清北學(xué)堂講義 高中物理競(jìng)賽解題方法 14近似法

- 1 - 高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法   十四、近似法  方法簡(jiǎn)介   近似法是在觀察物理現(xiàn)象、進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)、建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律和求解物理問題時(shí)，為了分析認(rèn)識(shí)所研究問題的本質(zhì)屬性，往往突出實(shí)際問題的主要方面，忽略某些次要因素，進(jìn)行近似處理 .在求解物理問題時(shí)，采用近似處理的手段簡(jiǎn)化求解過程的方法叫近似法 .近似法是研究物理問題的基本思想方法之一，具有廣泛的應(yīng)用 .善于對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行合理的近似處理，是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一 .縱觀近幾年的物理競(jìng)賽試題和高考試題，越來越多地注重這種能力的考查 . 賽題精講   例 1：一只 狐貍以不變的速度 1 沿著直線 AB 逃跑，一只獵犬  以不變的速率 2 追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍 .某時(shí)刻狐貍在 F 處，  獵犬在 D 處， FD AB，且 FD=L，如圖 14 1 所示，求獵犬的加速  度的大小 .  解析 ：獵犬的運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，  故獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心加速度 rra ,22 為獵  犬所在處的曲率半徑，因?yàn)?r 不斷變化，故獵犬的加速度  的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬 在 D 處的加  速度大小，由于 2 大小不變，如果求出 D 點(diǎn)的曲率半徑，  此時(shí)獵犬的加速度大小也就求得了 .  獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小和方向都在不斷改變 .在所求時(shí)刻開始的一段很短的時(shí)間 t 內(nèi)，獵犬運(yùn)動(dòng)的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為 R，則加速度   a R22   其方向與速度方向垂直，如圖 14 1 甲所示 .在 t 時(shí)間內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別  到達(dá)DF 與 ，獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過的角度為 2 t /R  而狐貍跑過的距離是： 1 t L       因而 2 t /R 1 t /L， R=L 2 / 1  圖 14 1 圖 14 2 甲  清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 2 -  所以獵犬的加速度大小為 a R22 = 1 2 /L  例 2  如圖 14 2 所示，岸高為 h ，人用繩經(jīng)滑輪拉船靠岸，若當(dāng)繩與水平方向?yàn)?時(shí)，收繩速率為 ，則該位置船的速率為多大？         解析   要求船在該位置的速率即為瞬時(shí)速率，需從該時(shí)刻起取一小段時(shí)間求它的平均速率，當(dāng)這一小段時(shí)間趨于零時(shí)，該平均速率就為所求速率 .  設(shè)船在 角位置經(jīng) t 時(shí)間向左行駛 x 距離， 滑輪右側(cè)的繩長(zhǎng)縮短 L ，如圖 14 2甲所示，當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時(shí)， ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有  L = cosx   兩邊同除以 t 得： costxtL ，即收繩速率 cos船   因此船的速率為 cos船  例 3   如圖 14 3 所示，半徑為 R，質(zhì)量為 m 的圓形繩圈，  以角速率 繞中心軸 O 在光滑水平面上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩中的張  力為多大？   