學科教育論文-高中數(shù)學新課程中的向量及其教學.doc

學科教育論文-高中數(shù)學新課程中的向量及其教學摘要：向量具有豐富的物理背景，向量既是幾何的研究對象，又是代數(shù)的研究對象，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁，是重要的數(shù)學模型。在高中數(shù)學中學習向量有助于學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活和其他學科的聯(lián)系，理解數(shù)學運算的意義及價值，發(fā)展運算能力，掌握處理幾何問題的一種方法，體會數(shù)形結(jié)合思想，增進對數(shù)學本質(zhì)的理解。向量的教學應突出物理背景，注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義，關(guān)注向量在物理、數(shù)學、現(xiàn)代科學技術(shù)中的應用。關(guān)鍵詞：數(shù)學新課程；向量；教學向量是高中數(shù)學新課程中的重要內(nèi)容。普通高中數(shù)學課程標準（實驗）（以下簡稱標準）中，在必修課程（數(shù)學4）、選修課程（系列21）中分別設(shè)置了平面向量與空間向量的內(nèi)容。筆者在新課程教師培訓和實驗區(qū)聽課中了解到，相當一部分數(shù)學教師認為高中數(shù)學課程中的向量主要是作為解決幾何問題的一種工具，以簡化幾何證明。因此，對于向量教學的研究主要集中于向量在解幾何問題中的應用，向量教學的重點放在用向量解幾何問題的技巧上。本文試圖對高中數(shù)學新課程中向量內(nèi)容的定位、向量的教育價值以及向量教學中應注意的幾個問題做一探討。一、對向量的認識向量早在19世紀就已成為數(shù)學家和物理學家研究的對象，20世紀初被引入中學數(shù)學。我國在1996年高中數(shù)學教學大綱中引入了向量。這次，標準中也設(shè)置了向量的內(nèi)容。高中數(shù)學新課程中之所以設(shè)置向量的內(nèi)容，是基于以下幾方面的認識。（一）向量具有豐富的物理背景矢量是物理學研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。如，力、位移、速度、加速度、動量、電場強度等都是矢量。這些量貫穿于物理學的許多分支，都是數(shù)學中的向量的現(xiàn)實原型，為數(shù)學中的向量提供了豐富的物理背景。（二）向量是幾何的研究對象物體的位置和形狀是幾何學的基本研究對象。向量可以表示物體的位置，也是一種幾何圖形（有向線段），因而它成為幾何學的基本研究對象。作為幾何學的研究對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對象及它們的位置關(guān)系；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。（三）向量是代數(shù)的研究對象運算及其規(guī)律是代數(shù)學的基本研究對象。向量可以進行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積（點乘）、向量積（叉乘）等多種運算，這些運算及其規(guī)律賦予向量集合特定的結(jié)構(gòu)，使得向量具有一系列豐富的性質(zhì)。向量的運算及其性質(zhì)自然成為代數(shù)學的研究對象。（四）向量是溝通代數(shù)、幾何的橋梁向量作為有向線段，可用來確定位置。但要用向量刻畫幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何中的長度、角度等度量問題只有有向線段是不夠的，必須通過向量的代數(shù)運算才能實現(xiàn)。如，利用向量的數(shù)乘運算可以刻畫平行，利用向量的數(shù)量積運算可以刻畫垂直、角度、三角函數(shù)等。因此，向量集數(shù)、形于一身，是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)，溝通了代數(shù)、幾何、三角。（五）向量是重要的數(shù)學模型用V表示向量的集合，則V對于向量的加法運算構(gòu)成交換群。（V、R）對于V中向量的加法、實數(shù)域R中的實數(shù)與向量的乘法（數(shù)乘）運算構(gòu)成線性空間。V中向量的數(shù)量積運算可以刻畫向量的長度，給V中的向量賦以長度后，（V、R）對于向量的加法、實數(shù)與向量的乘法運算構(gòu)成線性賦范空間。群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數(shù)學模型，也是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析的重要研究對象。因此，向量為理解抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析提供了基本的數(shù)學模型。二、向量的教育價值（一）有助于學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活以及其他學科的聯(lián)系向量具有豐富的現(xiàn)實背景和物理背景。