A)無窮級數(shù)-常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法.ppt

第十一章 無窮級數(shù),第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì),實(shí)例 概念 性質(zhì) 必要條件 小結(jié)、作業(yè),1/26,例 無窮級數(shù)概念的引入,問題：如何理解無窮多個數(shù)相加(這是“不可完成”的！)得出一個數(shù)？,歷史爭論：Zenos Paradox(芝諾悖論),Zeno：,這是一個沒有終結(jié)的過程，因此永遠(yuǎn)跑不到 原點(diǎn)。,實(shí)際經(jīng)驗(yàn)告訴我們：若等速行進(jìn)，跑一半路程化時間T，則跑完全程應(yīng)化時間2T，即有,如何理解此等式?,？,解決此悖論，要引進(jìn)極限方法： 先算前 n 項(xiàng)之和：,讓 ，上述和 (與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相符！) 可見， 要把無限多項(xiàng)之“和”2T 理解為前 n 項(xiàng)之和，當(dāng) 時的極限。,但是，如果以如下方式減速前進(jìn)：,此時需化為,若先考慮 ，則有,？,實(shí)際經(jīng)驗(yàn)不能給我們?nèi)魏螁⑹荆?在這種情況下，Zeno是有道理的： 永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點(diǎn)。,幾點(diǎn)結(jié)論： 1無窮級數(shù)是以加法形式出現(xiàn)的極限問題； 2正由于本質(zhì)是極限，故出現(xiàn)“極限是否存在”的問題，即無窮多項(xiàng)“相加”可能是“沒有和”的； 3正由于本質(zhì)是極限，故加法的性質(zhì)(如交換律、結(jié)合律等)不可以無條件平移過來；,一、實(shí)例,1. 計(jì)算圓的面積A-割圓術(shù),正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 邊形的面積,2/26,3/26,二、概念,1. 級數(shù)的定義:,(常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù)，,一般項(xiàng),部分和,2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散:,余項(xiàng),4/26,解,收斂;,發(fā)散;,發(fā)散.,發(fā)散.,綜上,5/26,解,為等比級數(shù)，,解,6/26,三、性質(zhì),即: 收斂的級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.,9/26,思考: 收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的和的收斂性如何?,解,10/26,11/26,注意,收斂級數(shù)去括號后所成的級數(shù)不一定收斂.,發(fā)散.,收斂;,四、收斂的必要條件,*證,級數(shù)收斂的必要條件:,注意,1. 一般項(xiàng)不趨于零級數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2. 條件不充分：一般項(xiàng)趨于零級數(shù)收斂.,13/26,例5,14/26,8項(xiàng),4項(xiàng),2項(xiàng),2項(xiàng),項(xiàng),由性質(zhì)4推論,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.,或由,15/26,例6 判別收斂性：,解,解,解,16/26,解,17/26,五、小結(jié),一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念:,二、基本審斂法：,18/26,*無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形“Koch雪花”,19/26,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,20/26,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,21/26,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,22/26,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,23/26,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,24/26,觀察雪花分形過程,第