《數(shù)學(xué)概念的教學(xué)》PPT課件.ppt

2 概 念 的 教 學(xué),學(xué)以致用！,一、數(shù)學(xué)概念的綜合介紹： 數(shù)學(xué)中的概念有些是定義的，如方程、對數(shù)、函數(shù)；有些是 不定義的（原始概念），只加以直接描述，如點(diǎn)、線、面、集合 等；有些既不定義也不描述，而作為常識應(yīng)用，如無限延伸、旋 轉(zhuǎn)等。由于各個概念的具體內(nèi)容和它在教學(xué)中的地位與作用的不 同，有的概念簡單，有的概念復(fù)雜，有的直觀易懂，有的抽象不 易接受，有些概念之間存在著一定聯(lián)系，有些不同概念則容易混 淆，而且概念也有主要與次要，關(guān)鍵與一般之分。因此，對各個 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體要求也有所不同。教學(xué)時對于不同的概念應(yīng) 采用不同的教學(xué)方法，靈活多變地引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念。, 2 概 念 的 教 學(xué),二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的缺憾： 當(dāng)前，不重視章節(jié)起始課的教學(xué)，概念教學(xué)走過場，以解題 教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比較普遍在方式上以“告訴”為主， 讓學(xué)生“占有”新概念，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給 學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會，使學(xué)生思維呈現(xiàn)依賴 性，更令人擔(dān)憂的是，有些老師不知如何教概念 有的老師可以把解題講得頭頭是道，但概念教學(xué)就沒詞、 沒招了我們認(rèn)為，概念再多也不能成為“講起來枯燥乏味”的 理由讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動是使概念課生動活 潑、優(yōu)質(zhì)高效的關(guān)鍵這就要求我們一方面充分利用新舊知識 蘊(yùn)含的矛盾，激發(fā)認(rèn)知沖突，把學(xué)生卷入其中；另一方面要讓 學(xué)生有參與的時間與機(jī)會，特別是有思維的實質(zhì)性參與,1）重形式定義，輕意象表征 意象表征就是概念經(jīng)過個人情感加工后在大腦中的呈現(xiàn)方 式，比如提到“函數(shù)”的概念，呈現(xiàn)在學(xué)生大腦中的一定是一 些函數(shù)的解析式而不是“象”“原象”等抽象的東西，因此教學(xué)中， 我們在使用抽象的數(shù)學(xué)語言和符號表述新概念、新思想之前!應(yīng) 通過可觀察的實物、圖形、圖表等描述性的、可親自體驗的形 式來為新概念作準(zhǔn)備!從而引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣! 用他們自己的 語言去闡述和解釋!以達(dá)到對概念的真正的理解。,2）重概念的語意分析，輕概念的形成過程 “一個定義，幾項注意”是通用的教學(xué)方式 3）停留在單一概念的層面上 缺少將概念納入概念體系的環(huán)節(jié)，不能從比較相關(guān)概念 中明確和鞏固概念。 4）缺少概念理解的層次觀 不分主次、不分輕重，所有概念都一樣的教學(xué)模式，一 樣的精力投入。,三、如何進(jìn)行概念教學(xué)？（概念課最難講） 如果是小概念，多舉例子說清即可，如果是大概念 則要通過引入形成理解鞏固四個步驟才能完成！ 在中學(xué)，大概念主要有： 數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、絕對值、算術(shù)（平方）根、代數(shù)式、同 類項、相似形、平行四邊形、梯形、方差、函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、命 題四種形式、對數(shù)、充要條件、三角函數(shù)、棱柱、二面角的平面 角、三視圖、軌跡方程、橢圓、雙曲線、拋物線、向量、向量的 數(shù)量積、排列組合、概率、古典概型、幾何概型、直方圖、導(dǎo) 數(shù)、平均變化率、程序框圖等。,1、概念的引入 創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生感受體驗數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程， 這是新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的一個要求! 