2012全國高考湖北卷文科數(shù)學(xué)試卷解析版.docx

整理版2012全國高考湖北卷文科數(shù)學(xué)試卷解析版2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷解析版) 數(shù)學(xué)(理工類)試卷 一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 2xx，,61301(方程的一個根是 A( B( C( D(,，32i32i，,，23i23i，考點分析:本題考察復(fù)數(shù)的一元二次方程求根. 難易度:? 2,，66134解析:根據(jù)復(fù)數(shù)求根公式:，所以方程的一個根為x32,i,，32i2答案為A. 32(命題“，”的否定是 x,Q，,xQ0R033A(， B(，x,Qx,Q，,xQ，,xQ0R0R003x,QC(， ,xQR3x,Q D(，,xQR4 考點分析:本題主要考察常用邏輯用語，考2 4 察對命題的否定和否命題的區(qū)別.2 2 側(cè)視圖 正視圖 ? 難易度: 解析:根據(jù)對命題的否定知，是把謂詞取否定，然后把結(jié)論否定。因此選Dyfx,()3(已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，x則它與軸所圍圖形的面積為 y 俯視圖 24A( B( 第4題圖 135,1,1 1O x ,1 第3題圖 ,1 3C( D( 22考點分析:本題考察利用定積分求面積. 難易度:?2 解析:根據(jù)圖像可得: ，再由定積分的幾何意義，可求得面積為yfxx,，()1114231. ,，,，,Sxdxxx(1)(),1,1334(已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾 何體的體積為 8A( B( 3310C( D( 63考點分析:本題考察空間幾何體的三視圖. 難易度:? 解析:顯然有三視圖我們易知原幾何體為 一個圓柱體的一部分，并且有正視圖知是一個1/2的圓柱體，底面圓的半徑為1，圓柱體的高為6，則知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B. 32012013,a51，a5(設(shè)，且，若能被 a,Z13整除，則 a,A(0 B(1 C(11 D(12 考點分析:本題考察二項展開式的系數(shù). 難易度:? 解析:由于 201202012120112011151=52-1，,(52,1),C52,C52，.,C52，1201220122012又由于13|52,所以只需13|1+a，0?a13,所以a=12選D. 222abc，,10abcxyz,6(設(shè)是正數(shù)，且， 222axbycz，,20xyz，,40， abc，則 ,xyz，11A( B( 4313C( D( 24考點分析:本題主要考察了柯西不等式的使用以及其取等條件. 難易度:? 2222222解析:由于 (a，b，c)(x，y，z),(ax，by，cz) abc2222等號成立當(dāng)且僅當(dāng)則a=t x b=t y c=t z ，,t,t(x，y，z),10xyz abca，b，ca，b，ct,1/2所以由題知又，答案選C.,所以,t,1/2xyzx，y，zx，y，z 7(定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍(,0)(0,),，,:fx()a()fann是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函fx()(,0)(0,),，,:數(shù): 2x?; ?; ?; ?fxx()ln|,.fxx(),fx()2,fxx()|,fx()則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 A(? ? B(? ? C(? ? D(? ? 考點分析:本題考察等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計算. 難易度:? 222222，fafa,aa,a,fa解析:等比數(shù)列性質(zhì)，?; aa,ann，2nn，2n，1n，1nnn，2，1aaa，a2a2nn，2nn，2n，1?，;fafa,22,2,2,fann，2n，122，?;fafa,aa,a,fann，2nn，2n，1n，122，fafa,lnalna,lna,fa?.選C nn，2nn，2n，1n，18(如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 211A( B( ,1,221C( D( 考點分析:本題考察幾何概型及平面圖形面積求法. 難易度:? OA,1解析:令，扇形OAB為對稱圖形，ACBD圍成面積為，S1圍成OC為，作對稱軸OD，則過C點。即為以O(shè)A為直徑SS22的半圓面積減去三角形OAC的面積，2111112S,1。在扇形OAD中為扇形面S,，,22222228,112SSS,22121，積減去三角形OAC面積和，,2288216第8題圖 2,1SSS,，,，扇形OAB面積，選A. 124429(函數(shù)在區(qū)間0,4上的零點個數(shù)為 fxxx()cos,A(4 B(5 C(6 D(7 考點分析:本題考察三角函數(shù)的周期性以及零點的概念. 難易度:? ,22x,0x,k，,k,Zcosx,0解析:，則或，又，,x,0,4f(x),0,k,0,1,2,3,42所以共有6個解.