Ch5大數(shù)定律及中心極限定理.ppt

一、 Chebyshev不等式,Chebyshev,由此可見方差刻畫了隨機(jī)變量取值的離散程度,例1 一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X，試估計(jì),解：,以Xi表示第 i 次的點(diǎn)數(shù)(i=1,2,3,4)，則Xi 的分布律為,例1 一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X，試估計(jì),解：,以Xi表示第 i 次的點(diǎn)數(shù)(i=1,2,3,4)，有,由于,故,且Xi 相互獨(dú)立,例1 一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X，試估計(jì),解：,以Xi表示第 i 次的點(diǎn)數(shù)(i=1,2,3,4)，則有,由Chebyshev不等式得,例2 一電網(wǎng)有1萬盞路燈，,晚上每盞燈開的概率為0.7.,求同時(shí)開的燈數(shù)在6800至7200之間的概率。,解 設(shè)X 為同時(shí)開的燈數(shù),則,由此可得,由Chebyshev不等式可得,二、大數(shù)定理,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué),科，,而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性在相同的條件下進(jìn)行大量,重復(fù)試驗(yàn)時(shí)會(huì)呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性.,例如，,在概率的統(tǒng),計(jì)定義中，,曾提到一件事發(fā)生的頻率具有即事件發(fā),生的頻率趨于事件發(fā)生的概率，,其中所指的是：,試驗(yàn)的次數(shù)無限增大時(shí)，,事件發(fā)生的頻率在某種收,斂意義下逼近某一定數(shù)(事件發(fā)生的概率)，,最早的大數(shù)定理.,當(dāng),這就是,二、大數(shù)定理,一般的大數(shù)定理討論 n 個(gè)隨機(jī)變量的平均值的穩(wěn)定,性.,大數(shù)定理對上述情況從理論的高度進(jìn)行了論證本,節(jié)先介紹基本的大數(shù)定理，,然后，,再介紹另一類基本,的中心極限定理.,大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的 廢品率,還有大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。,二、 大數(shù)定律,在實(shí)踐中，,不僅事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，,穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。,這種,由于大數(shù)定律的作用，,大量隨機(jī)因素的總體作用必然,導(dǎo)致某種不依賴于個(gè)別隨機(jī)事件的結(jié)果。,存在，則對任意的 0，有,設(shè)隨機(jī)變量序列,獨(dú)立同分布，,定理5.1 獨(dú)立同分布序列的Chebyshev大數(shù)定律,且,p是事件A 發(fā)生的概率，則對任給的 0，,或,設(shè)nA 是n 重Bernoulli試驗(yàn)中事件A 發(fā)生的 次數(shù)，,定理5.2 Bernoulli大數(shù)定律,二、 De Moivre-Laplace中心極限定理,一 、獨(dú)立同分布序列的中心極限定理,中心極限定理,中心極限定理的客觀背景:,的綜合影響.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生,在任一給定時(shí)刻,一個(gè)城市的耗電量是大量單獨(dú)的耗電者需用電量的總和.,在一個(gè)蓄水池中的儲水量可以看作是極大數(shù)量的單獨(dú)供水池的供水量的總和.,在一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中的測量誤差是由許多不可能觀察到的,而可看作是可加的小誤差所組成.,前面我們的討論中講過正態(tài)分布在隨機(jī)變量的一切可能分布中占有特殊地位。在客觀世界中，我們遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的，為什么大量的隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布？ 俄國數(shù)學(xué)家李亞普諾夫()證明了在某些非常一般的充分條件下，獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布，當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)無限增加時(shí)，是趨于正態(tài)分布的。 在概率論中，把大量獨(dú)立的隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理統(tǒng)稱為中心極限定理。,設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立同分布，且E(Xi)=，D(Xi)=2 (2 0)(i=1,2,)，記隨機(jī)變量,1、獨(dú)立同分布的中心極限定理(Lindeberg- Levy),則Yn的分布函數(shù)Fn(x)對任意的x(-,+)都有,該定理說明， YnN(0,1),中心極限定理可以解釋如下： 如果多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相加, 不管它們是離散的還是連續(xù)的或者是任何類型的, 只要它們大小相差并不懸殊，每個(gè)隨機(jī)變量對于總和的作用都很微小, 則加起來以后得到的隨機(jī)變量, 就近似服從正態(tài)分布。 在實(shí)際工作中，只要n足夠大，便可把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和當(dāng)作正態(tài)變量。,例1,一盒同型號螺絲釘共有 100 個(gè),已知該型號,的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量,期望值是100g,標(biāo)準(zhǔn)差是10g,求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^ 10.2kg,的概率.,解,且 Xi 之間獨(dú)立同分布,于是一盒螺絲釘?shù)闹亓繛?由此,例1,一盒同型號螺絲釘共有 100 個(gè),已知該型號,的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量,期望值是100g,標(biāo)準(zhǔn)差是10g,求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^ 10.2kg,的概率.,解,一盒螺絲釘?shù)闹亓繛?由中心極限定理有,例2,糧倉內(nèi)老鼠的數(shù)目服從泊松分布, 且倉內(nèi)無鼠的,概率,求200個(gè)倉內(nèi)老鼠總數(shù)超過350只的概率,解:,設(shè)第i個(gè)糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目為Xi ，則,獨(dú)立且同分布，,由,解得,故,2、 De Moivre-Laplace定理,在n重Bernoulli試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0p1)，記Zn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有,其中q=1-p,此定理表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布。當(dāng)n充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。,對于一列二項(xiàng)分布r.v ，有,近似,近似,棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用,例如,于是當(dāng) 充分大時(shí)，可以認(rèn)為,近似,的圖形為,例3 報(bào)童沿街向行人兜售報(bào)紙，設(shè)每位行人買報(bào),的概率為0.2,且他們是否買報(bào)是相互獨(dú)立的。求報(bào)童,向100位行人兜售之后，賣掉1530份報(bào)紙的概率。,解 設(shè)報(bào)童賣掉報(bào)紙的份數(shù)為X,由中心極限定理知，,例4,某市保險(xiǎn)公司開辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù),被保險(xiǎn)人,每年需交付保險(xiǎn)費(fèi) 160 元,若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事,故,其本人或家屬可獲 2 萬元賠金.已知該市人員一年,發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，現(xiàn)有5000人參加,此項(xiàng)保險(xiǎn),問保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總,收益在 20 萬到 40,萬元之間的概率是多少?,解,解,記5000 個(gè)被保險(xiǎn)人中一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故,的人數(shù)為X，則,由中心極限定理可知，,例4,某市保險(xiǎn)公司開辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù),被保險(xiǎn)人,每年需交付保險(xiǎn)費(fèi) 160 元,若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事,故,其本人或家屬可獲 2 萬元賠金.已知該市人員一年,發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，現(xiàn)有5000人參加,此