解析    取繩上一小段來研究，當(dāng)此段弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角 很小時(shí)，有近似關(guān)系式.sin   若取繩圈上很短的一小段繩 AB= L 為研究對(duì)象，設(shè)這段繩所對(duì)應(yīng)的圓心角為 ，這段繩兩端所受的張力分別為 AT 和 BT （方向見圖 14 3 甲），因?yàn)槔K圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，無切向加速度，所以 AT 和 BT 的大小相等，均等于 T. AT 和 BT 在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)這段繩子的質(zhì)量為 m ，根據(jù)牛頓第二定律有： RmT 22sin2 ；   因?yàn)?L 段很短，它所對(duì)應(yīng)的圓心角 很小所以22sin  將此近似關(guān)系和 22 mRmRm   代入上式得繩中的張力為 2 2RmT  圖 14 2 圖 14 2 甲  圖 14 3 圖 14 3 甲  清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 3 -  例 4  在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道  ABC，光滑小球從頂點(diǎn) A 處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到  端點(diǎn) C 處所需時(shí)間，恰好等于小球從頂點(diǎn) A 處自靜止出發(fā)自  由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn) C 處所需的時(shí)間 .這里假設(shè)鉛垂軌  道 AB 與水平軌道 BC 的交接處 B 有極小的圓弧，可確保小  球無碰撞的拐彎，且拐彎時(shí)間可忽略不計(jì) .  在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖 14 4 中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓弧（作用同上），軌道均從 A 點(diǎn)出發(fā)到 C 點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從 A 點(diǎn)滑行到 C 點(diǎn)所經(jīng)時(shí)間的上限與下限之比值 .  解析   直角三角形 AB、 BC、 CA 三邊的長(zhǎng)分別記為   1l 、 2l 、 3l ，如圖 14 4 甲所示，小球從 A 到 B 的時(shí)間  記為 1T ，再從 B 到 C 的時(shí)間為 2T ，而從 A 直接沿斜邊到 C 所經(jīng)歷的時(shí)間記為 3T ，由題意知 321 TTT ，可得 1l ： 2l ： 3l =3： 4： 5，   由此能得 1T 與 2T 的關(guān)系 .  因?yàn)?11211 21 TgTlgTl  所以2121 2TTll   因?yàn)?1l ： 2l =3： 4，所以  12 32TT  小球在圖 14 4 乙中每 一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時(shí)間之和為 11 Tt ，經(jīng)各水平段所需時(shí)間之和記為 2t ，則從 A 到 C 所經(jīng)時(shí)間總和為 21 tTt ，最短的 2t 對(duì)應(yīng) t 的下限 mint ，最長(zhǎng)的 2t 對(duì)應(yīng) t 的上限 .maxt   小球在各水平段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分別為勻速運(yùn)動(dòng)，同一水平段路程放在低處運(yùn)動(dòng)速度大，所需時(shí)間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與 BC 重合）時(shí) 2t 最短，其值即為 2T ，故mint = .35 121 TTT    2t 的上限顯然對(duì)應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置，實(shí)現(xiàn)它的方案是垂直段每下降  清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 4 - 小量 1l ，便接一段水平小量 2l ，這兩個(gè)小量之間恒有 cot12 ll ，角 即為 ACB，水平段到達(dá)斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應(yīng)的水平量，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖所示的微齒形軌道，由于 1l 、 2l 均為小量，小球在其中的運(yùn)動(dòng)可處理為勻速率運(yùn)動(dòng)，分別所經(jīng)的時(shí)間小量 )(1it 與 )(2it 之間有如下關(guān)聯(lián)：   c ot)( )( 1212 llit it  于是作為 )(2it 之和的 2t 上限與作為 )(1it 之和的 1T 之比也為 .cot 故 2t 的上限必為1T cot ，即得： .37c o t 111m a x TTTt  這樣 :maxt mint =7:5  例 5  在光滑的水平面上有兩個(gè)質(zhì)量可忽略的相同彈簧，  它們的一對(duì)端點(diǎn)共同連接著一個(gè)光滑的小物體，另外一對(duì)端  點(diǎn) A、 B 固定在水平面上，并恰使兩彈簧均處于自由長(zhǎng)度狀  態(tài)且在同一直線上，如圖 14 5 所示 .