慣性導(dǎo)航基礎(chǔ)知識(shí).ppt

,知識(shí)點(diǎn)； 1、什么是慣性空間和慣性參照系 2、選擇慣性參照系的原則是什么、為什么 3、地球的形狀如何、 4、子午曲率半徑，等緯度曲率半徑、卯酉曲率半徑如何定義和計(jì)算 5、時(shí)間是如何度量 6、各種坐標(biāo)系的定義 7、坐標(biāo)系之間是如何相互轉(zhuǎn)換 8、方向余弦陣是如何定義的及作用 9、如何通過(guò)歐拉角求方向余弦矩陣； 10、方向余弦矩陣的微分方程如何建立。,第二章 慣性導(dǎo)航基礎(chǔ)知識(shí) 第三講 21 慣性空間與慣性參照系 21 慣性空間及物體在慣性空間的運(yùn)動(dòng) 任何物體的運(yùn)動(dòng)和變化都是在空間和時(shí)間中進(jìn)行的。物體的運(yùn)動(dòng)或靜止及其在空間中的位置，均指它相對(duì)另一物體而言，因此在描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須選定一個(gè)或幾個(gè)物體作為參照物，當(dāng)物體相對(duì)參照物的位置有變化時(shí)，就說(shuō)明物體有了運(yùn)動(dòng)。 牛頓定律揭示了在慣性空間中物體的運(yùn)動(dòng)和受力之間的基本關(guān)系：,注意；牛頓定律描述的運(yùn)動(dòng)或靜止均是相對(duì)于一個(gè)特殊的參照系慣性空間。慣性空間是牛頓定律的空間,(1)若物體不受力或受力的合力為零，則物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)； (2)若物體受到的合力為F，則該物體將以加速度a相對(duì)慣性空間運(yùn)動(dòng)：這里m為物體的質(zhì)量。,212 慣性參照系 1，慣性參照系；慣性空間可理解為宇宙空間，由于宇宙是無(wú)限的，要描述相對(duì)慣性空間的運(yùn)動(dòng)，需要有具體的參照物才有意義。即要在宇宙空間找到不受力或受力的合力為零的物體，它們?cè)趹T性空間絕對(duì)保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，以它們?yōu)閰⒄瘴飿?gòu)成的參照系就是慣性參照系。 然而在宇宙中不受力的物體是不存在的，絕對(duì)準(zhǔn)確的慣性參照系也就找不到。另一方面，在實(shí)際的工程問(wèn)題中，也沒(méi)有必要尋找絕對(duì)準(zhǔn)確的慣性參照系。 2，選擇慣性參照系原則；慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，用加速度計(jì)敏感載體相對(duì)慣性空間的加速度信息，用陀螺儀敏感載體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，加速度計(jì)和陀螺儀總會(huì)有差，只要選擇的慣性參照系的精度遠(yuǎn)高于加速度計(jì)和陀螺儀的量測(cè)精度，滿足慣性導(dǎo)航的需求即可（為什么）,3，太陽(yáng)慣性坐標(biāo)系；在宇宙中，運(yùn)動(dòng)加速度較小的星體是質(zhì)量巨大的恒星，由于恒星之間的距離非常遙遠(yuǎn)，萬(wàn)有引力對(duì)恒星運(yùn)動(dòng)的影響也就較小。太陽(yáng)是我們比較熟悉的恒星，以太陽(yáng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以指向其他遙遠(yuǎn)恒星的直線為坐標(biāo)軸，組成一坐標(biāo)系，就可以構(gòu)成一太陽(yáng)中心慣性參照系。在牛頓時(shí)代，人們把太陽(yáng)中心參照系就看作為慣性坐標(biāo)系，根據(jù)當(dāng)時(shí)的測(cè)量水平，牛頓定律是完全成立的。后來(lái)才認(rèn)識(shí)到，太陽(yáng)系還在繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)，只不過(guò)運(yùn)動(dòng)的角速度極小。銀河系本身也處于不斷的運(yùn)動(dòng)之中，因?yàn)殂y河系之外，還有許多像銀河系這樣的星系(統(tǒng)稱為河外星系)，銀河系和河外星系之間也有相互作用力。太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系是一近似的慣性參照系，近似在于忽略了太陽(yáng)本身的運(yùn)動(dòng)加速度。為衡量太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系的精度，給出太陽(yáng)系繞銀河系中心的運(yùn)動(dòng)參數(shù)如下：,太陽(yáng)至銀河系中心的距離：22X1017km； 太陽(yáng)繞銀河系中心的旋轉(zhuǎn)周期：190x106年； 太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)速度：233kM/s； 太陽(yáng)繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)角速度：0001 年； 太陽(yáng)繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)的向心加速度：24X10-11g(g為地球上的重力加速度)。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中使用的加速度計(jì)的最小敏感量可至104g106g。陀螺儀角速度敏感量為0.001/s 由此可見(jiàn)，太陽(yáng)繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)角速度和向心加速度是非常小的，遠(yuǎn)在目前慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中使用的慣性元件陀螺儀和加速度計(jì)所能測(cè)量的最小角速度和加速度的范圍之外。因此，分析慣性導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)，使用太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系具有足夠的精度。