東北師范大學考試答案

研究生課程進修班試卷封面姓 名： 劉慶風 單位： 河南省扶溝縣韭園高級中學 專 業(yè)： 數(shù)學教育 考試科目： 現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學 考試分數(shù)： 2011年 12 月 26 日東北師范大學研究生課程進修班考試試卷評分表課程名稱現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學姓 名 劉慶風 單位 扶溝縣韭園高中專 業(yè) 數(shù)學教育 2011年12月26 日 題 號分 數(shù)簽 名12345678910總 分評閱教師簽字： 年 月 日現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學考試卷一、(10分) 對下列各式，判斷其對錯，或加以證明，或舉出反例（1） （2） 證明：（1）不正確。對，若非線性函數(shù)，如，則而所以（1）不正確（2）正確，證明如下：對二、（10分） 若函數(shù)在點可導，計算（1） （2） 解：(1) 三、（10分） 求一函數(shù)，其曲線過坐標原點且曲線上每一點切線斜率是該點橫坐標的2倍。 解：因為曲線上每一點切線的斜率是該店橫坐標的2倍， 所以且，（1） 式兩端積分得，又，四、（10分）證明：若，則 法證明：又，y=cosx,在區(qū)間（0，）單調(diào)遞減即，法 證明：設(shè)A() B() C()在區(qū)間（0，）大于0，在區(qū)間（，）小于0.y=sinx在區(qū)間（0，）任意點的切線的斜率大于。0，在區(qū)間（，）任意點的切線的斜率小于0. 當時，斜率增長的緩慢，而=KAB , =KBC顯然KAB小于KBC當時，=KAB 大于0，=KBC小于0.五、（10分）求頂點在坐標原點的錐面與平面所圍成的錐體的體積。解：所成圓錐地面為橢圓，其面積為,所以所圍椎體的體積 六、（10分） 甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次數(shù)多的概率。解：七、（10分） 要研究某種物質(zhì)致癌性質(zhì)，用小白鼠做試驗。假定把50只小白鼠隨機地分成10組，每組5只，對每只小白鼠注射該物質(zhì)，經(jīng)過一段時間后，觀察每組小白鼠患癌的個數(shù)，得到，則，這里就是這種物質(zhì)致癌的概率。試導出的最大似然估計值的計算公式。解：為樣本的一組觀測值，從而似然函數(shù)從而 令 得的最大似然估計值為：=， 的最大似然估計量為：=。八、（10分） 甲同學在他的盒子中放了200個玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告訴其他任何人），甲同學當眾宣布：他的這些球中黑球所占比例p=3%，乙同學從甲同學的盒子中任意取若干個球（比如：10個），觀察并記錄取到球的顏色。該實驗的結(jié)果有多種可能。（1）假如乙同學發(fā)現(xiàn)他任取的10個球中2個黑球，問此時乙同學能否相信甲同學的說法？（2）假如乙同學發(fā)現(xiàn)他任取的10個球沒有黑球，問此時乙同學對甲同學的說法又應做何反應？答：（1）此時乙同學不能相信甲同學的說法，因為按照甲的說法，出現(xiàn)黑球應為小概率事件，而小概率事件竟然發(fā)生了，說明甲說的不可信。（2）若沒有發(fā)現(xiàn)黑球，此時乙同學也不可完全相信甲同學的說法，因為所取樣本不完全合理。如果采用分組取樣，結(jié)果更有說服力。九、（10分） 用選主元素的Gauss消元法求解請指明消元、回代過程。解法1：記以下為回代過程法2. 解：原方程等價為：(6.1.1)如果從第二個方程中減去第一個方程的倍，再從第三個方程減去第一個方程的倍，則得等價方程組(6.1.2)其中第二、三個方程中變元已被消去了類似地，從方程組(6.1.2)的第三個方程中減去第二個方程的倍，即可消去(6.1.2)中第三個方程的變元，最后得到與(6.1.1)等價的如下方程組 (6.1.3)方程組(6.1.3)很容易求解,可按如下方式進行由(6.1.3)的第三個方程直接解出將其代入(6.1.3)的第二個方程可解出，最后將共同代入(6.1.3)的第一個方程解出將原方程組(6.