方差及常見分布的期望方差.ppt

下頁,1.離散型,2.連續(xù)型,3.Y= g(X),Z=g(X,Y),復(fù) 習(xí),二維離散型數(shù)學(xué)期望的計(jì)算: 分兩步進(jìn)行,下頁,1.離散型,2.連續(xù)型,Y= g(X),Z=g(X,Y),復(fù) 習(xí),Y= g(X),Z=g(X,Y),下頁,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(復(fù)習(xí)),性質(zhì)1 E（C）= C ； 其中C為常數(shù),性質(zhì)2 E（CX）= C E（X）,性質(zhì)3 E（X+Y）= E（X）+E（Y）,性質(zhì)4 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 E（XY）= E（X）E（Y）,推廣,（1）E（X1+X2+Xn）= E（X1）+E（X2）+E（Xn）,若X1，X2，Xn相互獨(dú)立， 則 E ( X1 X2 Xn）= E(X1) E(X2) E(Xn),（2）E（C1X1+C2X2+CnXn）= E(C1X1)+E(C2X2)+E(CnXn) = C1E (X1)+C2E(X2)+ + CnE(Xn),特別 E（E（X）= E（X）,4.2 方 差,0. 方差概念的引入,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)特征，反應(yīng)了隨機(jī)變量 取值的平均大小，但只知道隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是不夠的.,引例1：從甲、乙兩車床加工的零件中各取件，測得尺寸如下： 甲：8，9，10，11，12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知標(biāo)準(zhǔn)尺寸為10(cm),公差d=0.5cm, 問那一臺(tái)車床好？,以X甲 ，X乙分別表示甲、乙兩車床加工零件的長度. 易得：E(X甲) =E(X乙)10。 雖然甲乙車床加工零件的均值相等，但其零件的質(zhì)量有顯著 差異，甲加工的零件只有件合格，乙加工全合格.,考慮 E(|X-E(X)|) EX-E(X)2,下頁,引例2有甲、乙兩人射擊，他們的射擊技術(shù)用下表給出.X表示甲擊中環(huán)數(shù)，Y表示乙擊中環(huán)數(shù)，誰的射擊水平高？,解：,=9.2(環(huán)),=9.2(環(huán)),因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲乙兩人的射擊水平是一樣的，但兩人射擊水平的穩(wěn)定性是有差別的。,這表明乙的射擊水平比較穩(wěn)定.,下頁,偏離期望平方的期望,定義 設(shè)X是隨機(jī)變量，如果EXE(X)2存在，則稱EX-E（X）2為X的方差，記為D(X)即,1. 方差的概念,并稱 為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差記為(X) 。,D(X)=EXE(X)2,下頁,2. 方差的實(shí)際意義,隨機(jī)變量X的方差反映出X的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度若 較小，則X取值比較集中，否則，X取值比較分散因此，方差 是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量(波動(dòng)性大小),其中PX=xk=pk k=1,2,3,.,連續(xù)型隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量,3.方差的計(jì)算,4. 方差計(jì)算公式,公式,下頁,= E(X2) - E(X)2,4. 方差計(jì)算公式,公式,證明：,D（X）= EX - E(X)2,= EX2 - 2XE(X)+ E(X)2,= E(X2) - 2E(X)E(X)+ E(X)2,例1設(shè)隨機(jī)變量 X（0-1）分布，其概率分布為 PX=1= p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求D(X),解：因 E(X)= p， 而 E(X 2)= 12p + 02q = p，,于是 D(X)= E（X 2）- E（X）2,= p - p2 = p q,下頁,例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度, 求D(X).,所以,解：,下頁,或,例3.,解：,下頁,因?yàn)?從而,下頁,5. 常見分布的期望與方差,1) 0 -1分布 概率分布為,E（X）= 1 p + 0 (1-p) = p,2) 二項(xiàng)分布 設(shè)隨機(jī)變量XB（n，p），其概率分布為:,D（X）= E(X2)-E(X)2= p-p2 = p(1-p) = pq,下頁,2) 二項(xiàng)分布 設(shè)隨機(jī)變量XB（n，p），其概率分布為:,D（X）=E（X2）- E（X）2,所以 D（X）=E（X2）- E（X）2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq,下頁,5. 