選C. 10(我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù)以十六乘之九而一所得開立方除之即立圓徑. “開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑Vd316 =3.14159？dV,的一個近似公式. 人們還用過一些類似的近似公式. 根據(jù)判斷，9下列近似公式中最精確的一個是 33316300213dV,dV,dV,dV,2A( B( C( D(157911考點分析:考察球的體積公式以及估算. 難易度:? 解析: 3466b69dVa，3由，得設(shè)選項中常數(shù)為則;中代入得，,VA,()d,=3.37532b16a,，616157611中代入得，BD=3=3.14,=3.142857C中代入得中代入得，,230021由于D中值最接近的真實值，故選擇D。,二、填空題:本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分. 請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上. 答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分. (一)必考題(1114題) 11(設(shè)?的內(nèi)角，所對的邊分別為，. 若，()()abcabcab，,，,acCbABCAB則角 ( C,考點分析:考察余弦定理的運用. 難易度:? 解析: 222由(a=-a+b-c)(a+b-c)=ab,得到abcb，,222abc，,-ab12 根據(jù)余弦定理故cos=,CC,，,2223abab12(閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果 .s, 第12題圖 考點分析:本題考查程序框圖. 難易度:? 解析:程序在運行過程中各變量的值如下表示: 第一圈循環(huán):當(dāng)n=1時，得s=1，a=3. a=5 第二圈循環(huán): 當(dāng)n=2時，得s=4，第三圈循環(huán):當(dāng)n=3時，得s=9，a=7 此時n=3，不再循環(huán)，所以解s=9 . 13(回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)(如22，121，3443，94249等(顯然 2位回文數(shù)有9個:11，22，33，99(3位回文數(shù)有90個:101，111，121，191，202，999(則 (?)4位回文數(shù)有 個; (?)位回文數(shù)有 個( 21()nn，,N，考點分析:本題考查排列、組合的應(yīng)用. 難易度:? 解析:(?)4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為9，10,900，有9(19)種情況，第二位有10(09)種情況，所以4位回文數(shù)有種。答案:90 (?)法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不n9，10能為0有9種情況，后面n項每項有10種情況，所以個數(shù)為.法二、可以看出2位數(shù)有9個回文數(shù)，3位數(shù)90個回文數(shù)。計算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00,11,22,99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個按此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09n9，10這十個數(shù)，因此,則答案為. 22xy14(如圖，雙曲線的兩頂點為A，A，虛軸兩端點為B，B，兩焦點,1 (,0)ab112222abABCD,為FF，. 若以AA為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為. 則FBFB12121122 y B A B2 A A 1 2O x 12 C D (?)雙曲線的離心率 ; e,S1(?)菱形的面積與矩形的面積的比值 .SS,FBFBABCD121122S2 考點分析:本題考察雙曲線中離心率及實軸虛軸的相關(guān)定義，以及一般平面幾何圖形的面積計算. 難易度:? O 解析:(?)由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，因此點到直線的距離為FBAAFBFB12112222b，又由于虛軸兩端點為，因此的長為，那么在中，由三角形的面aOBBB,FOB122221112222bc,a|BF|,a(b，c)c,a，b積公式知，又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立222225，1222可得出，根據(jù)解出 e,;e,(1,，,)(e,1),e22(?)設(shè),很顯然知道,因此.在，F(xiàn)OB,，F(xiàn)AO,，AOB,S,2asin(2,)2222222bc4abc2,sin,cos,S,4asincos,中求得故;,FOB222222222b，cb，cb，c25S，1e菱形的面積，再根據(jù)第一問中求得的值可以解出.S,2bcFBFB,112212S2(二)選考題(請考生在第15、16兩題中任選一題作答請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑. 如果全選則按第15題作答結(jié)果計分.) 15(選修4-1:幾何證明選講) B C 如圖，點D在的弦AB上移動，連接OD，過點D OAB,4D 作的垂線交于點C，則CD的最大值為 . OD O考點分析:本題考察直線與圓的位置關(guān)系 . 