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學(xué)科教育論文-高中數(shù)學(xué)新課程中的向量及其教學(xué)摘要:向量具有豐富的物理背景,向量既是幾何的研究對(duì)象,又是代數(shù)的研究對(duì)象,是溝通代數(shù)、幾何的橋梁,是重要的數(shù)學(xué)模型。在高中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)向量有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科的聯(lián)系,理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義及價(jià)值,發(fā)展運(yùn)算能力,掌握處理幾何問(wèn)題的一種方法,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想,增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。向量的教學(xué)應(yīng)突出物理背景,注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義,關(guān)注向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)新課程;向量;教學(xué)向量是高中數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))(以下簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn))中,在必修課程(數(shù)學(xué)4)、選修課程(系列21)中分別設(shè)置了平面向量與空間向量的內(nèi)容。筆者在新課程教師培訓(xùn)和實(shí)驗(yàn)區(qū)聽課中了解到,相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師認(rèn)為高中數(shù)學(xué)課程中的向量主要是作為解決幾何問(wèn)題的一種工具,以簡(jiǎn)化幾何證明。因此,對(duì)于向量教學(xué)的研究主要集中于向量在解幾何問(wèn)題中的應(yīng)用,向量教學(xué)的重點(diǎn)放在用向量解幾何問(wèn)題的技巧上。本文試圖對(duì)高中數(shù)學(xué)新課程中向量?jī)?nèi)容的定位、向量的教育價(jià)值以及向量教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題做一探討。一、對(duì)向量的認(rèn)識(shí)向量早在19世紀(jì)就已成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的對(duì)象,20世紀(jì)初被引入中學(xué)數(shù)學(xué)。我國(guó)在1996年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中引入了向量。這次,標(biāo)準(zhǔn)中也設(shè)置了向量的內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)新課程中之所以設(shè)置向量的內(nèi)容,是基于以下幾方面的認(rèn)識(shí)。(一)向量具有豐富的物理背景矢量是物理學(xué)研究的基本量之一,它既有大小,又有方向。如,力、位移、速度、加速度、動(dòng)量、電場(chǎng)強(qiáng)度等都是矢量。這些量貫穿于物理學(xué)的許多分支,都是數(shù)學(xué)中的向量的現(xiàn)實(shí)原型,為數(shù)學(xué)中的向量提供了豐富的物理背景。(二)向量是幾何的研究對(duì)象物體的位置和形狀是幾何學(xué)的基本研究對(duì)象。向量可以表示物體的位置,也是一種幾何圖形(有向線段),因而它成為幾何學(xué)的基本研究對(duì)象。作為幾何學(xué)的研究對(duì)象,向量有方向,可以刻畫直線、平面等幾何對(duì)象及它們的位置關(guān)系;向量有長(zhǎng)度,可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題。(三)向量是代數(shù)的研究對(duì)象運(yùn)算及其規(guī)律是代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象。向量可以進(jìn)行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積(點(diǎn)乘)、向量積(叉乘)等多種運(yùn)算,這些運(yùn)算及其規(guī)律賦予向量集合特定的結(jié)構(gòu),使得向量具有一系列豐富的性質(zhì)。向量的運(yùn)算及其性質(zhì)自然成為代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。(四)向量是溝通代數(shù)、幾何的橋梁向量作為有向線段,可用來(lái)確定位置。但要用向量刻畫幾何圖形的性質(zhì),解決幾何中的長(zhǎng)度、角度等度量問(wèn)題只有有向線段是不夠的,必須通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算才能實(shí)現(xiàn)。如,利用向量的數(shù)乘運(yùn)算可以刻畫平行,利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫垂直、角度、三角函數(shù)等。因此,向量集數(shù)、形于一身,是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn),溝通了代數(shù)、幾何、三角。(五)向量是重要的數(shù)學(xué)模型用V表示向量的集合,則V對(duì)于向量的加法運(yùn)算構(gòu)成交換群。(V、R)對(duì)于V中向量的加法、實(shí)數(shù)域R中的實(shí)數(shù)與向量的乘法(數(shù)乘)運(yùn)算構(gòu)成線性空間。V中向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫向量的長(zhǎng)度,給V中的向量賦以長(zhǎng)度后,(V、R)對(duì)于向量的加法、實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算構(gòu)成線性賦范空間。群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數(shù)學(xué)模型,也是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析的重要研究對(duì)象。因此,向量為理解抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析提供了基本的數(shù)學(xué)模型。二、向量的教育價(jià)值(一)有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系向量具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景和物理背景。向量是刻畫位置的重要數(shù)學(xué)工具,在諸如衛(wèi)星定位、飛船設(shè)計(jì)、可運(yùn)動(dòng)機(jī)器人設(shè)計(jì)與操控中有著廣泛的應(yīng)用。向量也是刻畫物理量力、位移、速度、加速度等的數(shù)學(xué)工具,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的天然聯(lián)系。力、位移、速度、加速度這些物理量在實(shí)際生活中是隨處可見的。