如果小物體在此平面上  沿著垂直于 A、 B 連線的方向稍稍偏離初始位置，試分析判  斷它是否將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) ？   解析   因?yàn)橐粋€(gè)物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)就是要看它所受的回復(fù)力是否是一個(gè)線性力，即回復(fù)力的大小與位移大小成正經(jīng)，方向相反 .因此分析判斷該題中的小物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是求出所受的回復(fù)力的表達(dá)式（即此題中所受合外力的表達(dá)式） .  以 AB 中點(diǎn)為原點(diǎn)，過中點(diǎn)且垂直于 AB 的直線為 x 軸，如圖 14 5 甲所示，取 x 軸正方向?yàn)檎较?，小物體所受回復(fù)力為： sin)(2 0llkFx       其中 k 為彈簧的勁度系數(shù)， 0l 為彈簧的自由長(zhǎng)度， l 為彈簧伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度， 為彈簧伸長(zhǎng)后與 AB 直線的夾角 .由幾何知識(shí)可得   lxsin                         220 xll                     將、代入式得：   20320221220 0 )211(12)(12 lkxxlxkxxl lkF x  由此可見，小物體受的合外力是一個(gè)非線性回復(fù)力，因此小物體將不做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) .同時(shí)本  清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 5 - 題表明，平衡位置附近的小振動(dòng)未必都是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) .  例 6  三根長(zhǎng)度均為 m2 ，質(zhì)量均勻的直桿，構(gòu)成一正三角形框架 ABC， C 點(diǎn)懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng) .桿 AB 是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，如圖 14 6 所示，現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，而框架卻靜止不動(dòng)，試論證松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng) .  解析   松鼠在 AB 軌道運(yùn)動(dòng)，當(dāng)框架不動(dòng)時(shí)，松鼠受到軌道  給它的水平力 F作用，框架也受到松鼠給它的水平力 F 作用，  設(shè)在某一時(shí)刻，松鼠離桿 AB 的中點(diǎn) O 的距離為 x ，如圖  14 6 所示，松鼠在豎直方向?qū)?dǎo)軌的作用力等于松鼠受到的  重力 mg ， m 為松鼠的質(zhì)量 .以 C 點(diǎn)為軸，要使框架平衡，必須滿足  條件 FLFLm g x 2360si n ，松鼠對(duì) AB 桿的水平力為  )3/(2 LmgxF ，式中 L 為桿的長(zhǎng)度 .所以對(duì)松鼠而言，在其運(yùn)動(dòng)過程中，沿豎直方向受到的合力為 零，在水平方向受到桿 AB 的作用力為 F，由牛頓第三定律可知 F =F，即kxLmgxF )3/(2   其中Lmk 32  即松鼠在水平方向受到的作用力 F作用下的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是以 O 點(diǎn)為平衡位置的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)的周期為 .64.22/322 sgLkmT  當(dāng)松鼠運(yùn)動(dòng)到桿 AB 的兩端時(shí)，它應(yīng)反向運(yùn)動(dòng)，按簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律，速度必須為零，所以松鼠做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅小于或等于 L/2=1m.  由以上論證可知，當(dāng)框架保持靜止時(shí)，松鼠在導(dǎo)軌 AB 上的運(yùn)動(dòng)是以 AB 的中點(diǎn) O 為平衡位置，振幅不大于 1m、周期為 2.64s 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) .  例 7  在一個(gè)橫截面面積為 S 的密閉容器中，有一個(gè)質(zhì)量  為 m 的活塞把容器中的氣體分成兩部分 .活塞可在容器中無摩  擦地滑動(dòng)，活塞兩邊氣體的溫度相同，壓強(qiáng)都是 p ，體積分別  是 V1 和 V2，如圖 14 7 所示 .現(xiàn)用某種方法使活塞稍微偏離平  衡位置，然后放開，活塞將在兩邊氣體壓力的作用下來回運(yùn)動(dòng) . 