難易度:? O 22A OCCD,OC,OD解析:(由于OD,CD,因此,線段長為定值， 第15題圖 OD即需求解線段長度的最小值，根據(jù)弦中點到圓心的距離最短，此 1C時為的中點，點與點重合，因此. |CD|,|AB|,2DBAB216(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程) 在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸 xt,，1,建立極坐標系. 已知射線與曲線(t為參數(shù)) ,24yt,(1),相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為 . 考點分析:本題考察平面直角坐標與極坐標系下的曲線方程交點. 難易度:? xt,，1,解析:在直角坐標系下的一般方程為，將參數(shù)方程(t為參y,x(x,R),24yt,(1),222數(shù))轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的一般方程為表示一條拋物y,(t,1),(x,1,1),(x,2)2A、B線，聯(lián)立上面兩個方程消去x,5x，4,0有，設(shè)兩點及其中點的橫坐標分別yPxx，5ABx,為，則有韋達定理,又由于點點在直線上，因此x、x、xy,xPAB0AB02255P(,)的中點. 22三、解答題 17(本小題滿分12分) 已知向量a,(cossin,sin),xxx，設(shè)函數(shù)b,(cossin,23cos),xxx1()x,Rfx(),，ab,的圖象關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且. x,(,1)2 fx()(?)求函數(shù)的最小正周期; 3fx()yfx,()(?)若的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.(,0)0,45 考點分析:本題考察三角恒等變化，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。 難易度:? 22解析:(?)因為 fxxxxx()sincos23sincos,，,，,. ,，cos23sin2,xx,，,2sin(2)x6 yfx,()由直線是圖象的一條對稱軸，可得， x,sin(2)16 k1所以，即( ,，,Z,，,Z2kk()()k6223 51又，所以，故. k,Zk,1,(,1)62 6所以的最小正周期是. fx()5 (?)由的圖象過點，得， yfx,()(,0)f()0,445即，即. ,2,，,2sin()2sin26264 5故， fxx()2sin()2,36 355由，有， 0,x,x56366155所以，得，,sin()1x,122sin()222x23636 3故函數(shù)在上的取值范圍為. fx()12,22,0,5 18(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為. a8,3n(?)求等差數(shù)列的通項公式; an(?)若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和. aaan|a231n考點分析:考察等差等比數(shù)列的通項公式，和前n項和公式及基本運算。 難易度:? 解析:(?)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，aaad,，aad,，2dn2131 333,ad，,a,2,a,4,111由題意得 解得或 ,d,3.aadad()(2)8.，,d,3,111 所以由等差數(shù)列通項公式可得 ，或. ann,，23(1)35ann,，,43(1)37nn故，或. an,，35an,37nn (?)當(dāng)aaa時，分別為，不成等比數(shù)列;an,，35,1,42231n aaa當(dāng)時，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件.an,37,12,4231n ,，,37,1,2,nn,故 |37|an,n37,3.nn, nS|a記數(shù)列的前項和為. nn當(dāng)時，Sa,|4;當(dāng)時，Saa,，,|5; n,1n,211212當(dāng)時， n,3,，,，,，,5(337)(347)(37)？nSSaaa,，|？ nn234(2)2(37)311nn,，,2. 當(dāng)時，滿足此式.n,2,，,，510nn222 4,1,n,綜上， S,311n2nnn,，,10,1.,22 19(本小題滿分12分) ,BC,3ADBC,，,ACB45如圖1，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點,，,BDC90B，連接AB，沿將?折起，使(如圖2所示)( ADABD ABCD,(?)當(dāng)?shù)拈L為多少時，三棱錐的體積最大; BDABCD,(?)當(dāng)三棱錐的體積最大時，設(shè)點，分別為棱，的中點，試在BCACEM EN,BMN棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大小(CDNENBM A A M D B C . ? C D B E 圖2 圖1 第19題圖 考點分析:本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系，考察如何取到最值，用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值。