,4，地球中心慣性坐標(biāo)系；是另一種常用的近似慣性參照系。將太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)移到地球中心，就是地球中心慣性坐標(biāo)系。地球中心慣性坐標(biāo)系與太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系的差異就在于有少的平移運(yùn)動(dòng)加速度。在太陽(yáng)系中，地球受到的主要作用力是太陽(yáng)的引力，此外還有月亮的作用力、太陽(yáng)系其他行星的作用力等。地球中心慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)隨地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，但不參與地球自轉(zhuǎn)，要估算地球中心慣性坐標(biāo)系作為慣性坐標(biāo)系的近似誤差，除了要考慮太陽(yáng)系的運(yùn)動(dòng)角速度和加速度外，還要考慮地心繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的加速度。地球中心距離太陽(yáng)中心的平均距離約為15x108km，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期為一年，由此可算出地球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的平均向心加速度約為605X104g。月亮對(duì)地球的萬(wàn)有引力引起的地心平移加速度約為34X106g，其方向沿地球與月球的連線方向。太陽(yáng)系中離地球最近的行星是金星，它對(duì)地球,的引力引起的地心平移加速度最大值約為189x 10-8g。太陽(yáng)系中質(zhì)量最大的行星是木星，它對(duì)地球的引力引起的地心平移加速度最大值約為37X108g。根據(jù)上面的數(shù)據(jù)可知，以地心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移加速度大約為6X10-4g，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中使用的加速度計(jì)的最小敏感量可至104g106g，上述地 心的平移加速度顯然不能忽略。因此，一般情況下地球中心坐標(biāo)系不能看作慣性坐標(biāo)系。但是，當(dāng)一個(gè)物體在地球附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果我們只關(guān)心物體相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng)，由于太陽(yáng)等星體對(duì)地球有引力，同時(shí)對(duì)運(yùn)動(dòng)物體也有引力，太陽(yáng)等星體引起的地心平移加速度與對(duì)地球附近運(yùn)動(dòng)物體的引力加速度基本相同，兩者之差很小，遠(yuǎn)在目前加速度計(jì)的所能敏感的范圍之外。,這樣，研究運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)，我們可以同時(shí)忽略地心的平移加速度與太陽(yáng)等星體對(duì)該物體的作用力。換句話說(shuō)，可以把地球中心慣性坐標(biāo)系當(dāng)成慣性坐標(biāo)系使用，使用這種慣性坐標(biāo)系時(shí)，要認(rèn)為物體受到的引力只有地球的引力，而沒(méi)有太陽(yáng)、月亮等星體的引力。（為什么，因?yàn)榧铀俣扔?jì)測(cè)量的量中包括了太陽(yáng)，月亮產(chǎn)生的加速度，在計(jì)算時(shí)需要剔出、即測(cè)量量不準(zhǔn)）,213 物體在非慣性參照系中的運(yùn)動(dòng) 1，非慣性參照系；相對(duì)慣性空間有運(yùn)動(dòng)加速度的參照系就是非慣性參照系。 2，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；物體相對(duì)慣性空間的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，3，相對(duì)運(yùn)動(dòng)；物體相對(duì)非慣性空間的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)。物體絕對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度與物體所受力之間關(guān)系符合牛頓第二定律。 在非慣性參照系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與所受力之間的關(guān)系該如何描述呢?下面作一簡(jiǎn)單分析。 如圖21所示。設(shè)一物體M質(zhì)量為m，受力F作用，M在非慣性參照系中的運(yùn)動(dòng)加速度為a1，而該非慣性參照系相對(duì)慣性空間的加速度為a0，顯然，M絕對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度a為 a=a0+a1,根據(jù)牛頓第二定律,上式又可寫成,假如將（- ）看作作用在物體M上的一種力， 稱作慣性力，記為,式(216)左面是物體M的真實(shí)受力F與假想的慣性力巧之和，右面是物體質(zhì)量與物體相對(duì)非慣性參照系加速度的乘積，此關(guān)系式與牛頓定律在形式上是一樣的。如果 我們“認(rèn)為”慣性力是物體受力的一部分，那么，根據(jù)式(216)，物體所受的合力與物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度之間的關(guān)系就符合牛頓定律所描述的力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系形式。有了慣性力的概念，我們就可以在非慣性參照系中運(yùn)用牛頓定律來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)，只不過(guò)是在作物體的受力分析時(shí)，除了要考慮物體的真實(shí)受力外，還要認(rèn)為物體還受慣性力的作用。