水利工程論文-混流式水輪機(jī)葉片自由曲面的延展.doc

水利工程論文-混流式水輪機(jī)葉片自由曲面的延展摘要：傳統(tǒng)的木模圖法在表示水輪機(jī)葉片時(shí)存在表示葉片不完整和無(wú)法引入計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)及制造的不足，為此本文提出了基于最小二乘法的非均勻有理B樣條曲線曲面延展法，解決了混流式水輪機(jī)葉片空間曲面的小區(qū)域延展問(wèn)題。同時(shí)結(jié)合水輪機(jī)葉片形狀特點(diǎn)，利用自由曲面和解析曲面的求交法確定了葉片的延展邊界，實(shí)現(xiàn)了葉片曲面的整體造型。論文最后算例分析表明，該方法能夠得到精度較高的延展曲面，同時(shí)算法穩(wěn)定可靠。關(guān)鍵詞：延展求交擬合自由曲面水輪機(jī)葉片混流式水輪機(jī)葉片是一個(gè)復(fù)雜的空間扭曲面，長(zhǎng)期以來(lái)，工程上采用木模圖來(lái)表達(dá)水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪葉片、控制葉片的加工精度和測(cè)量精度。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的應(yīng)用和發(fā)展這種空間扭曲葉片的木模圖能夠較好的滿足傳統(tǒng)的工藝制作及放樣，然而在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和制造技術(shù)廣泛應(yīng)用的今天，木模圖的不足凸現(xiàn)出來(lái)1,2。首先木模圖直接面對(duì)加工制造，無(wú)法應(yīng)用于研究分析整個(gè)葉片的幾何特點(diǎn)和力學(xué)特性；再者無(wú)法直接把木模圖引入計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和制造系統(tǒng)，這大大影響葉片的設(shè)計(jì)和制造質(zhì)量。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，這種采用木模圖來(lái)表達(dá)水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪葉片的方法已經(jīng)逐漸不能滿足當(dāng)今市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的需要。隨著自由曲面造型技術(shù)的發(fā)展，此項(xiàng)技術(shù)應(yīng)用于水輪機(jī)葉片的曲面造型初步解決了水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪葉片的表示問(wèn)題。此項(xiàng)技術(shù)利用已知型B樣條曲線曲面，進(jìn)而擬合得到葉片的空間表達(dá)方程。這種方法存在一個(gè)不足1,3,4,5，即非均勻有理B樣條曲線曲面無(wú)法定義型值點(diǎn)區(qū)域外的圖形，對(duì)混流式水輪機(jī)葉片的進(jìn)行曲面造型時(shí)表現(xiàn)為無(wú)法擬合0-0斷面和上冠之間區(qū)域的曲面形狀。這就引出了非均勻有理B1基于最小二乘法的非均勻有理B樣條曲線曲面延展法1.1延展問(wèn)題的已知條件現(xiàn)在通用的木模圖在表示水輪機(jī)葉片時(shí)一般給出等z面的(x,y)數(shù)據(jù)6。如圖1所示，由圖可以看出，在0-0斷面以上只有一個(gè)已知型值點(diǎn)，即進(jìn)水邊與上冠的交點(diǎn)，有時(shí)甚至還沒(méi)有表示出這個(gè)點(diǎn)；同樣在16-16斷面以下也只有一個(gè)已知型值點(diǎn)，即出水邊與下環(huán)的交點(diǎn)，有時(shí)甚至還沒(méi)有表示出這個(gè)點(diǎn)。在這種情況下如果要得到0-0斷面以上和16-16斷面以下的葉片型值點(diǎn)則只能采用延展的方法。還有在整體擬合葉能會(huì)出現(xiàn)畸變結(jié)果，如圖2所示，由圖可以看出兩點(diǎn)，首先葉片不完整，葉片將不能和上冠相交；另外擬合得到的葉片的空間幾何形狀與實(shí)際形狀產(chǎn)生嚴(yán)重偏差，出水邊與上冠和葉片的交線混為一體，造型失敗。這問(wèn)題的解決也有賴于采用延展方法來(lái)確定曲面邊界，即進(jìn)水邊、葉片與下環(huán)的交線、出水邊、葉片與上冠的交線4條空間曲線。圖1溫柔流式水輪機(jī)葉片木模圖2擬合得到的葉片的空間幾何形狀(左邊為主視圖，右邊為側(cè)視圖)1.2延展問(wèn)題的解決方案然而如何延展立即成為問(wèn)題，因?yàn)橛蒒urbs曲線和曲面的定義可以看到，由于其只在起點(diǎn)和末點(diǎn)之間有定義，在起點(diǎn)和末點(diǎn)之外根本沒(méi)有定義，這使得只能采用另外的途徑來(lái)延展Nurbs曲線和曲面7。