高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一學(xué)案含解析新人教A版選修1.docx

2.1橢圓2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)過程.2.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義思考給你兩個(gè)圖釘，一根無彈性的細(xì)繩，一張紙板，一支鉛筆，如何畫出一個(gè)橢圓？答案在紙板上固定兩個(gè)圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長(zhǎng)大于兩圖釘間的距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動(dòng)筆尖即可畫出橢圓梳理(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(2)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.(3)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.(4)幾何表示：|MF1|MF2|2a(常數(shù))且2a|F1F2|.知識(shí)點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程思考在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中abc一定成立嗎？答案不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小關(guān)系不確定梳理焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b21到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓()2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程只與橢圓的形狀、大小有關(guān)，與位置無關(guān)()3橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式中，雖然焦點(diǎn)位置不同，但都具備a2b2c2.()類型一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題角度1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2)，B；(2)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，且與橢圓1有共同的焦點(diǎn)考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)方法一當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，點(diǎn)A(0,2)，B在橢圓上，解得這與ab相矛盾，故應(yīng)舍去當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，點(diǎn)A(0,2)，B在橢圓上，解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.方法二設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2ny21(m0，n0，mn)點(diǎn)A(0,2)，B在橢圓上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2)方法一橢圓1的焦點(diǎn)為(4,0)和(4,0)，可設(shè)橢圓的方程為1(ab0)由橢圓的定義可得2a，2a12，即a6.c4，b2a2c2624220，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(9)，將x3，y代入上面的橢圓方程，得1，解得11或21(舍去)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思與感悟求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法，即根據(jù)橢圓的定義，判斷出軌跡是橢圓，然后寫出其方程(2)待定系數(shù)法先確定焦點(diǎn)位置；設(shè)出方程；尋求a，b，c的等量關(guān)系；求a，b的值，代入所設(shè)方程特別提醒：若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0)跟蹤訓(xùn)練1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；(3)經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，Q(，2)考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由橢圓的定義知，2a2，即a.又c2，b2a2c26.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(3)設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，且mn)，點(diǎn)P(2，1)，Q(，2)在橢圓上，代入得所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.命題角度2由標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)(或其取值范圍)例2若方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案(0,1)解析方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，將方程改寫為1，有解得0m1.反思與感悟(1)利用橢圓方程解題時(shí)，一般首先要化成標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)1表示橢圓的條件是表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的條件是表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的條件是跟蹤訓(xùn)練2(1)已知方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案(7,10)解析化成橢圓標(biāo)準(zhǔn)形式得1，根據(jù)其表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得解得7k且m1.1平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|MF2|2a，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a0，B0，AB)求解，避免了分類討論，達(dá)到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.一、選擇題1設(shè)橢圓1(m1)上一點(diǎn)P到其左、右焦點(diǎn)的距離分別為3和1，則m等于()A6B3C2D4考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案C解析m2m21，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，am，則2m314，m2.2設(shè)P是橢圓1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則PF1F2是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)焦點(diǎn)三角形中的問題答案B解析由橢圓定義知|PF1|PF2|2a8，不妨設(shè)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，PF1F2為直角三角形3已知橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)，那么k的值為()A1B1C.D考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案A解析原方程可化簡(jiǎn)為x21，由c214，得k1.4橢圓1上的一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于()A2B8C4D.考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用答案C解析如圖，F(xiàn)2為橢圓右焦點(diǎn)，連接MF2，則ON是F1MF2的中位線，|ON|MF2|，又|MF1|2，|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4.5已知P為橢圓C上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，且|F1F2|2，若|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)為|F1F2|，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1或1C.1D.1或1考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案B解析由已知2c|F1F2|2，所以c.因?yàn)?a|PF1|PF2|2|F1F2|4，所以a2，所以b2a2c29.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.6曲線1與1(0k9)的關(guān)系是()A有相等的焦距，相同的焦點(diǎn)B有相等的焦距，不同的焦點(diǎn)C有不等的焦距，不同的焦點(diǎn)D以上都不對(duì)考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)、焦距答案B解析曲線1焦點(diǎn)在x軸上對(duì)于曲線1，0k9k0，焦點(diǎn)在y軸上，故兩者的焦點(diǎn)不同259(25k)(9k)16c2，2c8，故兩者焦距相等故選B.7方程1表示橢圓的必要不充分條件是()Am(1,2)Bm(4,2)Cm(4，1)(1,2)Dm(1，)考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案B解析方程1表示橢圓的充要條件是即m(4，1)(1,2)由題意可得，所求m的取值范圍包含集合(4，1)(1,2)觀察選項(xiàng)，故選B.8已知橢圓y21的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在該橢圓上，且0，則點(diǎn)M到x軸的距離為()A.B.C.D.考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)焦點(diǎn)三角形中的問題答案C解析0，由|MF1|MF2|4，又|MF1|2|MF2|2(2)212，由與可得，|MF1|MF2|2，設(shè)M到x軸的距離為h，則|MF1|MF2|F1F2|h，h.9已知橢圓1的左焦點(diǎn)為F，一動(dòng)直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則FMN的周長(zhǎng)的最大值為()A16B20C32D40考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)焦點(diǎn)三角形中的問題答案D解析設(shè)右焦點(diǎn)為A，一動(dòng)直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則FMN的周長(zhǎng)l|MN|MF|NF|MN|2a|MA|2a|NA|4a(|MN|MA|NA|)，由于|MA|NA|MN|，所以當(dāng)M，A，N三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)MN的周長(zhǎng)取得最大值4a40.二、填空題10橢圓1的焦距是2，則m的值是_考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)給條件確定橢圓方程中的參數(shù)(或其范圍)答案3或5解析當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1.m41，m5.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a24，b2m，c24m1，m3，m3或5.11已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案1解析方法一依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且可知左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，則解得b212或b23(舍去)，從而a216.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.12已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且.若PF1F2的面積為9，則b_.考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)焦點(diǎn)三角形中的問題答案3解析由橢圓定義，得|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.又，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，即4c22|PF1|PF2|4a2，|PF1|PF2|2b2，|PF1|PF2|2b2b29，又b0，b3.三、解答題13求過點(diǎn)(0,4)且與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解由9x24y236，得1，則c，焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求橢圓方程為1，則a4，b2a2c211，所求橢圓方程為1.四、探究與拓展14已知點(diǎn)P在橢圓上，且P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為5,3.過P且與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線恰好經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解方法一設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，由已知條件得解得所以b2a2c212.于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.方法二設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.由題意知2a|PF1|PF2|358，所以a4.在方程1中，令xc，得|y|；在方程1中，令yc，得|x|.依題意有3，得b212.于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.15已知橢圓1(ab