同時考察直線與平面所成角。本題可用綜合法和空間向量法都可以。運用空間向量法對計算的要求要高些。 難易度:? 解析: CDx,3BDxx,(03)(?)解法1:在如圖1所示的?中，設(shè)，則(ABC ,ADBC,ADCDx,3，,ACB45由，知，?為等腰直角三角形，所以.ADC BDDCD:,ADBC,ADDC,由折起前知，折起后(如圖2)，且，ADBD, 11,，,BDC90所以平面(又，所以(于是BCDSBDCDxx,AD,(3),BCD22 1111 VADSxxxxxx,(3)(3)2(3)(3)ABCDBCD,33212312(3)(3)2xxx，,，,，,， ,1233，23xx,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立， x,1ABCD,故當(dāng)，即時, 三棱錐的體積最大( x,1BD,1 解法2: 111132同解法1，得( VADSxxxxxx,，(3)(3)(69)ABCDBCD,3326 113203,x令，由，且，解得(,x,1fxxxx()(69),，fxxx()(1)(3)0,62 ,當(dāng)時，;當(dāng)時，( x,(0,1)fx()0,x,(1,3)fx()0,所以當(dāng)時，取得最大值( fx()x,1ABCD,故當(dāng)時, 三棱錐的體積最大( BD,1 (?)解法1:以為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系(Dxyz,D ABCD,ADCD,2由(?)知，當(dāng)三棱錐的體積最大時，(BD,1 1于是可得，D(0,0,0)B(1,0,0)C(0,2,0)A(0,0,2)M(0,1,1)E(,1,0)2 ,且( BM,(1,1,1),1ENBM,設(shè)，則. 因為等價于，即ENBM,0N(0,0),EN(,1,0)2 1111，故，. ,，,N(0,0)(,1,0)(1,1,1)1022221ENBM,所以當(dāng)(即是的靠近點的一個四等分點)時，( NCDDN,D2 ,n,BN,1,設(shè)平面的一個法向量為，由 及，n,(,)xyzBMNBN,(1,0),2n,BM, yx,2,得 可取( n,(1,2,1),zx,.,11設(shè)與平面所成角的大小為，則由，n,(1,2,1)，可得EN,BMNEN,(,0) 221,|1|,nEN3,2,60，即( ,sincos(90)2,n|EN2，62,60.故與平面所成角的大小為 ENBMN z A A M M D N D N y C C B E E B x 圖a 圖b M G N D C H N E B E P B 圖d 圖c 第19題解答圖 ABCD,ADCD,2解法2:由(?)知，當(dāng)三棱錐的體積最大時，(BD,1 如圖b，取的中點，連結(jié)，則?.CDFMFBFEFMFAD 由(?)知平面，所以平面. BCDBCDAD,MF,如圖c，延長至P點使得，連，則四邊形為正方形，F(xiàn)EBPDPDBPFFPDB, 所以. 取的中點，連結(jié)，又為的中點，則?，NENENDFEFPDPDPBF, ENBF,MFEN,所以. 因為平面，又面，所以. BCDEN,BCDMF, MFBFF:,ENBM,又，所以面. 又面，所以.EN,BMFBM,BMF ENBM,ENBF,因為當(dāng)且僅當(dāng)，而點是唯一的，所以點是唯一的.N 1ENBM,即當(dāng)(即是的靠近點的一個四等分點)，( NCDDN,D2 5連接，由計算得， NBNMEBEM,MNME2所以?與?是兩個共底邊的全等的等腰三角形， NMBEMB如圖d所示，取的中點，連接， GEGNGBMEHGN,則平面(在平面中，過點作于，EGNEGNEHBM, 則平面(故是與平面所成的角( ENBMN，ENHBMNEH, 2在?中，易得，所以?是正三角形，EGNEGNEGGNNE,2 ,60.，,ENH60故，即與平面所成角的大小為 ENBMN 20(本小題滿分12分) 根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表:X,300300700,X700900,XX,900 降水量X 工期延誤天數(shù) Y0 2 6 10 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9. 求: (?)工期延誤天數(shù)的均值與方差; Y(?)在降水量X至少是的條件下，工期延誤不超過6天的概率. 300 考點分析:本題考察條件概率、離散型條件概率分布列的期望與方差。 難易度:? 解析: (?)由已知條件和概率的加法公式有: ，PX(300)0.3,PXPXPX(300700)(700)(300)0.70.30.4, . PXPXPX(700900)(900)(700)0.90.70.2,. PXPX(900)1(900)10.90.1,所以的分布列為: YY0 2 6 10 P0.3 0.4 0.2 0.1 于是，; EY()00.320.460.2100.13,，,2222.DY()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8,，,，,，,，, 故工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為. 9.8Y (?)由概率的加法公式， PXPX(300)1(300)0.7,，又. PXPXPX(300900)(900)(300)0.90.30.6, PX(300900)0.66, 由條件概率，得PYXPXX(6300)(900300),.PX(300)0.77, 6故在降水量X至少是mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 3007 21(本小題滿分13分) 22設(shè)是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 xy，,1xxllAAD軸的交點，點在直線上，且滿足. 