由式(214)，慣性力的大小等于物體質(zhì)量與非慣性參照系相對(duì)慣性空間的運(yùn)動(dòng)加速度的乘積，慣性力的方向與非慣性參照系相對(duì)慣性空間的運(yùn)動(dòng)加速度的方向相反。,注意，慣性力不是物體的真實(shí)受力，引入慣性力的概念是為了研究相對(duì)運(yùn)動(dòng)方便。研究同一物體相對(duì)不同的非慣性系的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體“所受”的慣性力也是不同的。 牛頓定律也可寫成：,這表明，若將物體的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度與其質(zhì)量的乘積“-ma”看著是慣性力的話，物體的受力是“平衡”的。研究相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的“動(dòng)靜法”就是運(yùn)用了這種思想，即通過(guò)引入慣性力，把動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問(wèn)題，這就是達(dá)倫貝爾原理，,4，慣性力矩；慣性力的概念也可以推廣到剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)中。剛體中各質(zhì)點(diǎn)所受的慣性力相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸構(gòu)成的矩的總和稱為慣性力矩。 將牛頓力學(xué)定律應(yīng)用到轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，可得剛體相對(duì)慣性空間的轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度a與所受力矩的關(guān)系為,式中：J為剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 當(dāng)研究剛體相對(duì)非慣性參照系的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若認(rèn)為由非慣性參照系引起的慣性力矩Mi也是剛體所受力矩的一部分，那么，剛體相對(duì)此非慣性參照系的轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度a與所受力矩的關(guān)系在形式上與式(218)相同：,應(yīng)注意的是，當(dāng)非慣性參照系相對(duì)慣性參照系有轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體各質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度中有相對(duì)加諫度牽連加速度與哥氏加速度三種成分，牽連加速度與哥氏加速度相應(yīng)的慣性力都會(huì)形成慣性力矩。利用式(219)時(shí)，Mi項(xiàng)顯然要包括這兩種慣性力矩。,22 地球參考橢球和重力場(chǎng) 地球附件載體的定位是相對(duì)于地球的，地球的某些特性，如自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、垂線及緯度定義、引力場(chǎng)等，在慣導(dǎo)系統(tǒng)中是必須要考慮的，因此要了解地球的這些特性。 221 地球的形狀與參考橢球 人類賴以生存的地球，實(shí)際上是一個(gè)質(zhì)量分布不均勻、形狀不規(guī)則的幾何體。從整體上看，地球近似為一個(gè)對(duì)稱于自轉(zhuǎn)軸的扁平旋轉(zhuǎn)橢球體，其截面的輪廓近似為一扁平橢圓，沿赤道方向?yàn)殚L(zhǎng)軸、沿極軸方向?yàn)槎梯S。這種形狀的形成與地球的自轉(zhuǎn)有密切的關(guān)系。地球上的每一質(zhì)點(diǎn)，一方面受到地心引力的作用，另一方面又受自轉(zhuǎn)造成的離心力的作用。越靠近赤道，離心作用力越強(qiáng)，正是在此離心力的作用下，地球靠近赤道的部分向外膨脹，這樣，地球就成了扁平形狀了。,從局部看來(lái)，地球表面有高山、有盆地，加上內(nèi)部結(jié)構(gòu)異常復(fù)雜，地球表面是一相當(dāng)不規(guī)則的曲面，無(wú)法用數(shù)學(xué)模型表達(dá)。 在海洋上，各處的海平面均與該處重力向量垂直，若假想地球表面全部被海水包圍，在風(fēng)平浪靜、沒(méi)有潮汐的情況下，由海水水面組成的曲面就是地球重力場(chǎng)的等墊面，稱為大地水準(zhǔn)面。大地水準(zhǔn)面不像真正的地表那樣有明顯的起伏，雖然也不規(guī)則，但是光滑的。通常所說(shuō)的海拔高度就是相對(duì)大地水準(zhǔn)面的。大地水準(zhǔn)面包圍的體積稱為大地水準(zhǔn)體簡(jiǎn)稱大地體。大地水準(zhǔn)面也是不規(guī)則的，大地體也無(wú)法用一數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確描述。 對(duì)于精度要求不高的一般工程問(wèn)題，常用圓球體代替大地體，地球的平均半徑為637102km土005km(這是1964年國(guó)際天文學(xué)會(huì)通過(guò)的數(shù)據(jù))。,若再精確一些，可以將大地體近似為一旋轉(zhuǎn)橢球體，旋轉(zhuǎn)軸就是地球的自轉(zhuǎn)軸，這種旋轉(zhuǎn)橢球體稱為參考橢球。參考橢球的短軸與地球表面的交點(diǎn)就是地球的兩極，在地球自轉(zhuǎn)角速度向量正向的極點(diǎn)為北極，另一端為南極。參考橢球的赤道平面是一圓平面，其半徑即為參考橢球的長(zhǎng)軸半徑A，沿地球極軸方向的參考橢球半徑為短軸半徑為D。有了長(zhǎng)短軸半徑，就可以確定出參考橢球了(圖22)，圖23示出了地球?qū)嶋H表面、大地水準(zhǔn)面、參考橢球三者之間的關(guān)系。,大地水準(zhǔn)面與參考橢球在橢球法線方向上的誤差稱為大地起伏，若參考橢球選取合適，大地起伏一般不超過(guò)150m，參考橢球的法線與當(dāng)?shù)卮蟮厮疁?zhǔn)面之間法線方向的夾角一般不超過(guò)3”。