3.6.2圓的切線的判定及內(nèi)切圓

第3課時圓的切線的判定及內(nèi)切圓關鍵問答切線的判定方法有哪些？什么是三角形的內(nèi)心？它有什么性質(zhì)？1.下列直線中一定是圓的切線的是()A與圓有公共點的直線 B到圓心的距離等于半徑的直線C垂直于圓的半徑的直線 D過圓的直徑的端點的直線2若直線l是O的切線，要判定ABl，還需要添加的條件是()AAB經(jīng)過圓心O BAB是直徑CAB是直徑，B是切點 DAB是直線，B是切點3如圖3623，點O是ABC的內(nèi)切圓的圓心，若BAC80，則BOC_.圖3623命題點 1證明圓的切線熱度：99%4如圖3624，在ABC中，BAC90，D為BC邊的中點，O是線段AD上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的O交AC于點E，EFBC于點F，則EF_O的切線(填“是”或“不是”)圖36245.2019白銀如圖3625，AN是M的直徑，NBx軸，AB交M于點C.(1)若點A(0，6)，N(0，2)，ABN30，求點B的坐標；(2)若D為線段NB的中點，求證：直線CD是M的切線圖3625方法點撥要證明已知直線是圓的切線，若已知直線過圓上某一點，則可作出過這一點的半徑，再證明直線垂直于該半徑；若未指明直線與圓有公共點，則可過圓心作已知直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于圓的半徑.62019黃石如圖3626，已知A，B，C，D，E是O上的五個點，O的直徑BE2 ，BCD120，A為的中點，延長BA到點P，使BAAP，連接PE.(1)求線段BD的長；(2)求證：直線PE是O的切線圖3626命題點 2與三角形的內(nèi)切圓有關的計算熱度：92%7已知直角三角形的兩條直角邊長分別為12 cm和16 cm，則這個直角三角形的內(nèi)切圓的半徑是()A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm解題突破(1)三角形的內(nèi)心與各頂點的連線將三角形分成3個小三角形，而每個小三角形的高均為其內(nèi)切圓的半徑，底為三角形的三邊，所以SABC(ABACBC)r(r為其內(nèi)切圓的半徑)；(2)直角三角形內(nèi)切圓半徑的計算公式：r(a，b為直角邊長，c為斜邊長)8如圖3627，圓I是三角形ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)為3個切點，若DEF52，則A的度數(shù)為()圖3627A68 B52 C76 D3892019荊門如圖3628，在平面直角坐標系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是ABC的內(nèi)心，將ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90后，I的對應點I的坐標為()圖3628A(2，3) B(3，2) C(3，2) D(2，3)10.如圖3629，ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，則下列等式：EDFB；2EDFAC；2AFEDEDF；AEDBFECDF180，其中等式成立的有()圖3629A1個 B2個 C3個 D4個11.如圖3630，O是ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn)，DEF45.連接BO并延長交AC于點G，AB4，AG2.(1)求A的度數(shù)；(2)求O的半徑圖3630方法點撥對于三角形的內(nèi)切圓中的計算問題，要注意切線性質(zhì)的應用，一般情況下，看到切點連半徑是常用輔助線的作法.命題點 3切線的判定與性質(zhì)的綜合應用熱度：99%12如圖3631，在ABO中，OAOB，C是AB邊的中點，以點O為圓心的圓過點C.(1)求證：AB與O相切；(2)若AOB120，AB4，求O的面積圖363113.如圖3632，四邊形OABC是平行四邊形，以點O為圓心，OA長為半徑的圓交AB于點D，延長AO交O于點E，連接CD，CE，若CE是O的切線，解答下列問題： (1)求證：CD是O的切線；(2)若BC3，CD4，求OABC的面積圖3632方法點撥解決有關切線問題的關鍵是正確添加輔助線，添加輔助線的原則與方法是“有切點，連半徑，證垂直；無切點，作垂直，證半徑”.14如圖3633，RtABC的兩條直角邊長分別為6和8，作RtABC的內(nèi)切圓，則內(nèi)切圓的半徑為2；作RtABC斜邊上的高，則RtABC被分成兩個小直角三角形，分別作其內(nèi)切圓，得到圖，這兩個內(nèi)切圓的半徑的和為_；在圖中繼續(xù)作小直角三角形斜邊上的高，再分別作被分成的小直角三角形的內(nèi)切圓，得到圖，依此類推，若在RtABC中作出了16個這樣的小直角三角形，它們的內(nèi)切圓面積分別記為S1，S2，S16，則S1S2S16_圖363315.