引入概念的教學(xué)過程，是揭 示概念發(fā)生、形成的過程，為此，教師應(yīng)該提供豐富的背景資 料(如實物、模型、教具等)或具體實例，提供一些有利于學(xué)生自 主學(xué)習(xí)、探究活動的問題，讓學(xué)生親身參與和主動構(gòu)建，使學(xué) 生經(jīng)歷概念的發(fā)生和形成過程，從而歸納或概括出概念的本 質(zhì),1）從實例、實物、操作引入 例1：直角坐標(biāo)系的引入： 老師要求學(xué)生把課桌全部并攏，以某同學(xué)為原點(diǎn)拉兩根帶箭 頭的繩子，繩子上挽些結(jié)，標(biāo)上數(shù)字，讓每個人將自己的位置 用兩個數(shù)表示出來，引入坐標(biāo)的概念。 接著喊：“坐標(biāo)為（5，8)的同學(xué)站起來!” “縱坐標(biāo)為2的同學(xué)站起來!” “x=3的同學(xué)站起來!” “y=x的同學(xué)站起來!”等，課堂相當(dāng)活躍。,2）從需要引入：實際需要和數(shù)學(xué)本身的需要 例2：數(shù)軸的引入： 方式1：用溫度計引出數(shù)軸，這是我們常見的做法，道理很 簡單：溫度計完全具備數(shù)軸的三要素，它又是常見的生活需要 的用具，學(xué)生熟悉易懂! 但有缺憾：學(xué)生會想你是怎樣想到按溫度計的方法畫數(shù)軸 的？另外，溫度計已十分完整，學(xué)生無需任何思維只需模仿即 可!事實上，溫度計的發(fā)明要比數(shù)軸晚許多，數(shù)學(xué)家根本不是看 到了溫度計后才想到數(shù)軸的! 所以就有了： 方式2：對比日常生活與數(shù)學(xué)內(nèi)在的需要來引入：,“同學(xué)們：我們剛學(xué)了有理數(shù)，它有正數(shù)、負(fù)數(shù)與零，有許多 許多的數(shù)，有點(diǎn)亂糟糟的，怎樣整理一下呢？” “同學(xué)們上體育課時，老師都叫同學(xué)們排隊，這不是一種整理 嗎！大家試著排排！” 學(xué)生依照排隊進(jìn)行操作，先畫一條直線，把數(shù)放在直線上， 學(xué)生都把非負(fù)數(shù)先放，整理好非負(fù)數(shù)后，就產(chǎn)生了問題：負(fù)數(shù)怎 樣整理呢？如“-1”放在哪里？經(jīng)過一番激烈的討論，反復(fù)的嘗 試，負(fù)數(shù)也整理好了，這樣數(shù)軸就產(chǎn)生了! 以“排隊”這個日常生活中的事例引入，經(jīng)過交流討論、嘗 試探索，得出數(shù)軸的概念，而溫度計只作為數(shù)軸的一個應(yīng)用!這 樣的引入合理、自然，學(xué)生們覺得數(shù)軸是他們自己創(chuàng)建的，人人 喜形于色，這種“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)，教學(xué)效果更好!,3）以舊引新： 例3：極坐標(biāo)系概念的引入 師：前面學(xué)過的平面直角坐標(biāo)系給我們研究直線、圓錐曲線 等幾何問題帶來了很多方便。也給我們的生活帶來了很多方 便。如一張電影票，只要標(biāo)上幾排幾座，就能在偌大的電影院 里找到唯一的座位。 生：點(diǎn)頭表示同意 (進(jìn)入回憶狀態(tài)，并踏上老師預(yù)設(shè)的軌道！) 師：但若有人向你問路，你對他說：“把你自己的位置作為 點(diǎn)(5，3)，你只要走到點(diǎn)(8，8)就可以了。 生：(愕然，笑)不可能這么答! (進(jìn)入情境，認(rèn)知沖突被激起!),師：類似的問題還有；炮兵問連長炮彈該往哪兒打?連長 說：“向北500m，再拐個彎向東1000m！” 生：(大笑) 至此，平面直角坐標(biāo)系的“短處”已被揭出，如何拓展知 識的結(jié)構(gòu)成了學(xué)生迫切需要解決的同題，于是學(xué)生開始探究各 種可能的回答問路的方式，并從中歸納出共同的也是最本質(zhì)的 屬性距離與方向，從而形成極坐標(biāo)系的概念。,4）類比引入： 例4：雙曲線的引入 （1）復(fù)習(xí)橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等 于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。 （2）設(shè)疑：從橢圓的定義中“和”字，你能聯(lián)想到什么？學(xué) 生聯(lián)想到“差”，于是得出新問題：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2 的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線？