慣性導(dǎo)航中就是以參考橢球代替大地體描述地球形狀的。 選取參考橢球的基本準(zhǔn)則；是使測(cè)定出的大地水準(zhǔn)面的局部或全部與參考橢球之間貼合得最好，即差異最小。由于所在地區(qū)不同，各國(guó)選用的參考橢球也不盡相同，表21列出了目前世界上常用的參考橢球。,我國(guó)在1954年前采用過(guò)美國(guó)海富特橢球元素，建國(guó)后很長(zhǎng)一段時(shí)間采用的1954年北京坐標(biāo)系，是基于蘇聯(lián)克拉索夫斯基參考橢球的。1980年開始使用1975年國(guó)際大地 測(cè)量與地球物理聯(lián)合會(huì)第16屆大會(huì)推薦的參考橢球。在本書以后的分析當(dāng)中，我們均以參考橢球來(lái)代替地球的形狀。 222 參考橢球的曲率半徑 導(dǎo)航中經(jīng)常要從載體相對(duì)地球的位移或速度求取載體經(jīng)緯度的變化率，因此當(dāng)把地球近似為參考橢球時(shí)必須研究參考橢球表面各方向的曲率半徑。顯然，橢球體表面上不 同點(diǎn)的曲率半徑是不同的，同一點(diǎn)沿不同方向的曲率半徑也是不同的。,1子午圈的曲率半徑 1）子午面；過(guò)極軸的任意平面與參考橢球相截，截平面為橢圓面，該橢圓面稱為子午面，子午面的輪廓線稱為子午圈或子午線，子午線都是過(guò)兩極的南北方向線，見(jiàn)圖24。 子午圈的曲率半徑稱為主曲率半徑。顯然，在兩極處子午圈的曲率半徑最大，在赤道附近子午圈的曲率半徑最小。在緯度p(p為橢球法線與赤道面之間的夾角)，子午圈的曲率半徑為,式中； 為橢球長(zhǎng)半軸； 為扁率；e為第一偏心率,2等緯度圈的半徑 若以過(guò)橢球上任一點(diǎn)p且平行于赤道平面的平面截參考橢球，截面是一個(gè)圓平面，其輪廓為圓，稱為等緯度圈(或等緯度圓)，見(jiàn)圖24。 顯然，p點(diǎn)緯度不同時(shí)等緯度圓半徑Rl也不同，可以證明，Rl與緯度的關(guān)系如下：,載體繞等緯度圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，緯度不變，經(jīng)度變化。若已知載體的東向速度ve則可根據(jù)等緯度圈曲率半徑及Rll求出載體經(jīng)度的變化率為,3卯酉圈的曲率半徑 用過(guò)參考橢球表面任意一點(diǎn)p的法線且與過(guò)p點(diǎn)的 子午面垂直的平面截取橢球，截平面的輪廓線稱為卯酉圈，卯酉圈的切線方向即為p點(diǎn)的東西方向。卯酉圈的曲率半徑。也稱為主曲率半徑，見(jiàn)圖24。 可以證明，任意點(diǎn)p處卯酉圈的曲率半徑，正好等于p點(diǎn)與過(guò)p點(diǎn)的橢球法線和橢球極軸的交點(diǎn)O之間的距離pO，于是p點(diǎn)處卯酉圈的曲率半徑Rn與等緯度圈的曲率半徑RL之間的關(guān)系就是直角三角形的斜邊與一直角邊之間的關(guān)系(見(jiàn)圖25)：,結(jié)合式(2210)，可得出卯酉圈的曲率半徑與緯度之間的關(guān)系,在地球赤道上，卯酉圈就是赤道圓，此時(shí)卯酉圈的曲率半徑最小。在南北極，卯酉圈就是子午圈，此時(shí)卯酉圈的曲率半徑最大。 結(jié)合式(2211)、式(2212)，有：,（2-2-14）,（2-2-13）,同時(shí)，根據(jù)載體東向速度和卯酉圈曲率半徑，可確定載體繞指北向軸的運(yùn)動(dòng)角速度為,若將橢球近似為圓球，則子午圈的曲率半徑與卯酉圈的曲率半徑均為圓球的半徑：,2-2-15,23 垂線及緯度的定義(第四講） 地球表面一點(diǎn)的緯度是過(guò)該點(diǎn)的垂線與地球赤道平面的夾角。由于地球形狀的不規(guī)則和質(zhì)量的不均勻，地球表面一點(diǎn)的垂線有幾種定義，相應(yīng)地，緯度也有幾種定義。 1地心垂線和地心緯度 參考橢球上任意一點(diǎn)p與橢球中心O的連線pO及其延伸線稱為p點(diǎn)處的地心垂 線。地心垂線與橢球赤道平面的夾角稱為地心緯度(見(jiàn)圖26中的)。 2引力垂線與引力緯度 地球表面某質(zhì)點(diǎn)所受地球引力的方向稱為引力垂線，引力垂線與橢球赤道平面的夾角稱為引力緯度。由于地球不是規(guī)則球體，引力垂線一般不通過(guò)地心，所以引力緯度是不 同于地心緯度的，但是兩者的差別極小(見(jiàn)圖26中的c)。,3測(cè)地垂線與測(cè)地緯度 ， 參考橢球上任意一點(diǎn)的法線就是該點(diǎn)處的測(cè)地垂線，測(cè)地垂線可以通過(guò)大地測(cè)量的辦法獲得。測(cè)地垂線與橢球赤道平面的夾角稱為測(cè)地緯度。在大地測(cè)量和精確導(dǎo)航中，采用的都是測(cè)地緯度。 通常描述地球上位置點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)中的緯度指的就是測(cè)地緯度，測(cè)地緯度又叫地理緯度、大地緯度(見(jiàn)圖26中的t。,4重力垂線與天文緯度 參考橢球上任一點(diǎn)處的重力方向線稱為重力垂線。 由于地球的質(zhì)量不均勻，重力垂線不一定落于子午面內(nèi)。重力垂線在子午面內(nèi)的投影與橢球亦道面之間的夾角稱為天文緯度，天文緯度可以用天文測(cè)量的方法來(lái)測(cè)定。重力垂線與測(cè)地垂線之間的偏差極小，一般不超過(guò)30”，通?？梢院雎浴Ｒ虼艘话銓⒅亓Υ咕€(天文緯度)與測(cè)地垂線(測(cè)地緯度)也不加區(qū)別，都稱為地理垂線(地理緯度)，地理緯度簡(jiǎn)稱緯度。 地理垂線與地心垂線的夾角0(即地理緯度與地心緯度之間的夾角)為,224 地球的重力場(chǎng) 地球周圍的物體都受到地球的引力作用，同時(shí)由于要跟隨地球自轉(zhuǎn)，引力的一部分需要用來(lái)作為向心力產(chǎn)生向心加速度，引力的其余部分就是重力。如圖27所示，記物體受到的引力為J，跟隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力為F，重力為G，則有：,垂線偏斜；由于地球形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻，實(shí)測(cè)的重力加速度數(shù)據(jù)與理論算值往往不一致，大地測(cè)量中把這兩者在數(shù)值上的差別叫做重力異常，兩者在方向上的不一致叫做垂線偏斜。