結(jié)合水輪機(jī)葉片的特點(diǎn)，即在小范圍內(nèi)曲線和曲面曲率變化不大，本文采用最小二乘法擬合曲面和曲線端部，得到擬合方程后應(yīng)用此方程進(jìn)行延展端部得到新的端點(diǎn)，再有新的端點(diǎn)和原有的Nurbs曲線型值點(diǎn)構(gòu)成新的Nurbs曲線型值點(diǎn)，進(jìn)而得到延展曲線和擬合曲面。1.3最小二乘法擬合原理在某一特定函數(shù)類(x)(例如多項(xiàng)式)中找到一個(gè)函數(shù)F(x)作為y=f(x)的近似函數(shù)，使得在x上的按照某種標(biāo)準(zhǔn)誤差最小，這就是擬合問(wèn)題。記向量e=0，1,mT，要求殘差i按照2-范數(shù)的平方為標(biāo)準(zhǔn)最小，即要求e22最小，這種方法稱之為最小二乘法擬合法8。用最小二乘法擬合曲線時(shí)，必須先選擇函數(shù)類，即確定函數(shù)F(x)的形式。這與所討論問(wèn)題的專門知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)有關(guān)。在本文中，結(jié)合水輪機(jī)葉片空間幾何形狀特點(diǎn)即在小范圍內(nèi)曲線和曲面曲率變化不大和整體Nurbs擬合標(biāo)準(zhǔn)即要求擬合曲面在任意點(diǎn)三次連續(xù)可導(dǎo)，因此使用三次多項(xiàng)式擬合。具體算法如下：對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,N,尋求作三次多項(xiàng)式(N3)(1)使得總誤差(2)為最小。由于Q可以看作關(guān)于aj(j=0,1,2,3)的多元函數(shù)，故上述擬合多項(xiàng)式的構(gòu)造問(wèn)題可以歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問(wèn)題。令(3)得到(4)即由(5)這是關(guān)于系數(shù)aj的線性方程組，而且是一個(gè)正則方程組，可以證明，此方程組解唯一。由此實(shí)際上得到了端部擬合曲線的多項(xiàng)式表示，進(jìn)一步可以對(duì)其進(jìn)行延長(zhǎng)運(yùn)算，得到新的端點(diǎn)數(shù)據(jù)。設(shè)原有型值點(diǎn)集為pi(i=0,1,n),新的端點(diǎn)為Q，則由pi和Q構(gòu)成新的型值點(diǎn)集pi(i=0,1,m)，其中m=n+1。由此m個(gè)型值點(diǎn)重新擬合得到延長(zhǎng)后的曲線。1.4葉片邊界的確定上冠、下環(huán)均是旋轉(zhuǎn)曲面，我們把這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面的解析方程稱為延展邊界限定方程。利用上述方法延長(zhǎng)葉片軸面截線，用延長(zhǎng)結(jié)果分別和上冠、下環(huán)旋轉(zhuǎn)曲面求交，即用延長(zhǎng)后的曲線擬合方程與延展邊界限定方程聯(lián)立求解，得到兩個(gè)交點(diǎn)。按此方法分別用由出水邊向進(jìn)水邊的各葉片軸面截線與上冠、下環(huán)旋轉(zhuǎn)曲面求交，得到兩組有序交點(diǎn)，這兩組有序交點(diǎn)就是葉片與上冠、下環(huán)交線的節(jié)點(diǎn)，由此可以順利的擬合得到葉片與上冠、下環(huán)交線，即葉片的兩個(gè)邊界。2數(shù)值計(jì)算及結(jié)果分析2.1延展算法的驗(yàn)證在延展時(shí)我們只考慮曲面的數(shù)學(xué)特性，即只要求延展后的曲線、曲面和原曲線、原曲面具有共同的階數(shù)，連續(xù)性可導(dǎo)致一致，避開(kāi)了復(fù)雜的物理特性。延展算法的數(shù)學(xué)模型建立在這一立場(chǎng)之下的。同時(shí)考慮到延展邊界的不統(tǒng)一性，延展邊界限定方程必須事先在程序中引入，無(wú)法在操作界面實(shí)現(xiàn)時(shí)修改，又因?yàn)檠诱惯吔绶匠虒?duì)延展結(jié)果起決定性作用，因此在程序中輸入邊界方程前應(yīng)反復(fù)驗(yàn)證其正確性，否則結(jié)果將發(fā)生嚴(yán)重畸變。下面以一個(gè)空間二次曲面為例，對(duì)本文的延展算法進(jìn)行驗(yàn)證并進(jìn)行誤差分析。驗(yàn)證曲面方程：X2+Y2-4.0Z=。已知：Z=R2/4.0(R=1.0、2.0、3.0、9.0)共9條等Z線，分別記為1、2、3、8、9斷面，每條等Z線上分布9個(gè)型值點(diǎn)。分別進(jìn)行向Z=0.0平面邊界進(jìn)行延展，結(jié)果如表1表3。