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文檔簡介
,數(shù)理統(tǒng)計與隨機(jī)過程 第九章,主講教師:程維虎教授,北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,第九章 方差分析及回歸分析,9.1 單因素試驗的方差分析,在科學(xué)試驗和生產(chǎn)實踐中,影響事物的因素往往很多。例如:在化工生產(chǎn)中,原料成分、原料劑量、催化劑、反應(yīng)溫度、壓力、溶液濃度、反應(yīng)時間、機(jī)器設(shè)備及操作員水平等因素,每個因素的改變都有可能影響產(chǎn)品的數(shù)量和質(zhì)量。有些因素影響大些,有些較小。為使生產(chǎn)過程得以穩(wěn)定,確保優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn),就必要找出對產(chǎn)品質(zhì)量有顯著影響的那些因素。為此,需要進(jìn)行試驗及設(shè)計。方差分析就是根據(jù)試驗的結(jié)果進(jìn)行分析,鑒別各試驗因素對試驗結(jié)果影響大小的統(tǒng)計方法。,9.1.1 單因素試驗的方差分析 I. 基本概念 1. 試驗指標(biāo) 在試驗中,需要考察的指標(biāo)。 2. 因素 影響試驗指標(biāo)的條件。因素又分成可控因素和不 可控因素兩類。例如,反應(yīng)溫度、原料劑量、溶液濃 度、反應(yīng)時間等都是可控因素;而測量誤差、氣候條 件等都是不可控因素。 3. 水平 因素所處的狀態(tài)。,如試驗中僅有一個因素發(fā)生改變,而其他因素(有的話)不發(fā)生改變,稱這樣的試驗為單因素試驗;如試驗中有多個因素發(fā)生改變,就稱試驗為多因素試驗。 特別地,稱只有兩個因素發(fā)生改變,而其他因素(有的話)不發(fā)生改變的試驗為兩因素試驗或雙因素試驗。,II. 舉例,例1:用三臺機(jī)器生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板。測量薄板的厚度 (精確到千分之一厘米) 如下表所示。在這里, 試驗指標(biāo)是薄板厚度;機(jī)器為因素;三臺機(jī)器就是因素的三個水平。如果假定除機(jī)器因素外,其他因素都相同,則試驗為單因素試驗。,試驗?zāi)康氖菫榱丝疾旄髋_機(jī)器生產(chǎn)的鋁合金薄板的厚度是否有顯著差異,即因素的不同水平是否對試驗?zāi)繕?biāo)有顯著不同的影響。,例2:隨機(jī)選取的、用于計算器的四種類型的電路的響應(yīng)時間如下表所示 (單位是毫秒)。試驗指標(biāo)是電路的響應(yīng)時間;考慮的因素是電路類型;四種電路就是四個水平。試驗?zāi)康模嚎疾祀娐奉愋蛯憫?yīng)時間有無顯著影響。,例3:一火箭使用四種燃料,三種推進(jìn)器做射程試驗。每種燃料與每種推進(jìn)器的組合下發(fā)射火箭兩次,射程 試驗數(shù)據(jù)由下表給出。試驗指標(biāo):射程;因素:推進(jìn)器 (三個水平)、 燃料 (四個水平);目的:考察推進(jìn)器和燃料這兩個因素對射程是否有顯著影響。,III. 問題討論,本節(jié)僅討論單因素試驗問題。例1中,在因素的每個水平下進(jìn)行獨(dú)立試驗,其結(jié)果是一個隨機(jī)變量。 表中的數(shù)據(jù)看成是來自三個不同總體 (每個水平對應(yīng)于一個總體) 的樣本值。,將各個總體的均值依次記為1,2與3。按題意需檢驗假設(shè) H0: 1=2=3 , H1: 1,2與3不全相等。 若假設(shè)每個總體均為正態(tài)變量,且方差相等,但參數(shù)未知。那么,這是一個檢驗具有相同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等的問題。方差分析法就是解決這類問題的一種統(tǒng)計方法。,單因素試驗的方差分析,設(shè)因素A 有s 個水平:A1, A2, , As,在水平Aj ( j =1, 2, , s)下,進(jìn)行 nj ( nj 2) 次獨(dú)立試驗,得 到如下標(biāo)的結(jié)果。