對(duì)工作在水平狀態(tài)的平臺(tái)式慣導(dǎo)來(lái)說(shuō)，重力加速度的數(shù)值變化對(duì)定位精度影響較小，所以與重力異常的關(guān)系不大。但垂線偏斜不僅直接造成導(dǎo)航誤差，還會(huì)引起隨時(shí)間增長(zhǎng)的水平誤差。地球表面各點(diǎn)的重力異常和垂線偏斜沒(méi)有規(guī)律性，只能將地球表面劃分為許多個(gè)區(qū)域，事先加以測(cè)量，然后在系統(tǒng)中加以補(bǔ)償。對(duì)一般精度的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)這種影響可以忽略。 *若慣導(dǎo)系統(tǒng)在某地區(qū)的導(dǎo)航誤差總是比較大時(shí)，就可能與垂線偏斜有關(guān)系。,23 計(jì)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)及地球自轉(zhuǎn)角速度 描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，除了空間的概念以外，還要引入時(shí)間的概念。時(shí)間和空間是物質(zhì)存在的基本形式。時(shí)間表示物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性，空間表示物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的廣延性。時(shí)間的概念我們?cè)缇途邆淞耍菍?duì)于如何精確地度量時(shí)間卻不一定很清楚。在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，陀 螺儀和加速度計(jì)所能測(cè)量的角速度和加速度已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)?shù)木?，因此具有明確的時(shí)間單位，運(yùn)動(dòng)的角速度和加速度才有確切的意義。,度量時(shí)間方法；一船用物質(zhì)的周期性運(yùn)動(dòng)來(lái)作為計(jì)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)，為保證計(jì)量具有一定的精確度，要求這種周期性運(yùn)動(dòng)必須是均勻的、連續(xù)的。在自然界中，地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是非常穩(wěn)定的，具有連續(xù)、均勻的特點(diǎn)，所以人們自然地將它作為計(jì)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)。 但是在地球上觀察地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，可以有兩種參照系，一是把太陽(yáng)作為參考物，二是以別的恒星作為參照物，于是就出現(xiàn)了兩種計(jì)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)太陽(yáng)時(shí)計(jì)時(shí)系統(tǒng)和恒星時(shí)計(jì)時(shí)系統(tǒng)。,恒星日；把相對(duì)恒星測(cè)得的地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)周期作為計(jì)時(shí)單位，就是恒星日。 恒星時(shí)；把一個(gè)恒星日分成24等份，就是恒星時(shí)。 太陽(yáng)日；利用太陽(yáng)的視運(yùn)動(dòng)來(lái)計(jì)量時(shí)間，就是另一個(gè)計(jì)時(shí)單位太陽(yáng)日。 真太陽(yáng)日；地球相對(duì)于太陽(yáng)自轉(zhuǎn)一周的時(shí)間叫做真太陽(yáng)日。 由于地球圍繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道為橢圓，使得真太陽(yáng)日不是很均勻，一年中最長(zhǎng)和最短的太陽(yáng)日相差51s，這樣按照真太陽(yáng)日來(lái)計(jì)時(shí)就很不準(zhǔn)確，于是天文學(xué)家假想了一個(gè)太陽(yáng)，其視運(yùn)動(dòng)速度是均勻的，為真太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)速度的全年平均值，這個(gè)假想的太陽(yáng)稱為“平太陽(yáng)”， 平太陽(yáng)日；球相對(duì)平太陽(yáng)自轉(zhuǎn)一周的時(shí)間叫做平太陽(yáng)日。,小時(shí)；一個(gè)平太陽(yáng)日可等分為24個(gè)平太陽(yáng)時(shí)，這就是我們?nèi)粘Ｉ钪胁捎玫挠?jì)時(shí)單位小時(shí)。 恒星日與平太陽(yáng)日之間如何換算呢? 天文學(xué)上的測(cè)量表明地球圍繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)一周需要3652422個(gè)平太陽(yáng)日。由于地球除自轉(zhuǎn)外，還有圍繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)，一個(gè)平太陽(yáng)日中，地球相對(duì)太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)了一周，然而在相同的時(shí)間內(nèi)，地球相對(duì)恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)并不止360，而是比360多一點(diǎn)(見(jiàn)圖28)。地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)一周，地球相對(duì)恒星轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)數(shù)比相對(duì)太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)數(shù)正好多一轉(zhuǎn)。