設試證在原點滿足柯西-黎曼方程，但卻不可導.七、已知，試確定解析函數(shù).八、設和為平面向量，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)即得.如果為解析函數(shù)，則有（與分別表示沿,的方向?qū)?shù)）.九、若函數(shù)在上半平面內(nèi)解析，試證函數(shù)在下半平面內(nèi)解析.十、解方程.第三章 復變

7、函數(shù)的積分一、選擇題：1設為從原點沿至的弧段，則( )（A） （B） （C） （D）2設為不經(jīng)過點與的正向簡單閉曲線，則為( )（A） （B） （C） （D）(A)(B)(C)都有可能3設為負向，正向，則 ( )（A） （B） （C） （D）4設為正向圓周，則 ( )（A） （B） （C） （D）5設為正向圓周，則 ( )（A） （B） （C） （D）6設，其中，則( )（A） （B） （C） （D）7設在單連通域內(nèi)處處解析且不為零，為內(nèi)任何一條簡單閉曲線，則積分 ( )（A）于 （B）等于 （C）等于 （D）不能確定8設是從到的直線段，則積分（ ）（A） (B) (C) (D) 9設為正向圓

8、周，則 ( )（A） （B） （C） （D）10設為正向圓周，則( )（A） （B） （C） （D）11設在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部全屬于如果在上的值為2，那么對內(nèi)任一點,( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不能確定12下列命題中，不正確的是( )（A）積分的值與半徑的大小無關（B）,其中為連接到的線段（C）若在區(qū)域內(nèi)有，則在內(nèi)存在且解析 （D）若在內(nèi)解析，且沿任何圓周的積分等于零，則在處解析13設為任意實常數(shù)，那么由調(diào)和函數(shù)確定的解析函數(shù)是 ( )(A) （B） （C） （D）14下列命題中，正確的是( )（A）設在區(qū)域內(nèi)均為的共軛調(diào)和函數(shù)，則必有（B

9、）解析函數(shù)的實部是虛部的共軛調(diào)和函數(shù)（C）若在區(qū)域內(nèi)解析，則為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)（D）以調(diào)和函數(shù)為實部與虛部的函數(shù)是解析函數(shù)15設在區(qū)域內(nèi)為的共軛調(diào)和函數(shù)，則下列函數(shù)中為內(nèi)解析函數(shù)的是( )（A） （B） （C） （D）二、填空題1設為沿原點到點的直線段，則 2設為正向圓周，則 3設,其中，則 4設為正向圓周，則 5設為負向圓周，則 6解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的 7設在單連通域內(nèi)連續(xù)，且對于內(nèi)任何一條簡單閉曲線都有，那么在內(nèi) 8調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)為 9若函數(shù)為某一解析函數(shù)的虛部，則常數(shù) 10設的共軛調(diào)和函數(shù)為，那么的共軛調(diào)和函數(shù)為 三、計算積分1.,其中且;2.四、設在單連通域內(nèi)解析，

10、且滿足.試證在內(nèi)處處有；對于內(nèi)任意一條閉曲線，都有五、設在圓域內(nèi)解析，若，則.六、求積分，從而證明.七、設在復平面上處處解析且有界，對于任意給定的兩個復數(shù)，試求極限并由此推證（劉維爾Liouville定理）.八、設在內(nèi)解析，且，試計算積分并由此得出之值.九、設是的解析函數(shù)，證明.十、若，試求解析函數(shù).第四章 級 數(shù)一、選擇題：1設，則( )（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在2下列級數(shù)中，條件收斂的級數(shù)為( )（A） （B）（C） （D）3下列級數(shù)中，絕對收斂的級數(shù)為( )（B） （B）(C) （D）4若冪級數(shù)在處收斂，那么該級數(shù)在處的斂散性為( )（A）絕對收斂 （B）條件收斂（

11、C）發(fā)散 （D）不能確定5設冪級數(shù)和的收斂半徑分別為，則之間的關系是( )（A） （B） （C） （D）6設，則冪級數(shù)的收斂半徑( )（A） （B） （C） （D）7冪級數(shù)的收斂半徑( )（A） （B） （C） （D）8冪級數(shù)在內(nèi)的和函數(shù)為（A） （B）（D） (D) 9設函數(shù)的泰勒展開式為，那么冪級數(shù)的收斂半徑( )（A） （B） （C） （D）10級數(shù)的收斂域是( )（A） （B） （C） （D）不存在的11函數(shù)在處的泰勒展開式為( )（A） （B）（C） （D）12函數(shù)，在處的泰勒展開式為( )（A） （B）（C） （D）13設在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式為，為內(nèi)繞的任一條正向簡單閉曲線，那么

12、( )(A) （B） （C） （D）14若，則雙邊冪級數(shù)的收斂域為( )（A） （B） （C） （D）15設函數(shù)在以原點為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式有個，那么( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空題1若冪級數(shù)在處發(fā)散，那么該級數(shù)在處的收斂性為 2設冪級數(shù)與的收斂半徑分別為和，那么與之間的關系是 3冪級數(shù)的收斂半徑 4設在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)的一點，為到的邊界上各點的最短距離，那么當時，成立，其中 5函數(shù)在處的泰勒展開式為 6設冪級數(shù)的收斂半徑為，那么冪級數(shù)的收斂半徑為 7雙邊冪級數(shù)的收斂域為 8函數(shù)在內(nèi)洛朗展開式為 9設函數(shù)在原點的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式為，那么該洛朗級數(shù)收斂域的外半徑