,假定水平Aj ( j=1, 2, , s )下的樣本 來自具有方差2,均值為j 的正態(tài)總體, j和2未 知,且不同水平Aj下的樣本相互獨(dú)立。,方差分析的任務(wù), 檢驗 s 個總體 的均值 是否相等,即檢驗假設(shè) 作出未知參數(shù) 的估計。 若記 的加權(quán)平均為,引入 表示總體平均值與 總平均的差異,稱為水平Aj 的效應(yīng)。此時,,模型 (1.1)可改寫成,假設(shè)(1.2)等價于假設(shè),9.1.2 平方和的分解,引入總偏差平方和,是數(shù)據(jù)的總平均。ST 反應(yīng)了全部數(shù)據(jù)之間的差異。因此,又稱其為總變差。,其中,記水平 Aj下的樣本均值為,上式的第三項為,則有,SE 稱為誤差平方和,SA稱為效應(yīng)平方和。(1.8)式稱 作總變差平方和分解式,簡稱平方和分解式。,于是,有 ST=SE+SA , (1.8),其中,9.1.3 SE與SA的統(tǒng)計特性,為導(dǎo)出檢驗問題(1.2) 的檢驗統(tǒng)計量,首先來討論SE與SA 的特性。先將SE寫成,由于不同總體的樣本相互獨(dú)立,又知(1.11)式中各加項也相互獨(dú)立,根據(jù)2分布的可加性,得,進(jìn)一步,可以證明:,特別地,H0為真時,有,9.1.4 假設(shè)檢驗問題的拒絕域,由(1.14)式,知:當(dāng)H0為真時,SA /(s-1)是2的無偏估計,而當(dāng)H1為真時, 此時,所以,當(dāng)H0不真時, (1.16)式的分子SA /(s-1)的取值較2有偏大的趨勢。故,檢驗問題的拒絕域應(yīng)有,的形式。,根據(jù)(1.16)式,可得到檢驗問題(1, 2)的拒絕域為,其中為給定的顯著性水平,F(xiàn)s-1,n-s()是參數(shù)為 (s-1, n-s)的F分布的上分位點(diǎn)。,單因素方差分析表如下:,在實際中,可按以下簡便公式計算ST, SA和SE。,則有,例4: 在例1中就是檢驗假設(shè) (=0.05),解:在這里, s=3, n1=n2=n3=5, n=15, 按(1.20)式計算,得到 ST =0.00124533, SA=0.00105333, SE = 0.000192 及如下方差分析表:,判斷:因 F2, 12 ()=3.8932.92, 故在水平0.05下拒絕H0,即認(rèn)為各臺機(jī)器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異。,9.1.5 未知參數(shù)的估計,由(1.13)式,知: 是2的無偏估計; 再由(1.1), (1.6)及(1.7)式,知: 故 分別為和j 的無偏估計。 若拒絕H0 ,就意味著,效應(yīng)1,2,s不全 為零。由于j=j-, j=1, 2, , s, 知: 是j 的無偏估計。,由于,例5:求例4中未知參數(shù)2 ,j 與j 的點(diǎn)估計及均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間。,解:經(jīng)計算,由tn-s (/2)=t12(0.025)=2.1788及(1.21)式,得 1 2 , 1 3 與2 3 的置信水平為0.95的置信區(qū)間分別為:,例6: 在例2中,四類電路的響應(yīng)時間的總體均為正態(tài)分布,且各總體的方差相同,但參數(shù)未知。設(shè)各樣本相互獨(dú)立。取檢驗水平=0.05,檢驗各類電路的響應(yīng)時間是否有顯著差異。,解: 分別以1, 2, 3, 4 記類型i, , , 四種電路的響應(yīng)時間總體均值。我們需要檢驗: H0 : 1 =2 =3 =4, H1 : 1, 2, 3, 4不全相等. 現(xiàn)在,n=18, s=4, n1 = n2 = n3 =5, n4 =3,,因為F 3,14(0.05)=3.343.76,故在水平0.05下拒 絕H0,即認(rèn)為各類型電路的響應(yīng)時間有顯著差異。