常見分布的期望與方差,3) 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量X （），其概率分布為：,，k = 0,1,2,3,0,下頁,5. 常見分布的期望與方差,3) 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量X P（），其概率分布為：,，k = 0,1,2,3,0,D（X）=E（X2）- E（X）2,因此, D（X）= E（X2）- E（X）2 =2 +-2 =,下頁,超幾何分布 略,4) 均勻分布 設(shè)X Ua,b 概率密度為：,5. 常見分布的期望與方差,下頁,5) 指數(shù)分布 設(shè)X E() 概率密度為：,5. 常見分布的期望與方差,故，,下頁,，（x+),令,6) 正態(tài)分布 設(shè)XN（,2）概率密度為：,5. 常見分布的期望與方差,下頁,其中第一項(xiàng)為奇函數(shù),，（x+),6) 正態(tài)分布 設(shè)XN（,2）概率密度為：,5. 常見分布的期望與方差,下頁,分步積分法,6. 方差的性質(zhì),性質(zhì)1 D(C)= 0,性質(zhì)2 D(CX)= C 2 D(X),性質(zhì)3 D(X+C)= D(X)，D(aX+b)= a2 D(X),性質(zhì)4 若X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 D(X+Y)= D(X)+D(Y),性質(zhì)5 D(X）= 0 的充要條件是P X = E(X) =1,推廣 若X1,X2,Xn相互獨(dú)立，則D(X1+X2+Xn) =,方差的性質(zhì) （下設(shè)a，b，C均為常數(shù)）,下頁,練習(xí)：,若X1,X2,X3相互獨(dú)立，期望分別為9，10，12；方差分別為 2，1，4，求Y = 2 X1+3X2+X3 的期望和方差。,60,21,證明：(2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X),(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X),而 EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y),= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),= E(XY)- E(X)E(Y),由于 X,Y相互獨(dú)立，故有 E(XY)= E(X)E(Y),從而有 EXE(X)YE(Y)= 0,(4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2 = EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y),，于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y),練習(xí)：若X，Y相互獨(dú)立，證明 D（X-Y）= D（X）+D（Y）,下頁,此處接著引入?yún)f(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念P87-89,D（X）=D（X1+X2+Xn）,令,i=1,2,n,顯然 Xi 均服從（0-1）分布, 即 E（Xi）= p, D(Xi) = pq （i =1，2，n）,且 X1，X2，Xn相互獨(dú)立。,于是 E（X）= E（X1+X2+Xn）,= E（X1）+E（X2）+E（Xn）= np,=D（X1）+D（X2）+D（Xn）= npq,解：,則 X= X1+X2+Xn,（注意：以上是新方法的立意和核心?。?例4在 n 重貝努里試驗(yàn)中，用 X 表示 n 次試驗(yàn)中事件A 發(fā)生的次數(shù)，記P(A)= p，求E(X)，D(X) 本題旨在給出一種新的解題方法,下頁,例5設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望E（X）和方差D（X ）都存在，則稱,為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，試求 和,下頁,小 結(jié),D（X）=EX-E（X）2,1.方差的定義與計(jì)算,3.常見分布的期望與方差,2.D(X)的性質(zhì)(),下頁,下頁,練 習(xí),1.設(shè)X表示獨(dú)立射擊目標(biāo)10次所擊中目標(biāo)的次數(shù)，每次擊中的概率 為0.4則 E(X2)=( ),2.隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則 E(X+e-2X)= ( ).,3.隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且XN（1，2），YN（0，1）,則 Z=2X