這里的常數(shù)要滿 足什么條件？學(xué)生經(jīng)過思考、討論后得出：常數(shù)滿足的條件是 小于|F1、F2|（因為三角形兩邊之差小于第三邊）。,2、概念的形成（重點(diǎn)） 概念的形成過程充滿矛盾沖突，這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣 的內(nèi)在條件比如，考察司空見慣的“量”，有的“只有大小沒 有方向”，有的“既有大小又有方向”，在比較中就產(chǎn)生了區(qū)別 的需要，這就是向量概念的生長點(diǎn)與人出生后要起名字一 樣，我們要給新的數(shù)學(xué)對象命名，并且要與它的本質(zhì)相吻 合，要區(qū)別于其它概念，“方向”就成了區(qū)別的標(biāo)準(zhǔn)，沒有“方 向”的叫數(shù)量，有“方向”的叫向量，概念的產(chǎn)生自然而然 形成過程： 觀察實例分析共同屬性抽象本質(zhì)屬性 概括定義具體應(yīng)用（可借助多媒體?。?概念抽象需要典型實例誰來找例子?教師自作自畫，自己 舉例、概括，自己給定義，就可能枯燥乏味比如，告訴學(xué)生 什么叫平行向量、相等向量、相反向量等，學(xué)生被動聽，沒有 參與機(jī)會，不僅枯燥乏味，而且會使學(xué)生理解不透如果讓學(xué) 生舉例，要求盡量舉不同的例，就會迫使他們開動腦子，就有 可能舉出不同的、有趣的例，就會百花齊放這樣，生動活潑 的場面自然形成，而且在舉例過程中，有獨(dú)立思考、合作交 流，甚至有爭辯，這就形成了促進(jìn)概念理解的機(jī)制讓學(xué)生舉 例可以促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與，因為好例子需要以理解概念 的本質(zhì)屬性為基礎(chǔ)實際上，概念教學(xué)中的“參與”，其關(guān)鍵是 參與從典型實例中概括概念本質(zhì)特征的活動,案例：關(guān)于“函數(shù)單調(diào)性”的自然形成教學(xué)實錄 師：今天我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性(板書課題)， 其實函數(shù)的單調(diào)性在初中已經(jīng)學(xué)過了! 生：沒有吧? 師：沒有?在初中不是學(xué)過形如“y=2x+3”這樣的函數(shù)嗎? 生：一次函數(shù)!學(xué)過 師：它具有什么性質(zhì)? 生：y隨x的增大而增大,師：很好!其實“Y隨x的增大而增大”就是函數(shù)y=2x+3具有的單調(diào) 性，只不過這種說法太“土氣”了!能不能像前面學(xué)過的“集合” 那樣用數(shù)學(xué)語言來描述“Y隨x的增大而增大”? (學(xué)生一臉茫然!課室一片安靜，大約1分鐘后) 師：還是從函數(shù) y=2x+3 的圖象去看一看吧! (老師畫出函數(shù) y=2x+3 的圖象) “從圖上看y隨x的增大而增大”實質(zhì)上是什么意思? 生1：知道了，從左往右看。Y=2x+3的圖象是上升的! 生2：函數(shù) Y=2x+3 的圖象左低右高!,師：很好!生1、生2的說法差不多，但什么地方算是左? 什么地方算是右? 生：在圖象上取兩個點(diǎn)，左邊的點(diǎn)比右邊的點(diǎn)低! 師：不錯!但如果只取兩個點(diǎn)，左邊的點(diǎn)比右邊的點(diǎn)低，能否說 圖象就是上升的?(老師畫圖舉出反例) 生：不能!應(yīng)該任意取兩點(diǎn)都有左邊的點(diǎn)都比右邊的點(diǎn)低，才能 說明圖象是上升的 師：太好了!那么左邊的點(diǎn)和右邊的點(diǎn)能否用數(shù)學(xué)語言表示出來? 生：可以!設(shè)左邊的點(diǎn)為P1(x1，y1)，右邊的點(diǎn)為P2(x2，Y2),師：很好!又如何表示左邊的點(diǎn)比右邊的點(diǎn)低? 生：即：當(dāng)x1X2時，有Y1Y2 師：好極了!現(xiàn)在把前面的討論聯(lián)系起來就是說：在函數(shù)y=2x+3 的圖象上任取兩點(diǎn)P1(x1，y1)，右邊的點(diǎn)為P2(x2，Y2)， 當(dāng)x1X2時，有Y1Y2則函數(shù)y=2x+3的圖象是上升的，即Y隨 x的增大而增大 那對一般函數(shù)來說，怎樣判定Y是否隨x的增大而增大呢? 生：任取x1、X2 ，若x1X2 時，有f(x1)f(x2)，則函數(shù)f(x)就是 隨x的增大而增大 師：很好!