,將上述數(shù)據(jù)填入下表:,9.2.1 雙因素等重復(fù)試驗的方差分析,設(shè)兩個因素A 和 B 作用于試驗指標(biāo)。A有r 個水平A1, A2, , Ar,B有s個水平B1, B2, , Bs。 現(xiàn)對A , B的各水平組合(Ai, Bj ),i=1, 2, , r ,j=1, 2, , s 都作t (t2)次試驗(稱等重復(fù)試驗), 得如下試驗結(jié)果:,9.2 雙因素試驗的方差分析,并假設(shè): ijk(ij , 2), i =1,2,r, j =1,2,s, k=1,2,t,各ijk獨(dú)立。,這里,ij 與 2 為參數(shù), 未知。,于是,模型可寫成:,引入記號:,易見,,稱 為總平均,i 為水平Ai 的效應(yīng),j為水平Bj 的效應(yīng)。這樣可將ij 表示成,記,此時,稱 ij 為水平Ai 和水平Bj 的交互效應(yīng),這是由Ai 和Bj 搭配起來聯(lián)合起作用而引起的。易見,這樣,(2.1) 式可寫成,與單因素情況類似,對這些問題的檢驗方法也是建立在平方和的分解上。先引入以下記號:,再引入總偏差平方和(稱為總變差),可將 ST 寫成:,即得平方和的分解式:,其中,稱SE為誤差平方和,SA與SB分別為因素、因素的效應(yīng)平方和,SAB為與交互效應(yīng)平方和。,可以證明:ST,SE,SA,SB,SAB 的自由度依次為 rst -1, rs(t -1), r -1, s -1,(r -1)(s-1),且有,上述結(jié)果可匯總成下列的方差分析表:,記,例1: 在上節(jié)例3中,假設(shè)符合雙因素方差分析模型所需的條件。試在水平0.05下,檢驗不同燃料(因素A)、不同推進(jìn)器(因素B)下射程是否有顯著差異?交互作用是否顯著? 解: 現(xiàn)在 r =4,s=3,t =2。需檢驗假設(shè)H01, H02, H03, (見(2.6) (2.8) )。首先計算T, Tij ., Ti, T.j .,表中括號內(nèi)的數(shù)是Tij. 。然后按(2.22)式計算下列各式:,得方差分析表如下:,由于 F3,12 (0.05)=3.49FA, F2,12 (0.05)=3.89FB,所以,在水平 = 0.05下,拒絕原假設(shè)H01與H02,即認(rèn)為不同燃料或不同推進(jìn)器下的射程有顯著差異。也就是說,燃料和推進(jìn)器這兩個因素對射程的影響都是顯著的。,又,F6,12(0.05)=3.00 FAB 。故拒絕H03。值得注意的是, F6,12 (0.001)=8.38 也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 FAB =14.9,故交互作用的效應(yīng)是高度顯著的。從表9.10可看出,A4與B1或A3與B2的搭配都使火箭射程較之其他水平的搭配要遠(yuǎn)得多。實際中, 我們選最優(yōu)的搭配方式來實施。,例2:在某種金屬材料生產(chǎn)過程中,對熱處理溫度(因素B)與時間(因素A)各取兩個水平,產(chǎn)品強(qiáng)度的測定結(jié)果(相對值)如表9.12所示。在同一條件下每個實驗重復(fù)兩次。設(shè)各水平搭配下強(qiáng)度的總體服從正態(tài)分布且方差相同。各樣本獨(dú)立。問熱處理溫度、時間以及這兩者的交互作用對產(chǎn)品強(qiáng)度是否有顯著的影響(取 =0.05)?,解:按題意需檢驗假設(shè)(2.6) (2.8),作計算如下.,得方差分析表如表9.13.,由于F1,4(0.05)=7.71,所以認(rèn)為時間對強(qiáng)度的影響不顯著, 而溫度的影響顯著, 交互作用的影響也顯著。,9.2.2 雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析,在以上討論中,我們考慮了雙因素試驗中兩個因素間的交互作用。為檢驗交互作用的效應(yīng)是否顯著。對兩因素的每一組合(Ai, Bj)至少要做2次試驗。 這是因為在模型(2.5)中,若k=1, ij+ij 總以結(jié)合在一起的形式出現(xiàn),這樣就不能將交互作用與誤差分離出來。