當(dāng)點在圓上運|(0,1)DMmDAmm,且lMA動時，記點M的軌跡為曲線( C(?)求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標; CCQ(?)過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸kCyPPQN上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的mNCHk,0PQPH,，都有,若存在，求的值;若不存在，請說明理由. m 考點分析:本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，要求能正確理解橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，并能熟練運用代數(shù)方法解決幾何問題，對運算能力有較高要求。 難易度:? 解析: Mxy(,)(?)如圖1，設(shè)，Axy(,)，則由|(0,1)DMmDAmm,且，00 1xx,xx,可得，|ymy,，所以，. ?|yy,0000m 22因為點在單位圓上運動，所以. ?xy，,1A00 2y2將?式代入?式即得所求曲線的方程為. Cxmm，,1 (0,1)且2m ，所以 因為m,，,(0,1)(1,):01,m當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓， xC22兩焦點坐標分別為，; (1,0),m(1,0),m當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓， Cym,122兩焦點坐標分別為，. (0,1),m(0,1)m, (?)解法1:如圖2、3，設(shè)，則，Pxkx(,)Hxy(,)Qxkx(,),Nkx(0,),k01111221 直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得QNykxkx,，2C1 2222222. (4)40mkxkxxkxm，,11依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達定理可得 x,x21224kxmx11，即. ,，,xxx,2122222mk，4mk，422kmx1因為點H在直線QN上，所以ykxkx,2. 21222mk，422,42kxkmx11于是，PHxxykx,(,)(,). PQxkx,(2,2)2121112222mkmk，44 222,4(2),mkx1PQPH,0而PQPH,等價于， 22mk，4220,mm,2即，又，得， m,02y2m,2PQPH,故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有. x，,1k,02 y yy H A H N P P NM O D x x O x OQ Q (01),m圖2 (1)m,圖1 圖3 第21題解答圖 解法2:如圖2、3，,x(0,1)，設(shè)Pxy(,)，Hxy(,)，則Qxy(,),，Ny(0,)，11122111 2222,mxym，,11因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得CPH,2222mxym，,22 22222. ? mxxyy()()0,，,1212 依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，PHPH 故. 于是由?式可得 ()()0xxxx,，,1212()()yyyy,，21212. ? ,m()()xxxx,，12122yyy，112又，三點共線，所以kk,，即. Q,NHQNQHxxx，112 2yyyyyyy,，()()1m1121212kk,于是由?式可得.PQPHxxxxxxx,，2()()21121212 2mkk,1而等價于，即，又，得，m,2PQPH,1m,0PQPH2 2y2故存在m,2，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有. PQPH,x，,1k,02 22(本小題滿分14分) r01,r(?)已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的fx()fxrxxrx()(1)(0),，,r最小值; (?)試用(?)的結(jié)果證明如下命題: bb12設(shè)，為正有理數(shù). 若，則;bb,aaabab,，aa,0,0bb，,1121212121122 (?)請將(?)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.,1,注:當(dāng)為正有理數(shù)時，有求導(dǎo)公式. ,()xx,考點分析:本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，并結(jié)合推理，考察數(shù)學(xué)歸納法，對考生的歸納推理能力有較高要求。 難易程度:? rr,11,fx()0,解析:(?)fxrrxrx()(1),，令，解得. x,1,fx()0,fx()(0,1)當(dāng)時，所以在內(nèi)是減函數(shù); 01,x,fx()0,fx()(1,)，,當(dāng) 時，所以在內(nèi)是增