容器保持靜止，整個(gè)系統(tǒng)可看做是恒溫的 .    （ 1）求活塞運(yùn)動(dòng)的周期，將結(jié)果用 p 、 V1、 V2、 m 和 S 表示；     （ 2）求氣體溫度 0t 時(shí)的周期 與氣體溫度 =30時(shí)的周期 之比值 .  解析   （ 1）活塞處于平衡時(shí)的位置 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) .0x 當(dāng)活塞運(yùn)動(dòng)到右邊距 O 點(diǎn) x 處時(shí)，左邊氣體的體積由 V1 變?yōu)?V1+Sx ，右邊氣體的體積由 V2 變?yōu)?V2 Sx ，設(shè)此時(shí)兩邊氣  清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 6 - 體的壓強(qiáng)分別為 1p 和 2p ，因系統(tǒng)的溫度恒定不變，根據(jù)玻意耳定律有：   222111 )()( pVSxVppVSxVp   而以上兩式解出：)1(2,)1(22221111VSxVpVpVSxVpVp                 按題意，活塞只稍許離開平衡位置，故上式可近似為： ),1(11 xVSpp  )1( 22 xVSpp ，于是活塞受的合力為 .)11()( 21221 xVVpSSpp 所以活塞的運(yùn)動(dòng)方程是 xVV VVpSxVVpSma 21 212212 )11(  其中 a 是加速度，由此說明活塞做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為)(2 212 21 VVpS VmV （ 2）設(shè)溫度為 t 時(shí)，周期為 ，溫度為 t 時(shí)，周期為 .由于 TpTp ，得出  TTTTVVpSVmVVVSpVmV )(2)(22122121221 所以TT，將數(shù)值代入得 95.0:  例 8  如圖 14 8 所示，在邊長(zhǎng)為 a 的正三角形三個(gè)  頂點(diǎn) A、 B、 C 處分別固定電量為 Q 的正點(diǎn)電荷，在其中  三條中線的交點(diǎn) O 上放置一個(gè)質(zhì)量為 m，電量為 q 的帶正  電質(zhì)點(diǎn)， O 點(diǎn)顯然為帶電質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，設(shè)該質(zhì)點(diǎn)沿某  一中線稍稍偏離平衡位置，試證明它將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求  其振動(dòng)周期 . 解析   要想證明帶電質(zhì)點(diǎn)是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則需證明  該帶電質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置時(shí)，所受的回復(fù)  力是否與它的位移大小成正比，方向相反 .因此該題的關(guān)鍵  是求出它所受回復(fù)力的表達(dá)式，在此題也就是合外力的表  達(dá)式 .   清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 7 - 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AOD 中線為坐標(biāo) x 軸，如圖  14 8 甲所示，設(shè)帶電質(zhì)點(diǎn)在該軸上偏移 x ， A 處 Q 對(duì)  其作用力為 1F ， B、 C 處兩個(gè) Q 對(duì)其作用的合力為 2F ，取 x 軸方向?yàn)檎较?. 有2221 )1()( rxrk Q qxrk Q qF  因?yàn)?aOCOBOAr 33   rxrx 21)1( 2 當(dāng) 很小時(shí)可忽略高次項(xiàng)所以 )361(3 21 axaQqkF  232222222)()2)(2)()2()()2(2xhaxhk Q qxhaxhxhak Q qF 2322 )24)(2 hxhaxhk Q q   （略去 2x 項(xiàng)）  232 )333)(2 axaxhk Q q  23232 )31()3)(2 xaaxhk Q q  )3231(36 3 xaa xhk Q q  )2 33(36 3 xhxahaQqk   （略去 2x 項(xiàng)）  )2 331(36 3 hxxahaQqk  清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 8 - )2 31(3 3 xaaQqk  因此帶電質(zhì)點(diǎn)所受合力為 qxaQkxaaxqaQkFFF x 3221 2 39)2 336(3 由此可知，合外力 xF 與 x 大小成正比，方向相反 . 即該帶電質(zhì)點(diǎn)將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)周期為k Q qamakmT 32322 例 9  欲測(cè)電阻 R 的阻值，現(xiàn)有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)電阻、一個(gè)電池  和一個(gè)未經(jīng)標(biāo)定的電流計(jì)，連成如圖 14 9 所示的電路 .