如果在處理實際問題時,我們知道不存在交互作用,或已知交互作用對試驗的指標(biāo)影響很小,就可以不考慮交互作用。此時,即使 k =1,也能對因素A、B的效應(yīng)進(jìn)行分析。 現(xiàn)設(shè)對兩個因素的每一組合(Ai, Bj)只做一次試驗,所得結(jié)果如下。,或?qū)懗?沿用 9.2.1中的記號,注意到現(xiàn)在假設(shè)“不存在 交互作用”。此時,ij=0,i=1, 2, , r,j =1, 2,s。故,由(2.4)式知 , (2.23)式可寫成,這就是現(xiàn)在要研究的方差分析模型。,對這個模型,所要檢驗的假設(shè)有如下兩個:,與在9.2.1中的討論相同,得方差分析表。,表9.15中的平方和可按下述式子來計算:,其中,例3: 下面給出了在某5個不同地點(diǎn)、不同時間空氣中的顆粒狀物(以mg/m3計)的含量的數(shù)據(jù):,設(shè)本題符合模型(2.24)式中的條件。試在水平 =0.05下檢驗: 1).在不同時間下顆粒狀物含量的均值有無顯著差異; 2).在不同地點(diǎn)下顆粒狀物含量的均值有無顯著差異。,解: 按題意需檢驗假設(shè)(2.25), (2.26)。 , 的值已算出載于上表。現(xiàn)在 r=4,s=5。由(2.27)得到:,方差分析表如下:,由于F3,12(0.05)=3.4910.72,,F(xiàn)4,12(0.05)=3.2613.24,得: 拒絕H01及H02,即,認(rèn)為不同時間下顆粒狀物含量的均值有顯著差異;也認(rèn)為不同地點(diǎn)下顆粒狀物含量的均值有顯著差異。 即,認(rèn)為時間和地點(diǎn)對顆粒物的含量影響均為顯著。,9.3 一元線性回歸,本節(jié)內(nèi)容提綱, 一元線性回歸的概念和數(shù)學(xué)模型 a、b 的估計 2的估計 線性假設(shè)的顯著性檢驗 系數(shù) b 的置信區(qū)間 回歸函數(shù) (x)=a+bx 的點(diǎn)估計和置信區(qū)間 Y 的觀測值的點(diǎn)預(yù)測和預(yù)測區(qū)間,客觀世界中變量之間的關(guān)系包括: 確定性關(guān)系:變量之間的關(guān)系能用函數(shù)來表達(dá); 非確定性關(guān)系:相關(guān)關(guān)系。 回歸分析是研究相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)工具??蓭椭?人們從一個變量的取值去估計另一個變量的值。 9.3.1 一元線性回歸 設(shè)隨機(jī)變量Y (因變量)與x (自變量)之間有某種 相關(guān)關(guān)系,且對每個固定的x, Y 都有確定的分布。,如:身高 x =165cm 的成年男性的體重Y 是一個隨機(jī)變量, 有其分布; 某路口上午 6:30 7:30的車流量Y是一個隨機(jī)變量,也有它的分布。, 預(yù)測問題:在給定的置信度下,估計出 x 取某一定 值x0時,隨機(jī)變量 Y 的取值情況; 控制問題:在給定的置信度下,控制自變量 x 的取 值范圍,使 Y 在給定的范圍內(nèi)取值。,若Y 的數(shù)學(xué)期望存在,且為 x 的函數(shù),記為 (x),則稱 (x)為Y 關(guān)于 x 的回歸函數(shù),簡稱回歸。,若 (x)為x 的線性函數(shù),就稱 (x) 為線性回歸;若 (x) 為 x 的多項式,就稱 (x) 為多項式回歸, 。,回歸分析的任務(wù)是:根據(jù)試驗數(shù)據(jù),估計 (x) 的形式, 并將其用于預(yù)測或控制問題, 或兩者兼有。,對于 x,取一組不完全相同的值 x1, x2, , xn, 設(shè)Y1, Y2, , Yn 分別為 x 在 x1, x2, , xn 處的觀測結(jié) 果,稱 (x1, Y1), (x2, Y2), , (xn , Yn ) 為一個樣本。 相應(yīng)的取值為樣本值,記成: (x1, y1 ), (x2, y2), , (xn , yn ) (3.1),從散點(diǎn)圖可粗略地看出 (x) 的形式。,我們要解決的問題是:如何利用樣本值(3.1)來估計 關(guān)于 x 的回歸函數(shù) (x)。