講矩陣的代數(shù)運算和數(shù)據(jù)分析.ppt

第六講 矩陣的代數(shù)運算 和數(shù)據(jù)分析,2019年9月20日星期五,2019年9月20日星期五,,2,第六講 矩陣的代數(shù)運算 和數(shù)據(jù)分析,6.1 矩陣的代數(shù)運算 6.2 數(shù)據(jù)分析,2019年9月20日星期五,,3,6.1 矩陣的代數(shù)運算,e i g ( A ) 求包含矩陣A的特征值的向量。 X , D = e i g ( A ) 產(chǎn)生一個矩陣A的特征值在對角線上的對角矩陣D和矩陣X，它們的列是相應(yīng)的特征向量，滿足A X=X D。為了得到有更好條件特征值的矩陣要進行相似變換。,2019年9月20日星期五,,4,6.1矩陣的代數(shù)運算,d e t ( A ) 求方陣A的行列式。 r a n k ( A ) 求A的秩，即A中線性無關(guān)的行數(shù)和列數(shù)。 i n v ( A ) 求方陣A的逆矩陣。如果A是奇異矩陣或者近似奇異矩陣，則會給出一個錯誤信息。,2019年9月20日星期五,,5,6.1矩陣的代數(shù)運算,線性系統(tǒng)的求解和L U分解 M AT L A B用如下命令求解系統(tǒng)A x = b：則 x = A b。如果A是一個奇異矩陣，或者是近似奇異矩陣，則會給出一個錯誤信息。 L U分解方法就是令A(yù) = L U，其中U是一個上三角矩陣， L是一個帶有單位對角線的下三角矩陣。然而為了保證計算的穩(wěn)定性可以使用部分主元法。也就是說，L通常是一個改變序列的下三角矩陣。,2019年9月20日星期五,,6,6.1矩陣的代數(shù)運算, L , U = l u ( A ) 求上三角矩陣U和交換下三角矩陣L。L是一個帶有單位對角線 的下三角矩陣和交換矩陣，即P的逆矩陣的乘積，見下個命令。 L , U , P = l u ( A ) 求上三角矩陣U、有單位對角線的下三角矩陣L和交換矩陣P，滿足L U = PA。,2019年9月20日星期五,,7,6.1矩陣的代數(shù)運算,Q R分解。 假設(shè)A是nn的矩陣，那么A就可以分解成：A = Q R ，其中Q是一個正交矩陣， R是一個大小和A相同的上三角矩陣，因此A x = b可以表示為 Q R x = b或者等同于：R x = Q b 。這個方程組的系數(shù)矩陣是上三角的，因此容易求解。和高斯消元法比較， Q R因式分解的主要優(yōu)點在于有更高的穩(wěn)定性，然而它的數(shù)學(xué)運算更麻煩一些。,2019年9月20日星期五,,8,6.1矩陣的代數(shù)運算, Q , R = q r ( A ) 求得mm的矩陣Q和上三角矩陣R，Q的列形成了一個正交基，Q和R滿足A = Q R。 Q , R , P = q r ( A ) 求得矩陣Q、上三角矩陣R和交換矩陣P。Q的列形成一個正交基，R的對角線元素按大小降序排列，它們滿足A P=Q R。 Q , R = q r ( A , 0 ) 求矩陣A的Q R因式分解。如果在mn的矩陣A中行數(shù)小于列數(shù)，則給出Q的前n列，因此Q的大小和A相同。也能得到交換矩陣。,2019年9月20日星期五,,9,6.1矩陣的代數(shù)運算,向量范數(shù) n o r m ( x ) 求歐幾里得范數(shù)。 n o r m ( x , i n f ) 求無窮范數(shù)，即| | x | | = m a x ( a b s ( x ) )。 n o r m ( x , 1 ) 求1 -范數(shù)。 n o r m ( x , p ) 求p -范數(shù)， 。 n o r m ( x ,i n f ) 求向量x的元素的絕對值的最小值，即m i n ( a b s ( x ) )。注意，這不是向量的范數(shù)。,2019年9月20日星期五,,10,6.1矩陣的代數(shù)運算,矩陣范數(shù) n o r m ( A ) 求歐幾里得范數(shù)| | A | |2， n o r m ( A , 1 ) 求列范數(shù)| | A | |1，等于A的列向量的1 -范數(shù)的最大值。 n o r m ( A , 2 ) 求歐幾里得范數(shù)| | A | |2，和n o r m ( A )一樣。 n o r m ( A , i n f ) 求行范數(shù)| | A | | (inf)，等于A的行向量的1 -范數(shù)的最大值。