第一次與  電流計(jì)并聯(lián)的電阻 r 為 50.00 ，電流計(jì)的示度為 3.9 格；第二  次 r 為 100.00 ，電流計(jì)的示度為 5.2 格；第三次 r 為 10.00 ，  同時(shí)將待測(cè)電阻 R 換成一個(gè) 20.00k 的標(biāo)準(zhǔn)電阻，結(jié)果電流計(jì)的  示度為 7.8 格 .已知電流計(jì)的示度與所通過的電流成正比，求電阻  R 的阻值 . 解析   在測(cè)試中，除待求量 R 外，電源電動(dòng)勢(shì) E，電源內(nèi)阻 r ，電流計(jì)內(nèi)阻 gR 以及電流計(jì)每偏轉(zhuǎn)一格的電流 0I ，均屬未知 .本題數(shù)據(jù) 不足，且電流計(jì)讀數(shù)只有兩位有效數(shù)字，故本題需要用近似方法求解 . 設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)為 E，電流計(jì)內(nèi)阻為 gR ，電流計(jì)每偏轉(zhuǎn)一格的電流為 0I ，用歐姆定律對(duì)三次測(cè)量的結(jié)果列式如下：  09.3150505050 IRRRrRRREggggg 02.511 0 01 0 01 0 01 0 0 IRRRrRRREggggg 08.7110102000010 10IRRRrRREggggg 從第三次測(cè)量數(shù)據(jù)可知，當(dāng)用 20k 電阻取代 R，而且 r 阻值減小時(shí)電流計(jì)偏轉(zhuǎn) 格數(shù)明顯增大，可推知 R 的阻值明顯大于 20k ，因此電源內(nèi)阻完全可以忽略不計(jì)，與 R 相比，電圖 14 9 清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 9 - 流計(jì)內(nèi)阻 gR 與 r 的并聯(lián)值對(duì)干路電流的影響同樣也可以忽略不計(jì)，故以上三式可近似為：  09.350 50 IRRE g    02.5100100 IRRE g    08.710 1020000 IRE g                              待測(cè)電阻 R=120k  解、三式，可得 gR =50   例 10  如圖 14 10 所示，兩個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷  A、 B 帶電量均為 Q，固定放在 x 軸上的兩處，離原  點(diǎn)都等于 r .若在原點(diǎn) O 放另一正點(diǎn)電荷 P，其帶電量  為 q ，質(zhì)量為 m，限制 P 在哪些方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在  原點(diǎn) O 才是穩(wěn)定的？   解析   設(shè) y 軸與 x 軸的夾角為 ，正電點(diǎn)電荷 P 在原點(diǎn)沿 y 軸方向有微小的位移 s 時(shí)，A、 B 兩處的點(diǎn)電荷對(duì) P 的庫侖力分別為 AF 、 BF ，方向如圖 14 10 所示， P 所受的庫侖力在 y 軸上的分量為 co sco s BAy FFF                           根據(jù)庫侖定律和余弦定理得 c o s222 rssr k q QF A        c o s222 rssr k q QF B                               c o s2c o sc o s 22 rssr sr                         c o s2c o sc o s 22 rssr sr                         將、式代入得：          23222322 )c o s2( )c o s()c o s2( )c o s( rssr srk q Qrssr srk q QF y 圖 14 10 清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 10 -  因?yàn)?s 很小，忽略 2s 得：          )c o s21(c o s)c o s21(c o s23233 rs srrs srrk q QF y  又因?yàn)?1cos2, rsrs   所以利用近似計(jì)算 xx 231)1( 23 得           )c o s31)(c o s()c o s31)(c o s(3 rssrrssrrk q QF y  忽略 2s 得 )1c o s3( 23 rk q QsF y  當(dāng)（ 0)1cos3 2 時(shí) yF 具有恢復(fù)線性形式，所以在 31cos2 范圍內(nèi)， P 可圍繞原點(diǎn)做微小振動(dòng)，所以 P 在原點(diǎn)處是穩(wěn)定的 .  例 11  某水池的實(shí)際深度為 h ，垂直于水面往下看，  水池底的視深為多少？