任意角的三角函數(shù)教學設計

1、任意角的三角函數(shù)教案教學目標：1知識和技能：了解任意角三角函數(shù)定義產生的背景和應用；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；加深對函數(shù)一般概念的理解。2、過程與方法：通過參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，體會函數(shù)模型思想，數(shù)形結合思想。培養(yǎng)觀察、分析、探索、歸納、類比及解決問題的能力。3、情感、態(tài)度、價值觀：在數(shù)學史的學習中開闊視野，感受著數(shù)學文化的熏陶。從中感悟數(shù)學概念的合理性、嚴謹性、科學性。感悟數(shù)學的本質，培養(yǎng)追求真理的精神。教學重點：任意角三角函數(shù)的定義.教學難點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域一、復習引入： 1.在初中我們學習了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比

2、值為函數(shù)值的三角函數(shù): 2.前面我們對角的概念進行了擴充，并學習了弧度制，知道角的集合與實數(shù)集是一一對應的，在這個基礎上，今天我們來研究任意角的三角函數(shù).二、講解新課： 對于銳角三角函數(shù)，我們是在直角三角形中定義的，今天，對于任意角的三角函數(shù)，我們利用平面直角坐標系來進行研究.1.設是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）則P與原點的距離2比值叫做的正弦 記作： 比值叫做的余弦 記作： 比值叫做的正切 記作： 3.突出探究的幾個問題：角是“任意角”，當b=2kp+a(kZ)時，b與a的同名三角函數(shù)值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等實際上，如果終邊在坐標軸上，上

3、述定義同樣適用三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應由象限確定.定義域：對于正弦函數(shù)，因為0，所以恒有意義，即取任意實數(shù)，恒有意義，也就是說sin恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對于正切函數(shù)，因為x0時，無意義，即tan無意義，又當且僅當角的終邊落在縱軸上時，才有x0，所以當?shù)慕K邊不在縱軸上時，恒有意義，即tan恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是.從而有 4.注意:(1)以后我們在平面直角坐標系內研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合.(2)OP是角的終邊，至于是轉了幾圈，按什么方向旋轉的不清楚

4、，也只有這樣，才能說明角是任意的.(3)sin是個整體符號，不能認為是“sin”與“”的積.其余五個符號也是這樣.(4)定義中只說怎樣的比值叫做的什么函數(shù)，并沒有說的終邊在什么位置(終邊在坐標軸上的除外)，即函數(shù)的定義與的終邊位置無關.(5)比值只與角的大小有關.(6)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:任意角的三角函數(shù)就包含銳角三角函數(shù)，實質上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義是一致的，銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的. 即正弦函數(shù)值是縱坐標比距

5、離，余弦函數(shù)值是橫坐標比距離， 正切函數(shù)值是縱坐標比橫坐標，余切函數(shù)值是橫坐標比縱坐標，正割函數(shù)值是距離比橫坐標，余割函數(shù)值是距離比縱坐標.(7)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.三、講解范例：例1 已知角的終邊經過點P(2，3)(如圖)，求的正弦、余弦和正切值.解：x2，3于是 例2求下列各角的正弦、余弦和正切值。(1)0 (2) (3) (4) 解：(1)因為當0時，x，0，所以sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在sec0

6、=1 csc0不存在(2)因為當時，x，0，所以sin0 cos1 tan0 cot不存在sec1 csc不存在(3)因為當時，x0，所以 不存在 不存在 (4)當a=時 ,所以 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1四、課堂練習：1.若點P(3，)是角終邊上一點，且，則的值是 .答案：2.角的終邊上一個點P的坐標為(5a,-12a)(a0)，求sin+2cos的值. 解：依題意得：x=5a,y=-12a, (1)當a0時，角是第四象限角，則,sin+2cos=-; (2)當a0時，角是第二象限角，則.cos+2cos=.五、小結 本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義，并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，任意角的三角函數(shù)實質上是銳角三角