,2019年9月20日星期五,,11,6.1矩陣的代數(shù)運算,c o n d ( A ) 求A的歐幾里得范數(shù)的條件數(shù)。 c o n d ( A , p ) 求p-范數(shù)的條件數(shù)， p的值可以是1、2、或者inf,2019年9月20日星期五,,12,6.2 數(shù)據(jù)分析,1.最大值和最小值 m a x ( x ) 返回x中最大的元素值，如果x是復(fù)數(shù)，則返回m a x ( a b s ( x ) )值。 m a x ( A ) 返回一個行向量，它的第i個元素是A中第i列的最大的元素；如果A為復(fù)數(shù)時，則返回m a x ( a b s ( A ) )值。,2019年9月20日星期五,,13,6.2 數(shù)據(jù)分析, y , i n d = m a x ( A )返回一個行向量，它的第i個元素是A中第i列的最大的元素；并在行向量i n d中保存每列的最大數(shù)的行下標。 m a x ( A , B ) 返回一個和A、B相同維數(shù)的矩陣，每一元素都是在A和B中的相同位置上是最大的元素。,2019年9月20日星期五,,14,6.2 數(shù)據(jù)分析,max(A , k)將A中小于k的數(shù)換成k。 m i n ( x ) 返回向量x中最小的元素。該命令關(guān)于矩陣的操作和m a x一樣，如果x是復(fù)數(shù)，則返回m i n ( a b s ( x ) )值。,2019年9月20日星期五,,15,6.2 數(shù)據(jù)分析,2.求和、乘積和差分 s u m ( x ) 返回向量x所有元素的和。 s u m ( A ) 返回一個包含矩陣A各列元素之和的行向量。 c u m s u m ( x ) 返回一個x中元素累計和的向量，也就是第2個元素是x中前兩個元素之和，以此類推。,2019年9月20日星期五,,16,6.2 數(shù)據(jù)分析,c u m s u m ( A ) 返回一個與A同樣大小的矩陣，它的列是A中列的累計和。 3. 乘積 p r o d ( x ) 返回x中各元素乘積。 p r o d ( A ) 返回一個元素是列乘積的多維矩陣。,2019年9月20日星期五,,17,6.2 數(shù)據(jù)分析,cumprod ( x ) 返回一個x中各元素累計積的向量，也就是第2個元素是x中前兩個元素的累計積，以此類推。 cumprod ( A ) 返回一個矩陣，其中列元素是A中列元素的累計積。,2019年9月20日星期五,,18,6.2 數(shù)據(jù)分析,4. 差分和梯度 diff ( x ) 給出一個長度為n1的向量，它的元素是長度為n的向量x中相鄰的元素的差。如果x= (x1 x2. . . xn)，則d i f f( x )= (x2x1 x3x2. . . xnxn1)。 diff ( A ) 對A按列作差分。就是d i f f ( A ) = A ( 2 : m , : )A ( 1 : m1 , : )。 diff ( x , k ) 求出第k次差分， d i f f ( x , 2 )和d i f f ( d i f f ( x ) )等價。,2019年9月20日星期五,,19,6.2 數(shù)據(jù)分析,5. 平均值、中值和標準差 m e a n ( x ) 求出向量x的算術(shù)平均值。 m e a n ( A) 返回按列求算術(shù)平均值的行向量。 m e d i a n ( x ) 求出向量x中元素的中值。 m e d i a n ( A )返回按列求中值的行向量。 s t d ( x ) 求出向量x中元素的標準差。 s t d ( A)返回按列求標準差的行向量。,2019年9月20日星期五,,20,6.2 數(shù)據(jù)分析,6. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) cov ( x ) 求向量x的協(xié)方差。 cov ( A ) 求協(xié)方差矩陣，對角線元素是A中各列的方差。 cov ( x , y ) 等同于cov(x y)，x和y是列向量。 corrcoef ( A ) 求相關(guān)矩陣。 corrcoef ( x , y ) 等同于corrcoef(x y) ，x和y是列向量。,2019年9月20日星期五,,21,6.2 數(shù)據(jù)