于是有： 3652422平太陽(yáng)日=3662422恒星日 這樣： 1恒星日：O9972696太陽(yáng)日=23h56min4 1平太陽(yáng)日；10027379恒星日 1平太陽(yáng)時(shí)；1。0027379恒星時(shí),有了平太陽(yáng)日與恒星日的定義，我們可以確切地給出地球自轉(zhuǎn)角速度，地球在一個(gè)恒星日中相對(duì)恒星準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)動(dòng)360，故其自轉(zhuǎn)角速度為 =360恒星日=15 恒星時(shí)： 15041069平太陽(yáng)時(shí)= 7292115810-5rads 上述地球自轉(zhuǎn)角速度就是相對(duì)慣性空間的自轉(zhuǎn)角速度、絕對(duì)運(yùn)動(dòng)角速度,24 慣性導(dǎo)航中常用的坐標(biāo)系 研究慣性導(dǎo)航問(wèn)題時(shí)，常常要涉及到多種坐標(biāo)系。本節(jié)介紹幾種經(jīng)常要遇到的坐標(biāo)系及其變換。 241 慣性坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱i系) 慣性坐標(biāo)系是描述慣性空間的一種坐標(biāo)系，在慣性坐標(biāo)系中，牛頓定律所描述的力與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系是完全成立的。要建立慣性坐標(biāo)系，必須找到相對(duì)慣性空間靜止或勻速運(yùn)動(dòng)的參照物，也就是說(shuō)該參照物不受力的作用或所受合力為零。然而根據(jù)萬(wàn)有引力原 理可知，這樣的物體是不存在的。通常我們只能建立近似的慣性坐標(biāo)系，近似的程度根據(jù)問(wèn)題的需要而定。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中我們常用的慣性坐標(biāo)系是太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系，若載體僅在地球附近運(yùn)動(dòng)，如艦船慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，也可用地球中心慣性坐標(biāo)系，此時(shí)要同時(shí)忽略太陽(yáng)的引力和地球中心的平移加速度。,242 確定載體相對(duì)地球位置的坐標(biāo)系 1地球直角坐標(biāo)系oxeyeze(簡(jiǎn)稱e系) 坐標(biāo)原點(diǎn)位于橢球中心，Ze軸為參考橢球的短軸,xe,ye軸位于地球赤道平面，xe指向格林威治子午線，ye軸與xe軸垂直，構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。這樣對(duì)地球附近任何一點(diǎn)p，其位置均可用一三維坐標(biāo)P(x，y，z)來(lái)確定，見(jiàn)圖29。 地球中心慣性坐標(biāo)系和地球直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)均為橢球中心，隨地球一起平移， 地球中心慣性坐標(biāo)系和地球直角坐標(biāo)系區(qū)別；在于后者與地球固聯(lián)，隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)，而前者的坐標(biāo)軸不隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)，指向相對(duì)慣性空間不變。地球上任一固定點(diǎn)在地球直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是固定的，但在地球中心慣性坐標(biāo)系中是變化的。地球直角坐標(biāo)系oxeyeze相對(duì)慣性參照系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度就是地球的自轉(zhuǎn)角速度ie,2經(jīng)緯度坐標(biāo) 經(jīng)緯度坐標(biāo)是我們比較熟悉的。地球表面任意一點(diǎn)的位置均可用經(jīng)度和緯度來(lái)確定。 經(jīng)度；以參考橢球?yàn)榛鶞?zhǔn)，格林威治子午面與過(guò)該點(diǎn)的子午面之間的夾角(0-180)為經(jīng)度。點(diǎn)位處于東半球時(shí)為東經(jīng)，點(diǎn)位處于西半球時(shí)為西經(jīng)。 緯度；是當(dāng)?shù)卮咕€與橢球赤道面的夾角(090)。點(diǎn)位處于赤道面以北時(shí)為北緯，點(diǎn)位處于赤道面以南時(shí)為南緯。前面已經(jīng)述及，由于垂線有幾種定義，緯度也有地理緯度和地心緯度之分。慣性導(dǎo)航中使用的是地理緯度。,上面討論了在參考橢球上確定點(diǎn)位的方法。需要注意的是，不論是使用地球直角坐標(biāo)系還是使用經(jīng)緯度坐標(biāo)系，都是以某種參考橢球?yàn)榛鶞?zhǔn)的。我國(guó)現(xiàn)用的1980北京大地坐標(biāo)系選用了1975年國(guó)際第16屆大地測(cè)量與地球物理聯(lián)合會(huì)推薦的參考橢球參數(shù)，橢球相對(duì)地球的位置則是根據(jù)我國(guó)大地測(cè)量的結(jié)果確定的。這種適用于局部地區(qū)的大地坐標(biāo)系也稱為局部大地坐標(biāo)系。由于衛(wèi)星和遙感技術(shù)的發(fā)展，目前已經(jīng)可以利用衛(wèi)星測(cè)量 的方法進(jìn)行全球性的大地測(cè)量，從而擬合出適用于全球性的大地坐標(biāo)系。美國(guó)國(guó)防部迄今為止已經(jīng)提供了WGS-60、WGS-66、WGS-72、WGS-84四種全球大地坐標(biāo)系。因此，地球上的同一點(diǎn)在不同大地坐標(biāo)系下的經(jīng)緯度或在地球直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)可能是不同的。