為此,首先要推測 (x)的形式。在一些實際問題中,可根據(jù)專業(yè)知識,了解 (x)的形式。否則,要將每對觀測值(x, y)點(diǎn)繪在平面直角坐標(biāo)系中,得到 與 x 關(guān)系的散點(diǎn)圖。,從散點(diǎn)圖可看出: (x) 近似為 x 的線性函數(shù), 即近似地有 (x) = a+bx。此時估計 (x) 的問題稱為一元線性回歸問題。,例1:為研究某一化學(xué)反應(yīng)過程中溫度 x (單位: C )對產(chǎn)品得率 Y (%) 的影響,測得數(shù)據(jù)如表:,對于某個區(qū)間內(nèi)固定的 x,設(shè) Y N(a+b x, 2), 其中 a, b 和2是未知的,但都不依賴于 x 的參數(shù)。 記 = Y-(a+b x),則 Y= a+b x +, N(0, 2 ) . (3.2) 稱上式為一元線性回歸模型,b 為回歸系數(shù)。,(3.2) 式表明:因變量Y 由兩部分組成:一部分是 x 的線性函數(shù) (x)= a+bx,稱為 x 的線性回歸函數(shù);一部分是 N(0, 2 ),稱為隨機(jī)誤差。,9.3.2 a、b的估計,取 n 個不全相同的 x1,x2,xn作獨(dú)立試驗,得樣本 (x1, Y1),(x2, Y2),(xn, Yn ), 由(3.2)式, Yi= a+bxi + i , i N(0, 2);各i獨(dú)立. (3.3) 于是,Yi N(a+bxi , 2), i=1, 2, , n。 Y1,Y2,Yn的聯(lián)合概率密度為,利用極大似然估計法估計未知參數(shù) a 和 b。,于是,“求L的最大值”問題就變成了“求Q的最小值” 問題 (問題變簡單了!)。,令,稱該方程組為正規(guī)方程組。,由于x1,x2,xn不全相同,故,正規(guī)方程組的系數(shù)行列式,得如下方程組:,故,正規(guī)方程組(3.7)有唯一解:,為計算上的方便, 引入如下記號:,(3.11),這樣,a, b的估計值可寫成,例2 (續(xù)例1):測得溫度 x 對產(chǎn)品得率Y 的數(shù)據(jù)如下:,求Y 關(guān)于 x 的線性回歸方程。,解:現(xiàn)在 n=10, 為求回歸方程,需計算下列表中的數(shù)據(jù)。,回歸直線方程為,根據(jù)上表可以計算,于是,,9.3.3 2的估計,由 Y=a+bx+, N(0, 2 ),即 =Y- ( a+bx); 得到 EY (a+bx)2 = E(2)=D(2)+E()2= 2. 這表示 2越小, 以回歸函數(shù) (x)=a+bx 作為Y 的近似 所導(dǎo)致的均方誤差就越小。這樣,利用回歸函數(shù)來 估計Y就越有效。,然而 2未知,需要用樣本來估計。為此,引入殘差平方和的概念。,Qe是經(jīng)驗回歸函數(shù) (x)=ax+b 在 xi 處的函數(shù)值 與處的觀察值 yi 的偏差的平方和。 為計算Qe,我們將其分解如下:,由(3.8)式知,b, a的估計量為,若記,服從如下分布:,這樣,就得到了 2 的無偏估計量,注:在計算 a, b和 2 的估計 時,先要計算三個量:Sxx, SxY 和 SYY。計算過程見如下例3。,例3 (續(xù)例2):求 2 的無偏估計。 解:根據(jù)上頁的表,可以得到,9.3.4 線性假設(shè)的顯著性檢驗,在上述討論中,我們假定 Y 關(guān)于 x 的回歸 (x) 具有 a+bx 的形式。在處理實際問題時, (x)是否為 x 的線性函數(shù),首先要根據(jù)有關(guān)專業(yè)知識判斷和實踐 來判斷;其次, 要根據(jù)實際觀察到的數(shù)據(jù),用假設(shè)檢 驗的方法來判斷。,這就是說,求得的線性回歸方程是否有實用價值,只有通過假設(shè)檢驗才能確定。,若線性模型(3.2)符合實際,即 Y= a+bx + , N(0, 2 ) 成立,則 b 不為零。因為若b=0,則 (x)=a+ 就不 再依賴于 x 。,因此,我們需要檢驗假設(shè) H0 :b=0, H1 :b0. (3.19),可以證明:,又由(3.17)和(3.18)式, 知,當(dāng) H0為真時,b=0,此時,即得 H0 的拒絕域為:,幾點(diǎn)說明: 1. 