重積分在極坐標(biāo)系下的計算.ppt

二重積分在極坐標(biāo)系下的計算,一、二重積分的極坐標(biāo)計算公式,二、典型例題,適用范圍,直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系,其中 0 r +, 0 2,(或 - ),考慮典型小閉區(qū)域 曲邊四邊形區(qū)域,一、二重積分的極坐標(biāo)計算公式,二重積分的變量從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式,計算方法化為二次定積分 (通常先對 后對 積分),二重積分化為二次積分幾種常見的情形,二重積分化為二次積分幾種常見的情形,二重積分化為二次積分幾種常見的情形,若 f 1 則可求得D 的面積,思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試,答:,問 的變化范圍是什么?,(1),(2),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、典型例題,例.求,其中D：x2+y2 1,解：一般, 若D的表達式中含有x2+y2時，可考慮用 極坐標(biāo)積分。,令x=rcos, y=rsin, 則,x2+y2 1的極坐標(biāo)方程為r = 1.,由(2),D*: 0 r 1, 0 2,另由幾何意義：,例1.計算,其中D: x2+y2a2(a0).,解：D 如圖,由于D關(guān)于x軸，y 軸都對稱，,即f (x, y)也關(guān)于x軸，y軸對稱.,故,從而，原式,注：本題若用直角函標(biāo)計算，會遇到,而這個積分是“積不出”的。,例1.,方法二,方法一,例2,0,x,y,D,例2,方法二,解,例3,例4,解,積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱.,例5,例6,解,內(nèi)容小結(jié),(1) 二重積分化為累次積分的方法,直角坐標(biāo)系情形 :,若積分區(qū)域為,則,若積分區(qū)域為,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,(2) 一般換元公式,且,則,極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域為,在變換,下,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3) 計算步驟及注意事項, 畫出積分域, 選擇坐標(biāo)系, 確定積分序, 寫出積分限, 計算要簡便,域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離,積分域分塊要少,累次積好算為妙,圖示法,不等式,( 先積一條線, 后掃積分域 ),充分利用對稱性,應(yīng)用換元公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 設(shè),且,求,提示:,交換積分順序后, x , y互換,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 交換積分順序,提示: 積分域如圖,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,計算二重積分應(yīng)注意的問題,1、由被積函數(shù)和積分區(qū)域D適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系， 當(dāng)D是圓域，環(huán)域（或其一部分）或被積函數(shù)為型時采用極坐標(biāo)系下計算，否則采用直角坐標(biāo)。,適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，,適當(dāng)?shù)剡x取積分次序，,2、由積分區(qū)域D的形狀特點適當(dāng)?shù)剡x取積分次序， 極坐標(biāo)系下一般先對r后對積分， 直角坐標(biāo)系下一般由X還是Y型區(qū)域決定。,準(zhǔn)確地確定積分限