因此,向量的學(xué)習(xí),有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活以及物理等學(xué)科的緊密聯(lián)系,體會(huì)向量在刻畫和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用,從中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。(二)有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義及價(jià)值,發(fā)展運(yùn)算能力向量作為代數(shù)對(duì)象,可以進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。數(shù)運(yùn)算,字母、多項(xiàng)式運(yùn)算,向量運(yùn)算,函數(shù)、映射、變換運(yùn)算,矩陣運(yùn)算等是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算。從數(shù)運(yùn)算,字母、多項(xiàng)式運(yùn)算到向量運(yùn)算,是運(yùn)算的一次飛躍。數(shù)運(yùn)算、多項(xiàng)式運(yùn)算都是AAA型的代數(shù)運(yùn)算,數(shù)與多項(xiàng)式的運(yùn)算屬于ABB型的代數(shù)運(yùn)算,而向量運(yùn)算除了前兩種類型的運(yùn)算,還有數(shù)量積運(yùn)算,它屬于AAB型的代數(shù)運(yùn)算。向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫向量的長(zhǎng)度,從而使得我們可以通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題。向量運(yùn)算更加清晰地展現(xiàn)了不同類型的代數(shù)運(yùn)算的特征及其功能,同時(shí),向量運(yùn)算具有與數(shù)運(yùn)算不同的一些運(yùn)算律,這對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解其他數(shù)學(xué)運(yùn)算、發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力具有基礎(chǔ)作用。向量的學(xué)習(xí),有助于學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義以及運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用,為理解函數(shù)、映射、變換運(yùn)算,矩陣運(yùn)算等奠定了基礎(chǔ)。(三)有助于學(xué)生掌握處理幾何問(wèn)題的代數(shù)方法,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想向量既是代數(shù)的對(duì)象,又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象,向量可以進(jìn)行運(yùn)算。作為幾何對(duì)象,向量有方向,可以刻畫直線、平面、切線等幾何對(duì)象;向量有長(zhǎng)度,可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題。運(yùn)用向量刻畫幾何對(duì)象和幾何度量問(wèn)題都是通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)的。因此,向量提供了一種通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫幾何對(duì)象及其位置關(guān)系以及幾何度量問(wèn)題的工具。向量集數(shù)形于一身,是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁。向量的學(xué)習(xí),有助于學(xué)生掌握處理幾何問(wèn)題的代數(shù)方法,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。(四)有助于增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解向量是重要的數(shù)學(xué)模型,它來(lái)源于力、位移、速度等現(xiàn)實(shí)原型。向量及其運(yùn)算構(gòu)成的數(shù)學(xué)系統(tǒng)又為群、線性空間、線性賦范空間等抽象數(shù)學(xué)系統(tǒng)提供了原型。向量的運(yùn)算使得向量的集合具有特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如,引入向量的加法后,向量連同其加法運(yùn)算一起構(gòu)成群結(jié)構(gòu);引入數(shù)與向量的乘法后,向量連同加法、數(shù)乘運(yùn)算一起構(gòu)成線性空間結(jié)構(gòu);引入向量的數(shù)量積運(yùn)算后,向量連同加法、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算一起構(gòu)成線性賦范空間結(jié)構(gòu)。群、線性空間結(jié)構(gòu)是典型的代數(shù)結(jié)構(gòu)。向量的數(shù)量積運(yùn)算,可以賦予向量以長(zhǎng)度,從而產(chǎn)生一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。線性賦范空間是代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)交叉形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。正是由于這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),才使得運(yùn)用向量的運(yùn)算刻畫幾何對(duì)象及其位置關(guān)系以及幾何度量問(wèn)題成為可能。因此,向量的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程中的多層次抽象性以及數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)于建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)、刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的重要性,進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。三、向量教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題基于高中數(shù)學(xué)新課程中對(duì)向量的定位以及對(duì)向量教育價(jià)值的分析,向量教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。(一)突出物理背景向量具有豐富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型,這些物理量是學(xué)生在日常生活中能夠經(jīng)常感受到的,這為理解向量的概念、向量的運(yùn)算提供了直觀、現(xiàn)實(shí)的背景。在教學(xué)中,應(yīng)注重突出向量的這些物理背景。例如,在引入向量的加法運(yùn)算時(shí),可以位移的合成為背景,這種方式比較直觀。假設(shè)一個(gè)人從A位移到B,再?gòu)腂位移到C,則這兩次位移的結(jié)果就產(chǎn)生了從A到C的位移(如圖1),這個(gè)位移是兩次位移確定的總位移,把它看成前兩個(gè)位移的和是自然的。這就引入了向量的加法以及加法的三角形法則。有了三角形法則很容易引出平行四邊形
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