,3地球直角坐標(biāo)與經(jīng)緯度坐標(biāo)的互換 設(shè)地球表面某一點(diǎn)p在地球直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為p(x，y，z)，經(jīng)緯度坐標(biāo)為p(，)，地球直角坐標(biāo)與經(jīng)緯度坐標(biāo)的互換公式如下： 經(jīng)緯度坐標(biāo)到地球直角坐標(biāo)的變換：,上兩式中，為參考橢球的扁率。,地球直角坐標(biāo)到經(jīng)緯度坐標(biāo)的變換：,243 與載體位置或慣導(dǎo)系統(tǒng)本身有關(guān)的坐標(biāo)系 1地理坐標(biāo)系OXtytZt(簡(jiǎn)稱t系) 如圖210所示，地理坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是載體所在點(diǎn)，Zt軸沿當(dāng)?shù)貐⒖紮E球的法線指向天頂，xt軸與yt軸均與Zt軸垂直，即在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)，Xt軸沿當(dāng)?shù)鼐暥染€指向正東，yt軸沿當(dāng)?shù)刈游缇€指向正北。按照這樣的定義，地理坐標(biāo)系的Zt軸與地球赤道平面的夾角就是當(dāng)?shù)氐乩砭暥?，Zt軸與yt軸構(gòu)成的平面就是當(dāng)?shù)刈游缑妗t軸與Xt軸構(gòu)成的平面就是當(dāng)?shù)孛厦?。Xt軸與yt軸構(gòu)成的平面就是當(dāng)?shù)厮矫妗?地理坐標(biāo)系的三根軸可以有不同的選取方法。圖210所示的地理坐標(biāo)系是按“東、北、天”為順序構(gòu)成的右手直角坐標(biāo)系。除此之外，還有按“北、西、天”或“東、北、地”為順序構(gòu)成的右手直角坐標(biāo)系。,當(dāng)載體在地球表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，載體相對(duì)地球的位置不斷發(fā)生變化，而地球上不同地點(diǎn)的地理坐標(biāo)系相對(duì)地球的角位置是不同的。也就是說(shuō)，載體的運(yùn)動(dòng)將引起地理坐標(biāo)系相對(duì)地球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)。如果考察地理坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，應(yīng)當(dāng)考慮兩種因素：一是地理坐標(biāo)系隨載體運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)地球坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；二是地球坐標(biāo)系相對(duì)慣性參照系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。 假設(shè)載體沿水平面航行(如艦船)，所在地點(diǎn)的緯度為，航速為v，航向?yàn)镠。將航速分解為沿地理坐標(biāo)系北東兩個(gè)分量：,航速的北向分量vn引起地理坐標(biāo)系繞著平行于地理東西方向的地心軸相對(duì)地球轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為(見(jiàn)圖211),航速的東向分量ve引起地理坐標(biāo)系繞著極軸相對(duì)地球轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為,將角速度平移到地理坐標(biāo)系的原點(diǎn)，并投影到地理坐標(biāo)系各軸上，可得：,式中：etx,ety,etz表示t系相對(duì)e系的角速度在t系xt軸(yt軸、Zt軸)上的分量。上式表明，航行速度將引起地理坐標(biāo)系繞地理東向、北向和垂直方向相對(duì)地球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)。 地球坐標(biāo)系相對(duì)慣性參照系的轉(zhuǎn)動(dòng)是由地球自轉(zhuǎn)引起的。把地球自轉(zhuǎn)角速度ie平移到地理坐標(biāo)系的原點(diǎn)，并投影到地理坐標(biāo)系的各軸上，可得：,上式表明，地球自轉(zhuǎn)將引起地理坐標(biāo)系繞地理北向和垂線方向相對(duì)慣性參照系轉(zhuǎn)動(dòng)。 綜合考慮地球自轉(zhuǎn)和載體的航行影響，地理坐標(biāo)系相對(duì)慣性參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在地理坐標(biāo)系各軸上的投影表達(dá)式為,在分析陀螺儀和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)，地理坐標(biāo)系是要經(jīng)常使用的坐標(biāo)系。例如，陀螺羅經(jīng)用來(lái)重現(xiàn)子午面，其運(yùn)動(dòng)和誤差就是相對(duì)地理坐標(biāo)系而言的。在指北方位平臺(tái)式慣導(dǎo)中，采用地理坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系，平臺(tái)所模擬的就是地理坐標(biāo)系。,2載體坐標(biāo)系Oxbybzb(簡(jiǎn)稱b系) 載體坐標(biāo)系是與載體固聯(lián)的直角坐標(biāo)系。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的載體可以是艦船、飛機(jī)、火箭等，這里以艦艇坐標(biāo)系為例說(shuō)明載體坐標(biāo)系的定義。艦艇坐標(biāo)系的yb軸在甲板平面內(nèi)指向艦艏方向，xb軸在甲板平面內(nèi)指向艦艇右舷，Zb軸垂直于甲板平面指向天頂(圖212)。當(dāng)然，這不是唯一的取法。若能獲知當(dāng)?shù)卣?、正東的準(zhǔn)確指向，即獲知當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系的準(zhǔn)確指向的話，根據(jù)艦船坐標(biāo)系與地理坐標(biāo)系的角度關(guān)系就可以確定艦船姿態(tài)角，即航向角、橫搖角和縱搖角。