13、 10函數(shù)在內(nèi)的洛朗展開式為 三、若函數(shù)在處的泰勒展開式為，則稱為菲波那契(Fibonacci)數(shù)列，試確定滿足的遞推關系式，并明確給出的表達式四、試證明12五、設函數(shù)在圓域內(nèi)解析，試證1.2。六、設冪級數(shù)的和函數(shù)，并計算之值.七、設，則對任意的，在內(nèi)。八、設在內(nèi)解析的函數(shù)有泰勒展開式試證當時.九、將函數(shù)在內(nèi)展開成洛朗級數(shù).十、試證在內(nèi)下列展開式成立：其中.第五章 留 數(shù)一、選擇題：1函數(shù)在內(nèi)的奇點個數(shù)為 ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）42設函數(shù)與分別以為本性奇點與級極點，則為函數(shù)的( )（A）可去奇點 （B）本性奇點（C）級極點 （D）小于級的極點3設為函數(shù)的級極點，那么( )（

14、A）5 （B）4 (C)3 （D）24是函數(shù)的( )(A)可去奇點 （B）一級極點（C） 一級零點 （D）本性奇點5是函數(shù)的( )(A)可去奇點 （B）一級極點（C） 二級極點 （D）本性奇點6設在內(nèi)解析，為正整數(shù)，那么( )（A） （B） （C） （D）7設為解析函數(shù)的級零點，那么( )(A) （B） （C） （D）8在下列函數(shù)中，的是（ ）（A） （B）（C） (D) 9下列命題中，正確的是( )（A） 設，在點解析，為自然數(shù)，則為的級極點（B） 如果無窮遠點是函數(shù)的可去奇點，那么（C） 若為偶函數(shù)的一個孤立奇點，則（D） 若，則在內(nèi)無奇點10 ( )（A） （B） （C） （D）11 (

15、 )（A） （B） （C） （D）12下列命題中，不正確的是( )（A）若是的可去奇點或解析點，則（B）若與在解析，為的一級零點，則（C）若為的級極點，為自然數(shù)，則（D）如果無窮遠點為的一級極點，則為的一級極點，并且13設為正整數(shù)，則( )(A) （B） （C） （D）14積分( )（A） （B） （C） （D）15積分( )（A） （B） （C） （D）二、填空題1設為函數(shù)的級零點，那么 2函數(shù)在其孤立奇點處的留數(shù) 3設函數(shù)，則 4設為函數(shù)的級極點，那么 5雙曲正切函數(shù)在其孤立奇點處的留數(shù)為 6設，則 7設，則 8積分 9積分 10積分 三、計算積分四、利用留數(shù)計算積分五、利用留數(shù)計算積分六

16、、利用留數(shù)計算下列積分： 七、設為的孤立奇點，為正整數(shù)，試證為的級極點的充要條件是，其中為有限數(shù)八、設為的孤立奇點，試證：若是奇函數(shù)，則；若是偶函數(shù)，則九、設以為簡單極點，且在處的留數(shù)為A，證明.十、若函數(shù)在上解析，當為實數(shù)時，取實數(shù)而且，表示的虛部，試證明第一章 復數(shù)與復變函數(shù)一、1（B） 2（A） 3（D） 4（C） （B） （A） （D） （B） （D） 10（C）11（B） 12（C） 13（D） 14（C） 15（A）二、1 2 3 4 5 （或 ） 10三、（或）四、當時解為或當時解為.六、像的參數(shù)方程為表示平面上的橢圓.十、1在復平面除去原點外連續(xù)，在原點處不連續(xù)；2 在復平面處

17、處連續(xù). 第二章 解析函數(shù)一、1（B） 2（B） 3（D） 4（C） （A） （C） （C） （C） （A） 10（D） 11（A） 12（C） 13（D） 14（B） 15（C）二、填空題1 2常數(shù) 3可微且滿足4 5或，為實常數(shù) 67 89 10四、1 2五、,.七、.為任意實常數(shù).十、.第三章 復變函數(shù)的積分一、1（D） 2（D） 3（B） 4（C） （B） （A） （C） （A） （A） 10（C）11（C） 12（D） 13（D） 14（C） 15（B）二、12 2 30 4 5 6平均值7解析 8 9 10三、1當時，； 當時，； 當時，.2.六、.七、.八、.十、（為任意實常數(shù)）

18、.第四章 級 數(shù)一、1（C） 2（C） 3（D） 4（A） （D） （D） （B） （A） （C） 10（B） 11（D） 12（B） 13（B） 14（A） 15（C）二、1發(fā)散 2 3 4或（）5 6 7 8 9 10三、， .六、，.九、.第五章 留 數(shù)一、1（D） 2（B） 3（C） 4（D） （B） （C） （A） （D） （C） 10（A） 11（B） 12（D） 13（A） 14（B） 15（C）二、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10三、.四、.五、.六、 .莊子云：“人生天地之間，若白駒過隙，忽然而已。”是呀，春秋置換，日月交替，這從指尖悄然劃過的時光，沒有一點聲響，沒有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已過。人活在世上，就像暫時寄宿于塵世，當生命的列車駛到終點，情愿也罷，不情愿也罷，微笑也罷，苦笑也罷，都不得不向生命揮手作別。我們無法挽住時光的腳步，無法改變?nèi)松乃廾?。但我們可以拿起生活的畫筆，把自己的人生涂抹成色彩靚麗的顏色。生命如此短暫，豈容隨意揮霍！只有在該辛勤耕耘的時候播灑汗水，一程風雨后，人生的筐簍里才能裝滿碩果。就算是煙花劃過天空，也要留下短暫的絢爛。只有讓這僅有一次的生命豐盈充實，才不枉來塵世走一遭。