函數(shù)的積分學及其應(yīng)用(2).ppt

第一章 一元函數(shù)的積分學及其應(yīng)用,第一節(jié) 一元函數(shù)的積分 第二節(jié) 積分的應(yīng)用,第一節(jié) 一元函數(shù)的積分,一、不定積分 二、定積分 三、廣義積分,一、不定積分,1. 不定積分的概念和性質(zhì),定義1 設(shè)函數(shù)f 與F 在區(qū)間I上有定義，若 則稱F為f 在區(qū)間I上的一個原函數(shù),問題： （1）什么條件下，一個函數(shù)的原函數(shù)存在？,( 2 )如果f (x)有原函數(shù)，一共有多少個？,( 3 )任意兩個原函數(shù)之間有什么關(guān)系？,1)原函數(shù)與不定積分的概念,被積表達式,定理1（原函數(shù)存在定理） 如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間上連續(xù)，那么f（x）在該區(qū)間上一定存在原函數(shù). 簡單理解：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù),定理2 如果函數(shù)F（x）是函數(shù)f（x）的一個原函數(shù)，則F（x）+C（C為任意數(shù)）是f（x）的全部原函數(shù).,如果F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則F（x）所對應(yīng)的曲線稱為函數(shù)f（x）的一條積分曲線，將這條積分曲線沿軸方向上下任意平行移動，就得到F（x）+C，即為積分曲線族在每一條積分曲線上作橫坐標相同的點處的切線，這些切線都是相互平行的 f（x）的不定積分的幾何意義就表示相互平行的積分曲線族這些積分曲線在橫坐標相同的點x處的切線相互平行,2)不定積分的幾何意義,性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) 及 的原函數(shù)存在，則,性質(zhì)2 設(shè)函數(shù) 的原函數(shù)存在， 為非零常數(shù)，則,性質(zhì)3,性質(zhì)4,3)不定積分的性質(zhì),2. 不定積分直接積分法,不定積分的基本公式,利用不定積分的運算性質(zhì)和積分基本公式， 直接求出不定積分的方法。關(guān)鍵在于對被積函數(shù) 進行恒等變形,直接積分法,3. 不定積分的換元積分法,說明,使用此公式的關(guān)鍵在于將,化為,觀察重點不同，所得結(jié)論不同.,1)第一類換元積分法（湊微分法）,（湊微分）,2)第二類換元積分法（變量代換法）,例1 求,解,令,例2 求,解,令,說明,以上幾例所使用的均為三角代換.,三角代換的目的是化掉根式.,一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有,可令,可令,可令,常用的基本公式表,4. 不定積分的分部積分法,問題,解決思路,利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.,分部積分公式,例2 求積分,解,注意循環(huán)形式,5. 簡單有理函數(shù)的積分法,兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).,其中 都是非負整數(shù)； 及 都是實數(shù)，并且 .,假定分子與分母之間沒有公因式,這有理函數(shù)是真分式；,這有理函數(shù)是假分式；,利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.,1)簡單分式的積分法,2)化有理真分式為簡單分式,3)有理函數(shù)的積分法,二、定積分,1.定積分的概念和性質(zhì),曲邊梯形 設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a, b上非負、連續(xù). 由直線xa、xb、y0及曲線yf (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊.,1）定積分問題舉例,觀察與思考,在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形, 當小矩形的寬度減少時, 小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?,怎樣求曲邊梯形的面積？,在小區(qū)間xi1, xi上任取一點xi (i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn;,記Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n),ax0x1x2 xn1xnb;,在區(qū)間a, b內(nèi)任取分點:,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù).,若當0時, 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間 a, b的分法和xi的取法無關(guān), 則此極限稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上,的定積分, 記為,即,2）定積分的概念,定積分各部分的名稱 積分符號, f(x) 被積函數(shù), f(x)dx 被積表達式, x 積分變量, a 積分下限, b 積分上限, a, b積分區(qū)間，,積分和.,函數(shù)的可積性 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分存在, 則稱f(x)在區(qū)間a, b上可積.,定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限個間斷點, 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積.,定積分的定義,3)一般地, f(x)在a, b上的定積分表示介于x軸、曲線yf(x)及直線xa、xb之間的各部分面積的代數(shù)和.,1）當f(x)0時, 定積分 在幾何上表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與y=0 所圍成的封閉圖形的面積.,2）當f(x)0時, 定積分 在幾何上表示曲邊梯形面積的負值.,3）定積分的幾何意義,性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,性質(zhì)4,性質(zhì)5,如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則,(,a,b,),.,1）定積分問題舉例,推論,如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 則,性質(zhì)6,設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及 最小值 則,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連 續(xù) 則在積分區(qū)間a b上至少存在一個點x 使下式成立,性質(zhì)7(定積分中值定理),積分中值公式,2. 牛頓-萊布尼茨公式,1）變上限積分函數(shù),2）積分上限函數(shù)的導數(shù),(1)定理1 若 在 上連續(xù)，則積分 上限函數(shù) 在 上具有導 數(shù)，且它的導數(shù) .,證,即：,此定理一方面說明了連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，另一方面也說明了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，從而可能用原函數(shù)來計算定積分.,(2)定理2 若函數(shù) 在 上連續(xù)，則積 分上限函數(shù) 是 在區(qū)間 上的一個原函數(shù).,證:,根據(jù)定理 1,故,因此,得,定理3,函數(shù) ,則,3）牛頓-萊布尼茨公式,3. 定積分的積分方法,1）定積分的換元積分法,2）定積分的分部積分法,三、廣義積分,1. 無限區(qū)間上的廣義積分,此時也稱廣義積分 存在或收斂；如果極限 不存在，就稱廣義積分 不存在或發(fā)散。,類似的，可以定義 在區(qū)間 及 上的廣義積分。,注 廣義積分 收斂的充分必要條件是上式右端的兩個廣義積分都收斂，若兩個積分之一發(fā)散，則左端的廣義積分發(fā)散。