我們把這樣的函數(shù)稱為增函數(shù)，請大家看書,反思與簡評: “增函數(shù)”這一概念的傳統(tǒng)形成途徑一般是：“圖形語言(從 左往右看圖象是上升的)自然語言(y隨x的增大而增大) 數(shù)學(xué)語言(課本定義）增函數(shù)”，其中由“自然語言”到 “數(shù)學(xué)語言”，學(xué)生感到比較抽象，似懂非懂，不太自然而在 上述形成過程中。從學(xué)生熟知的一次函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，由“自 然語言(y隨x的增大而增大）圖形語言(圖象上左邊的點(diǎn)比 右邊的點(diǎn)低)數(shù)學(xué)語言增函數(shù)”，這種形成途徑則自然 多了，尤其是左邊的點(diǎn)比右邊的點(diǎn)低的數(shù)學(xué)刻畫，直觀自然， 通俗易懂不僅如此，還讓學(xué)生體驗到了“增函數(shù)”這一概念的 概括全過程，這也是概念教學(xué)的關(guān)鍵所在,3、概念的理解 初步形成概念后，就要給概念用最簡潔、準(zhǔn)確、嚴(yán)密的科 學(xué)語言下定義和符號表示，對這些東西的理解，也是難點(diǎn)。 理解的內(nèi)容包括： 1）定義、種概念、屬差（不提種概念等新詞） 把新概念的定義平鋪直敘地講給學(xué)生，會淡化學(xué)生的求 知欲望。讓學(xué)生親自參與到新概念下定義的過程中，不但會 激發(fā)學(xué)生的學(xué)生興趣，而且還培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力。 在饒有興趣的問題中環(huán)游，使學(xué)生明確了概念的定義，這是 一種有意義的學(xué)習(xí)新概念的方法。,【案例】：“直線的傾斜角” 引入時以比薩斜塔為例，塔的傾斜程度是相對于地面而言， 那直線的傾斜角應(yīng)是直線相對于X軸的傾斜程度而言，直覺思維 使學(xué)生首先想到：“直線與X軸的夾角就是直線的傾斜角”。 第一步：教師出示圖l反駁學(xué)生，僅僅 “取直線與X軸的夾角”不行，因為圖1中兩條 直線與X軸的夾角都為30。，但這兩條直線的傾斜方向不同。 第二步：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，考慮 到“取直線向上的方向與X軸正向所成的角”。 圖2說明兩者所成的角有無窮多個，反映不了 直線相對于x軸的傾斜程度。,第三步，經(jīng)過冷靜地思考后，學(xué)生會得到“直線向上的方 向與x軸所成的最小正角”是惟一的，它能夠作為直線傾斜角 的定義。 對比發(fā)現(xiàn)，把“直線傾斜角”的定義直接敘述給學(xué)生，課 后善于思考的學(xué)生會問老師“為什么要這樣定義?”不善思考的 學(xué)生也只是機(jī)械的背會了這個定義，并不明白它的真正內(nèi) 涵。讓學(xué)生親自參與到下定義的過程中，學(xué)生不但獲得了知 識而且思維也得到了進(jìn)一步的提高，由開始的直覺思維上升 到最后嚴(yán)格的邏輯思維，教師因勢利導(dǎo)，層層深入，學(xué)生一 步一步邁向新概念的大門。,2）內(nèi)涵：字斟句酌，特別關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)概念有的敘述十分簡練, 寓意深刻; 有的用符號、式 子表示, 比較抽象。對于這些概念, 教師必須抓住概念中的關(guān) 鍵詞句進(jìn)行解剖分析, 揭示每一個詞、句、符號、式子的含義, 使學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)屬性。 數(shù)學(xué)中有許多概念是平行相關(guān)的概念, 將它們有機(jī)地聯(lián)系 在一起進(jìn)行類比, 就可以收到由此及彼、溫故知新的效果。有 些概念之間, 聯(lián)系緊密, 種差較小, 形式相似, 容易被學(xué)生混 淆。要讓學(xué)生比較它們的內(nèi)涵和外延, 在比較中加以鑒別。 數(shù)學(xué)概念通常是經(jīng)過多層次的抽象而得來的, 對這些比較 抽象的概念, 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將概念具體化、形象化, 借助于直觀 圖形, 使抽象的數(shù)學(xué)概念成為看得見摸得著的事物。,3）表示法（符號）、圖 對于一些抽象難懂的概念、符號，采用比喻來解釋說明 是一個好辦法，善于運(yùn)用比喻化深奧為淺易，并增添趣味， 一個恰當(dāng)?shù)谋扔鲃龠^十遍的重復(fù)說教。 如：函數(shù)并不因其表達(dá)的字母不同而改變，y=2x+l，(xR) 與u=2v+l(vR)是同一個函數(shù)。學(xué)生對這一點(diǎn)不好理解，可 以看作一個人并不因為衣著的不同而改變。f(x)、f(x0)難以 區(qū)別，拿f(X)好比全班每