表1利用原有型值點(diǎn)不作任何變動(dòng)進(jìn)行向Z=0.0邊界進(jìn)行延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對(duì)誤差1234567890.0037290.003229410.0018645-2.38566E-09-0.0018645-0.00322941-0.003729-0.00322941-0.001864490.00.00186450.003229410.0037290.003229410.0018645-4.77131E-09-0.00186451-0.003229410.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.003729本算法中擬合曲線的階數(shù)定為K=3，即延長(zhǎng)點(diǎn)僅近似保持了離延長(zhǎng)點(diǎn)最近的4個(gè)已知型值點(diǎn)的曲線幾何性質(zhì)或4條已知型值點(diǎn)等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)。如表3對(duì)于表1是從等Z線1-1延長(zhǎng)至Z=0.0平面，保持了4-4、3-3、2-2、1-1等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對(duì)誤差為0.003729；對(duì)于表2是從等Z線2-2延長(zhǎng)至Z=0.0平面，保持了5-5、4-4、3-3、2-2等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對(duì)誤差為0.007947；對(duì)于表3是從Z線3-3延長(zhǎng)至Z=0.0平面，保持了6-6、5-5、4-4、3-3等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對(duì)誤差為0.02079。表2隱去z=0.25等線數(shù)據(jù)，即利用2、3、4、9斷面進(jìn)行向Z=0.0邊界進(jìn)行延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對(duì)誤差1234567890.0079470.00688230.0039735-5.08416E-09-0.00397351-0.00688231-0.007947-0.0068823-0.003973490.00.00397350.006882310.0079470.00688230.00397349-1.01683E-080.00397351-0.006882310.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.007947表3隱去z=0.25、z=1.0等線數(shù)據(jù)，即利用3、4、9斷面進(jìn)行向Z=0.0邊界進(jìn)行延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對(duì)誤差1234567890.020790.01800470.010395-1.33006E-08-0.010395-0.0180047-0.02079-0.0180047-0.0103950.00.0103950.01800470.020790.01800470.010395-2.66011E-08-0.010395-0.01800470.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.00.00.00.00.00.00.00.00.00.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.02079由上面的結(jié)果可以看出隨著距離的增大，誤差也隨之增大，即誤差R與延長(zhǎng)量L(曲線弧長(zhǎng))或延展量S(曲面面積)呈正相關(guān)關(guān)系。因此延展時(shí)要注意一點(diǎn)，本文的延展算法只完成對(duì)延展端部的曲線、曲面形態(tài)趨勢(shì)，并不能完全代表整體形態(tài)趨勢(shì)，因此，原端部與延展部分的幾何比例不能太大，經(jīng)過(guò)比較測(cè)試結(jié)果此比值以不超過(guò)3:1為宜。這一點(diǎn)在延展葉片型面這種自由曲面是十分重要，否則，將產(chǎn)生嚴(yán)重延展誤差。從上面的3組結(jié)果同樣可以看到，延展算法還是比較穩(wěn)定的，這表現(xiàn)在延展得到的同一組中各不同型值點(diǎn)的誤差是一致的，這也符合原始數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，即各等Z線實(shí)際上是一個(gè)圓，各型值點(diǎn)均為圓上的點(diǎn)。同時(shí)從誤差的大小來(lái)看，第1組結(jié)果的誤差最小，為0.003729，即從R=1.0的等Z線延展到R=0.0的等Z線產(chǎn)生0.