,3平臺(tái)坐標(biāo)系Oxpypzp(簡(jiǎn)稱 p戶系) 在平臺(tái)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，加速度計(jì)放置于一三軸穩(wěn)定平臺(tái)上，穩(wěn)定平臺(tái)三根軸的指向可以用平臺(tái)坐標(biāo)系oxpypzp來(lái)描述。平臺(tái)式慣導(dǎo)中的一種重要類型是指北方位平臺(tái)式慣導(dǎo)，這種慣導(dǎo)的穩(wěn)定平臺(tái)的三根軸分別指東、指北和指向天頂，也就是說(shuō)，平臺(tái)的 三根軸要模擬當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系的三根軸，oxp軸稱為平臺(tái)東，OyP軸稱為平臺(tái)北。由于誤差總是存在的，指北方位慣導(dǎo)平臺(tái)坐標(biāo)系與當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系之間的夾角就反映了平臺(tái)的誤差角。,4導(dǎo)航坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱n系) 導(dǎo)航坐標(biāo)系是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)求解導(dǎo)航參數(shù)時(shí)所采用的坐標(biāo)系。例如，指北方位慣導(dǎo)的平臺(tái)，在理想情況下完全模擬了當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系，載體位置是根據(jù)平臺(tái)上加速度計(jì)輸出的加速度信息(正東、正北向加速度)在當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系中解算得到的，因此地理坐標(biāo)系就是水平指北慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航坐標(biāo)系。對(duì)捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，測(cè)得的載體加速度是沿載體坐標(biāo)系軸向的，必須將加速度信息分解到某個(gè)便于求解導(dǎo)航參數(shù)的坐標(biāo)系 內(nèi)，再進(jìn)行導(dǎo)航計(jì)算，這個(gè)坐標(biāo)系就是導(dǎo)航坐標(biāo)系。,5計(jì)算坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱c系) 由于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)只能根據(jù)系統(tǒng)本身計(jì)算獲得的載體位置來(lái)描述導(dǎo)航坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系必然存在著誤差，有時(shí)為了與理想的導(dǎo)航坐標(biāo)系相區(qū)別，將這種根據(jù)慣導(dǎo)本身計(jì)算出的、由載體位置確定的導(dǎo)航坐標(biāo)系稱作計(jì)算坐標(biāo)系，在分析慣導(dǎo)誤差時(shí)要用到這種坐標(biāo)系,第五講 25 三維直角坐標(biāo)系間的角度關(guān)系與方向余弦矩陣 在分析慣性導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)，要用到多種空間直角坐標(biāo)系。我們知道，向量可用坐標(biāo)系中的坐標(biāo)來(lái)描述。在不同的坐標(biāo)系中，同一向量的坐標(biāo)是不同的，但這些坐標(biāo)之間是有聯(lián)系的，即向量在一種坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為在另一種坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。轉(zhuǎn)化方法由坐標(biāo)系之間的位置與角度關(guān)系決定。 兩空間直角坐標(biāo)系之間的差異包括兩個(gè)方面：一是原點(diǎn)不同，即一坐標(biāo)系的原點(diǎn)相對(duì)另一坐標(biāo)系的原點(diǎn)有位移；二是坐標(biāo)軸的指向不同，即一坐標(biāo)系相對(duì)另一坐標(biāo)系有旋轉(zhuǎn)。 例如，地球表面某點(diǎn)的地理坐標(biāo)系OXtytZt與地球坐標(biāo)系o xeyeze之間的關(guān)系就是這種情況，原點(diǎn)不同，指向也不同,在慣性導(dǎo)航中，我們更關(guān)心的是兩組坐標(biāo)系之間的角位置關(guān)系，這是因?yàn)椋?(1)慣性導(dǎo)航中使用的許多坐標(biāo)系，如地理坐標(biāo)系、載體坐標(biāo)系、平臺(tái)坐標(biāo)系、計(jì)算坐標(biāo)系等，它們的原點(diǎn)是相同的，不存在原點(diǎn)位移問(wèn)題； (2)與上述坐標(biāo)系原點(diǎn)不同的常用坐標(biāo)系，如地球坐標(biāo)系，雖然原點(diǎn)不同，但原點(diǎn)的位移也可通過(guò)坐標(biāo)系之間的角位置關(guān)系反映出來(lái)，如地球坐標(biāo)系與地理坐標(biāo)系之間的角度關(guān)系可由角度、決定，、同時(shí)又決定了地理坐標(biāo)系原點(diǎn)在地球坐標(biāo)系中的位置， 所以弄清了兩坐標(biāo)系的角度關(guān)系，就知道了載體位置(、)。,數(shù)學(xué)上兩空間坐標(biāo)系之間的角度關(guān)系可用一矩陣來(lái)表示，即方向余弦矩陣。這里側(cè)重介紹三個(gè)問(wèn)題：方向余弦矩陣的定義、性質(zhì)；通過(guò)歐拉角求方向余弦矩陣；方向余弦矩陣的微分。,這說(shuō)明方向余弦矩陣的逆就是其轉(zhuǎn)置陣，這是方向余弦矩陣重要性質(zhì)之一：正交性。 另外由于方向余弦矩陣的任一行或任一列的三個(gè)元素均為兩個(gè)坐標(biāo)系中的某一根坐標(biāo)軸在另一坐標(biāo)系中的方向余弦，前已述及，任一向