人大版微積分第二章無窮大量與無窮小量.ppt

莫興德 廣西大學(xué) 數(shù)信學(xué)院,Email:,微 積 分,鏈接目錄,第二章 極限與連續(xù),數(shù)列極限 函數(shù)極限 變量極限 無窮大與無窮小 極限的運算法則 兩個重要的極限 函數(shù)的連續(xù)性,2.4 無窮大量與無窮小量,一. 無窮小量,定義1：以0為極限的變量,稱為無窮小量（無窮?。?。 定義2：0,某個時刻，在此時刻以后， |y| ,恒成立. 則稱y在此變化過程為無窮小量（無窮小）。,無窮小量,注意,（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).,對于xx0： 0,0，使得當00,M0，使得當|x|M時, |f(x)|,恒成立.,無窮小量,例如：,2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,意義,（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);,3、無窮小的運算性質(zhì):,定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,證,注意 無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,證,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,二. 無窮大量,二. 無窮大量,定義1：絕對值無限增大的變量稱為無窮大量. 定義2：E0,某個時刻，在此時刻以后， |y|E,恒成立. 則稱y在此變化過程為無窮大量（無窮大）。 記為：limy= 同理可定義： 正無窮大 limy=+ 負無窮大 limy=-,無窮大量,對于xx0： E0,0，使得當0E,恒成立. 對于x： E0,M0，使得當|x|M時, |f(x)|E,恒成立.,特殊情形：正無窮大，負無窮大,注意,（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.,不是無窮大,無界，,證,三、無窮小與無窮大的關(guān)系,定理 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.,證,意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,四. 無窮小量的階,四. 無窮小量的階,例如,觀察各極限,不可比.,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,定義：,是相同一過程的兩個無窮小量.如果 :,例1,解,例2,解,常用等價無窮小:,注,上述10個等價無窮?。òǚ?、對、冪、指、三）必須熟練掌握,用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:,一般地有,即與等價,與互為主要部分,例如,等價無窮小替換,定理(等價無窮小替換定理),證,意義,求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單的無窮小代替，以簡化計算。具體代換時，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換。,例3,解,注意,不能濫用等價無窮小代換.,對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.,等價關(guān)系具有：自反性，對稱性，傳遞性,例4,解,錯,解,例5,解,例6 求,解一,解二,解三,例7 求,解,關(guān)于1型極限的求法,五. 小結(jié),1、主要內(nèi)容:,兩個定義;四個定理;三個推論.,2、幾點注意:,無窮小與無窮大是相對于過程而言的.,（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；,（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮?。?（3） 無界變量未必是無窮大.,思考題,思考題解答,不能保證.,例,有,一、填空題:,練 習 題,練習題答案,1.無窮小的比較:,反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較.,高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.,2.等價無窮小的替