向量是刻畫位置的重要數(shù)學工具，在諸如衛(wèi)星定位、飛船設(shè)計、可運動機器人設(shè)計與操控中有著廣泛的應用。向量也是刻畫物理量力、位移、速度、加速度等的數(shù)學工具，它體現(xiàn)了數(shù)學與物理的天然聯(lián)系。力、位移、速度、加速度這些物理量在實際生活中是隨處可見的。因此，向量的學習，有助于學生認識數(shù)學與實際生活以及物理等學科的緊密聯(lián)系，體會向量在刻畫和解決實際問題中的作用，從中感受數(shù)學的應用價值。（二）有助于學生理解數(shù)學運算的意義及價值，發(fā)展運算能力向量作為代數(shù)對象，可以進行運算。運算對象的不斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索。數(shù)運算，字母、多項式運算，向量運算，函數(shù)、映射、變換運算，矩陣運算等是數(shù)學中的基本運算。從數(shù)運算，字母、多項式運算到向量運算，是運算的一次飛躍。數(shù)運算、多項式運算都是AAA型的代數(shù)運算，數(shù)與多項式的運算屬于ABB型的代數(shù)運算，而向量運算除了前兩種類型的運算，還有數(shù)量積運算，它屬于AAB型的代數(shù)運算。向量的數(shù)量積運算可以刻畫向量的長度，從而使得我們可以通過向量的代數(shù)運算刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。向量運算更加清晰地展現(xiàn)了不同類型的代數(shù)運算的特征及其功能，同時，向量運算具有與數(shù)運算不同的一些運算律，這對于學生進一步理解其他數(shù)學運算、發(fā)展學生的運算能力具有基礎(chǔ)作用。向量的學習，有助于學生進一步體會數(shù)學運算的意義以及運算在建構(gòu)數(shù)學系統(tǒng)中的作用，為理解函數(shù)、映射、變換運算，矩陣運算等奠定了基礎(chǔ)。（三）有助于學生掌握處理幾何問題的代數(shù)方法，體會數(shù)形結(jié)合思想向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象。作為代數(shù)對象，向量可以進行運算。作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。運用向量刻畫幾何對象和幾何度量問題都是通過向量的代數(shù)運算來實現(xiàn)的。因此，向量提供了一種通過代數(shù)運算刻畫幾何對象及其位置關(guān)系以及幾何度量問題的工具。向量集數(shù)形于一身，是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁。向量的學習，有助于學生掌握處理幾何問題的代數(shù)方法，體會數(shù)形結(jié)合的思想。（四）有助于增進學生對數(shù)學本質(zhì)的理解向量是重要的數(shù)學模型，它來源于力、位移、速度等現(xiàn)實原型。向量及其運算構(gòu)成的數(shù)學系統(tǒng)又為群、線性空間、線性賦范空間等抽象數(shù)學系統(tǒng)提供了原型。向量的運算使得向量的集合具有特定的數(shù)學結(jié)構(gòu)。如，引入向量的加法后，向量連同其加法運算一起構(gòu)成群結(jié)構(gòu)；引入數(shù)與向量的乘法后，向量連同加法、數(shù)乘運算一起構(gòu)成線性空間結(jié)構(gòu)；引入向量的數(shù)量積運算后，向量連同加法、數(shù)乘、數(shù)量積運算一起構(gòu)成線性賦范空間結(jié)構(gòu)。群、線性空間結(jié)構(gòu)是典型的代數(shù)結(jié)構(gòu)。向量的數(shù)量積運算，可以賦予向量以長度，從而產(chǎn)生一種拓撲結(jié)構(gòu)。線性賦范空間是代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓撲結(jié)構(gòu)交叉形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。正是由于這種數(shù)學結(jié)構(gòu)，才使得運用向量的運算刻畫幾何對象及其位置關(guān)系以及幾何度量問題成為可能。因此，向量的學習有助于學生認識數(shù)學概念形成過程中的多層次抽象性以及數(shù)學運算對于建構(gòu)數(shù)學系統(tǒng)、刻畫數(shù)學對象的重要性，進而理解數(shù)學的本質(zhì)。三、向量教學應注意的問題基于高中數(shù)學新課程中對向量的定位以及對向量教育價值的分析，向量教學中應注意以下幾個問題。（一）突出物理背景向量具有豐富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，這些物理量是學生在日常生活中能夠經(jīng)常感受到的，這為理解向量的概念、向量的運算提供了直觀、現(xiàn)實的背景。在教學中，應注重突出向量的這些物理背景。例如，在引入向量的加法運算時，可以位移的合成為背景，這種方式比較直觀。假設(shè)一個人從A位移到B，再從B位移到C，則這兩次位移的結(jié)果就產(chǎn)生了從A到C的位移（如圖1），這個位移是兩次位移確定的總位移，把它看成前兩個位移的和是自然的。這就引入了向量的加法以及加法的三角形法則。有了三角形法則很容易引出平行四邊形