（設(shè)水的折射率為 n ）   解析   如圖 14 11 所示，設(shè) S 為水池底的點(diǎn)光源，  在由 S 點(diǎn)發(fā)出的光線中選取一條垂直于面 MN 的光線，  由 O 點(diǎn) 垂直射出，由于觀察者在 S 正方，所以另一條光  線與光線 SO 成極小的角度從點(diǎn) S 射向水面點(diǎn) A，由點(diǎn) A 遠(yuǎn)離法線折射到空氣中，因入射角極小，故折射角也很小，  進(jìn)入人眼的兩條折射光線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn) S，該點(diǎn)  即為我們看到水池底光源 S 的像，像點(diǎn) S到水面的距離 h ，即為視深 .  由幾何關(guān)系有 ,/ta n,/ta n hAOihABr 所以 hir /tan/tan ，因?yàn)?r 、 i 均很小，則有 iirr si nta n,si nta n ，所以 hhir /sin/sin  又因 irn sinsin  所以視深 nhh /      針對(duì)訓(xùn)練  1活塞把密閉氣缸分成左、右兩個(gè)氣室，每室各與 U 形管壓強(qiáng)     計(jì)的一臂相連，壓強(qiáng)計(jì)的兩臂截面處處相同 .U 形管內(nèi)盛有密度   清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 11 -    為 5.7 102kg/m3 的液體 .開始時(shí)左、右兩氣室的體積都為     V0=1.210 2m3，氣壓都為 0.40 103Pa，且液體的液面處     在同一高度，如圖 14 12 所示 .現(xiàn)緩緩向左推動(dòng)活塞，直到液體在     U 形管中的高度差 h=40cm.求此時(shí)左、右氣室的體積 V1、 V2.假     定兩氣室的溫度保持不變 .計(jì)算時(shí)可以不計(jì) U 形管和連接管道中     氣體的體積 .取 g=10m/s2. 2一汽缸的初始體積為 V0，其中盛有 2mol 的空氣和少量的水（水的體積可忽略），其平衡     時(shí)氣體的總壓強(qiáng)是 3.0 大氣壓 .經(jīng)過等溫膨脹使其體積加倍，在膨脹過程結(jié)束時(shí)，其中的     水剛好全部消失，此時(shí)的總壓強(qiáng)為 2.0 大氣壓 .若讓其繼續(xù)作等溫膨脹，使其體積再次加     倍，試計(jì)算此時(shí)：     （ 1）汽缸中氣體的溫度；     （ 2）汽缸中水蒸氣的摩爾數(shù)；     （ 3）汽缸中氣體的總壓強(qiáng) . （假定空氣和水蒸氣均可當(dāng)做理想氣體處理）  3 1964 年制成了世界上第一盞用海浪發(fā)電的航標(biāo)燈，它的氣     室示意圖如圖 14 13 所示 .利用海浪上下起伏力量，空氣     能被吸進(jìn)來，壓縮后再推入工作室，推動(dòng)渦輪機(jī)帶動(dòng)發(fā)電     機(jī)發(fā)電 .當(dāng)海水下降時(shí)，閥門 S1 關(guān)閉， S2 打開，設(shè)每次吸     入壓強(qiáng) 為 1.0106Pa、溫度為 7的空氣 0.233m3（空氣可     視為理想氣體），當(dāng)海上升時(shí)， S2 關(guān)閉，海水推動(dòng)活塞     絕熱壓縮空氣，空氣壓強(qiáng)達(dá)到 32 105Pa 時(shí)，閥門 S1 才     打開 .S1 打開后，活塞繼續(xù)推動(dòng)空氣，直到氣體全部推入工     作室為止，同時(shí)工作室的空氣推動(dòng)渦輪機(jī)工作 .設(shè)打開 S1 后，活塞附近的壓強(qiáng)近似保持不     變，活塞的質(zhì)量及活塞筒壁間的摩擦忽略不計(jì) .問海水每次上升時(shí)所做的功是多少？已知     空氣從壓強(qiáng)為 1 、體積為 V1 的狀態(tài)絕熱的改變到壓強(qiáng)為 2 、體積為 V2 的狀態(tài)過程中，     近似遵循關(guān)系式 1 / 2 =（ V2/V1） 5/3， 1mol 理想氣體溫度升高 1K 時(shí)，內(nèi)能改變?yōu)?    3R/2.R=8.31J/(molK) 4如圖 14 14 所示，在 Ox 軸的坐標(biāo)原點(diǎn) O 處，     有一固定的電量為 )0( QQ 的點(diǎn)電荷，在 Lx      處，有一固定的、電量為 Q2 的點(diǎn)電荷，今有一     正試探電荷 q 放在 x 軸上 0x 的位置，并設(shè)斥力     為正，引力為負(fù) .    （ 1）當(dāng) q 的位置限制在 Ox 軸上變化時(shí)，求 q 的受力平衡的位置，并討論平衡的穩(wěn)定性；     （ 2）試定性地畫出試探電荷 q 所受的合力 F 與 q 在 Ox 軸上的位置 x 的關(guān)系圖線 . 5如圖 14 15 所示，一人站在水面平靜的湖岸邊，觀察到離岸邊有一段距離的水下的一條     魚，此人看到魚的位置與魚在水下的真實(shí)位置相比較，應(yīng)處于什么方位 .  圖 14 13 圖 14 14 清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂   - 12 -         6如圖 14 16 所示，天空中有一小鳥 B，距水面高 mh 31 ，其正下方距水面深 mh 42 處     的水中有一條小魚 A.已知水的折射率為 4/3，則小鳥看水中的魚距離自己是多遠(yuǎn)？小魚看   &