在H0:b=0被拒絕時,認(rèn)為回歸效果是顯著的;否則,認(rèn)為回歸效果是不顯著的; 2. 回歸效果不顯著的原因可能是: 影響Y 取值的,除 x 和隨機(jī)誤差外,可能還有其他因素; E(Y )與 x 的關(guān)系可能不是線性的; Y 與 x 可能不存在關(guān)系。 因此,需要進(jìn)一步地分析原因,進(jìn)行處理。,例4 (續(xù)例2): 取 =0.05,檢驗回歸模型是否顯著。 解:由例2、例3,知,9.3.5 系數(shù)b的置信區(qū)間 在回歸效果顯著時,還要對系數(shù) b 做區(qū)間估計。事實上,根據(jù) (3.22) 式,知 b 的置信水平為1- 的置信區(qū)間是 根據(jù)數(shù)據(jù),知 b 的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間是:,9.3.6 回歸函數(shù) (x0)=a+bx0的點(diǎn)估計和置信區(qū)間,設(shè) x0 是自變量 x 的某個指定值。由(3.9)式,可以 用經(jīng)驗回歸函數(shù) 在 x0的函數(shù)值,作為回歸函數(shù) (x0)=a+bx0的點(diǎn)估計。,考慮相應(yīng)的估計量,知此估計量是無偏的。,下面求 (x0)= a+bx0 的區(qū)間估計。,由本章附錄三, 知,再由(3.21)式的,知,即,由此可以得到 (x0)=a+bx0的置信水平為1- 的置信區(qū)間為:,該置信區(qū)間的長度是 x0 函數(shù),隨 的增加而增加,當(dāng) 時最短。,或,9.3.7 Y 的觀察值的點(diǎn)預(yù)測和預(yù)測區(qū)間,若我們對指定點(diǎn) x=x0 處因變量Y 的觀測值 Y0 感興趣,然而在 x=x0 處并未對 Y 進(jìn)行觀測,或無法觀察。這時,經(jīng)驗回歸函數(shù)的一個重要應(yīng)用是: 可利用它對因變量 Y 的觀察值Y0進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測。,若 Y0 是在 x=x0 處對Y 的觀測結(jié)果,由(3.2)式知道其滿足 Y0= a+bx0 + 0, 0 N(0, 2). (3.30),我們用 Y 在 x0 處的經(jīng)驗回歸函數(shù)值,作為Y0= a+bx0 + 0 的點(diǎn)預(yù)測。,由于 Y 0是將要做的一次獨(dú)立試驗的結(jié)果,因此, 它與已經(jīng)得到的結(jié)果 Y1,Y2,Yn相互獨(dú)立。由(3.15) 式,知 是 Y1, Y2, ,Yn 的線性組合。所以, 是Y1, Y2, ,Yn的線性組合。故,Y0 與 相互獨(dú)立。 由此,得,故,Y0的置信系數(shù)為1- 的預(yù)測區(qū)間為:,再由(3.21), (3.31)式, 得,或,區(qū)間的長度是 x0 的函數(shù),隨 的增加而增加。, Y0 =a+bx0 +0 的置信系數(shù)為1- 的預(yù)測區(qū)間為:,比較(3.29) 與 (3.32) 后發(fā)現(xiàn):, (x0)=a+bx0的置信水平為1- 的置信區(qū)間為:,后者比前者寬。,這也符合常理。因為后者是Y0 的預(yù)測區(qū)間,Y0 中多含了未知項 0 。多估計了未知項,區(qū)間自然地需加寬。,例5 (續(xù)例2):(1) 求回歸函數(shù)在 x=125 處的值 (125)的 置信水平為0.95的置信區(qū)間;(2) 求Y 在 x=125 處觀察 值Y0 的置信水平為0.95的預(yù)測區(qū)間。 解:由前面的例,知,查表,得 tn-2(/2)。于是,,(1) 回歸函數(shù)在 x=125 處的值 (125)的置信水平為0.95 的置信區(qū)間為:57.640.84= 56.80, 58.48; (2) Y 在 x=125 處觀察值Y0的置信水平為0.95的預(yù)測區(qū)
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