聯(lián)想三角形內(nèi)心的概念，我們可引出如下概念定義：到三角形的兩邊距離相等的點，叫做此三角形的準內(nèi)心舉例：如圖3634，若PDPE，則點P為ABC的準內(nèi)心應用：如圖3634，BF為等邊三角形ABC的角平分線，準內(nèi)心P在BF上，PDAB，PEBC，且PFBP，求證：點P是ABC的內(nèi)心圖3634方法點撥理解新情境下的定義，并在新問題中，把新定義或新法則轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的基本事實、定理、定義新定義問題往往涉及分類討論的數(shù)學思想.詳解詳析1B解析 A項，割線與圓也有公共點但不是切線，故不正確B項，符合切線的判定，故正確C項，應為垂直于圓的半徑且過半徑外端點的直線，故不正確D項，應為過圓的直徑的端點并與該直徑垂直的直線，故不正確故選B.2C解析 根據(jù)圓的切線的性質(zhì)“圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑”進行分析，則這里的AB是直徑，且一端是切點故選C.3130解析 BO，CO分別是ABC，ACB的平分線，OBCOCB(ABCACB)(18080)50，BOC18050130.4是解析 如圖，連接OE.BAC90，D為BC邊的中點，ADBCCD，CDAC.OAOE，DACAEO，CAEO，OEBC.EFBC，EFOE，EF是O的切線5解：(1)A(0，6)，N(0，2)，AN4.ABN30，ANB90，NB4 ，B(4，2)(2)證明：連接MC，NC.AN是M的直徑，ACN90，NCB90.在RtNCB中，D為NB的中點，CDNBND，CNDNCD.MCMN，MCNMNC.MNCCND90，MCNNCD90，即MCCD，直線CD是M的切線6解：(1)如圖，連接DE，BCDDEB180，DEB18012060.BE是O的直徑，BDE90.在RtBDE中，sin60，BDBEsin602 3.(2)證明：如圖，連接EA，BE是O的直徑，BAE90，PAE90.A為的中點，ABAE，ABE45.在ABE和APE中，ABAP，BAEPAE，AEAE，ABEAPE，PABE45，PEB90，PEBE，直線PE是O的切線7C解析 直角三角形的兩條直角邊長分別為12 cm，16 cm，直角三角形的斜邊長是20 cm，內(nèi)切圓的半徑為(121620)24(cm)故選C.8C解析 圓I是三角形ABC的內(nèi)切圓，D，F(xiàn)為切點，IDAB，IFAC，IDAIFA90，ADIF180.DIF2DEF252104，A18010476.故選C.9A解析 過點I作IFAC于點F，IEOA于點E.A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，BC4，AC3，則AB5.I是ABC的內(nèi)心，I到ABC各邊的距離相等，等于其內(nèi)切圓的半徑，IF1，故I到BC的距離也為1，則AE1，故IE312，OE413，I(3，2)ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90，I的對應點I的坐標為(2，3)故選A.10B11解：(1)連接OD，OF，O是ABC的內(nèi)切圓，ODAB，OFAC.又DOF2DEF24590，A360ODADOFOFA36090909090.(2)設O的半徑為r，由(1)知四邊形ADOF是矩形，又ODOF，ODAC，ODOFADAFr，BODBGA，即，解得r，O的半徑為.12解：(1)證明：連接OC.在ABO中，OAOB，C是AB邊的中點，OCAB.以點O為圓心的圓過點C，AB與O相切(2)OAOB，AOB120，AB30.AB4，C是AB邊的中點，ACAB2，OCACtanA22，O的面積為224.13解析 (1)連接OD，要證CD是O的切線，需證ODC90，可轉(zhuǎn)化為證CEOCDO，故證ODCOEC即可；(2)OABC的面積是OCD面積的2倍，求出OCD的面積即可解：(1)證明：連接OD.ODOA，ODAOAD.四邊形OABC是平行四邊形，OCAB，COEOAD，CODODA，CODCOE.又ODOE，OCOC，ODCOEC(SAS)，ODCOEC.CE是O的切線，OEC90，ODC90.又OD是O的半徑，CD是O的切線(2)SOCDCDOD436，而OABC的面積是OCD面積的2倍，故OABC的面積為6212.14.4解析 (1)如圖，過點O作OEAC，OFBC，垂足分別為E，F(xiàn)，則OECOFC90.C90，四邊形OECF為矩形OEOF，矩形OECF為正方形設圓O的半徑為r，則r2.S1224.(2)如圖，由SABC6810CD，得CD.由勾股定理，得AD，BD10.同理可得：O的半徑，E的半徑，這兩個內(nèi)切圓的半徑的和，S1S2()2()24.(3)如圖，由SCDB8MD，得MD，由勾股定理得CM，MB8，由(2)得O的半徑，同理得E的半徑，F(xiàn)的半徑，S1S2S3()2()2()24.觀察規(guī)律可知S1S2S3S164.15證明：ABC是等邊三角形，ABC60.BF為ABC的角平分