高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))課件 D6_3物理應(yīng)用

,第三節(jié),一、 變力沿直線所作的功,二、 液體的側(cè)壓力,三、 引力問(wèn)題,四、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (補(bǔ)充),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用,第六章,一、 變力沿直線所作的功,設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 xa 移動(dòng)到,力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功 .,在其上所作的功元,素為,因此變力F(x) 在區(qū)間,上所作的功為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1.,一個(gè)單,求電場(chǎng)力所作的功 .,解:,當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為,則功的元素為,所求功為,說(shuō)明:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷 a 處移動(dòng)到 b 處 (a b) ,在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,例2.,體,求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所,解:,由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從,點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖),作的功 .,建立坐標(biāo)系如圖.,由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng),p 與體積 V 成反比 , 即,功元素為,故作用在活塞上的,所求功為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,力為,在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣,例3.,試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,在任一小區(qū)間,上的一薄層水的重力為,這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為,故所求功為,( KJ ),設(shè)水的密度為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(KN),一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m,面積為 A 的平板,二、液體側(cè)壓力,設(shè)液體密度為 ,深為 h 處的壓強(qiáng):,當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,平板一側(cè)所受的壓力為,小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng),例4., 的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力.,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,所論半圓的,利用對(duì)稱性 , 側(cè)壓力元素,端面所受側(cè)壓力為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,方程為,一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為,說(shuō)明:,當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為,側(cè)壓力元素,故端面所受側(cè)壓力為,奇函數(shù),( P350 公式67 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、 引力問(wèn)題,質(zhì)量分別為,的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,二者間的引力 :,大小:,方向:,沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線,若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需用積分解決 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5.,設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M,該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,細(xì)棒上小段,對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為,故垂直分力元素為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在,試計(jì)算,利用對(duì)稱性,棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為,棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為,說(shuō)明:,2) 若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿 y 軸從 a 處,1) 當(dāng)細(xì)棒很長(zhǎng)時(shí),可視 l 為無(wú)窮大 ,此時(shí)引力大小為,方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .,移到 b (a b) 處時(shí)克服引力作的功,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,則有,引力大小為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,注意正負(fù)號(hào),3) 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時(shí),四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (補(bǔ)充),質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,的質(zhì)點(diǎn)系,若考慮物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 , 則需用積分解決 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,例6., 求圓盤對(duì)通過(guò)中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ;, 求圓盤對(duì)直徑所在軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,設(shè)圓盤面密度為 .,小圓環(huán)質(zhì)量,對(duì)應(yīng)于,的小圓環(huán)對(duì)軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,故圓盤對(duì)軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè)有一個(gè)半徑為 R , 質(zhì)量為 M 的均勻圓盤 ,平行 y 軸的細(xì)條,關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為,細(xì)條質(zhì)量:,故圓盤對(duì)y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束, 取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸, 建立坐標(biāo)系如圖.,內(nèi)容小結(jié),(1) 先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式 dQ,一般微元的幾何形狀有:,扇、片、殼 等.,(2) 然后用定積分來(lái)表示整體量 Q , 并計(jì)算之.,1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:,2.定積分的物理應(yīng)用:,變力作功 ,側(cè)壓力 ,引力,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,條、段、環(huán)、帶、,(99考研),思考與練習(xí),提示: 作 x 軸如圖.,1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每,在提升過(guò)程中污泥,以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s ,問(wèn),克服重力需作多少焦耳( J ) 功?,已知井深30 m ,抓斗自重400N ,將抓起污泥的抓斗由,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,抓起污,x 提升 dx 所作的功為,米重50N ,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉,克服纜繩重:,抓斗升至 x 處所需時(shí)間 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,克服抓斗自重:,2. 設(shè)星形線,上每一點(diǎn)處線密,度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的立方,提示: 如圖.,在點(diǎn)O 處有一單,位質(zhì)點(diǎn) ,求星形線在第一象限的弧段對(duì)這質(zhì)點(diǎn)的引力.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,同理,故星形線在第一象限的弧段對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的,習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,引力大小為,作業(yè): P287 2 , 3 , 5 , 9 , 12,銳角 取多大時(shí), 薄板所受的壓力 P 最大 .,備用題,斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板, 垂直