（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)論文）不可約周期馬鏈的若干遍歷性質(zhì).pdf

中文摘要 捅斐 隨著m c m c 算法的廣泛應(yīng)用，我們特別關(guān)注它們涉及到的收斂性問(wèn)題： 當(dāng)馬鏈具有平穩(wěn)分布丌時(shí)，對(duì)足夠大的n ，p ( z ，a ) 是否“接近”7 r ( a ) ? 針對(duì) 這個(gè)問(wèn)題，相關(guān)文獻(xiàn)主要給出的是關(guān)于不可約非周期馬鏈的“定性 收斂性和 “定量”收斂性結(jié)論。本文的主要工作是將這些經(jīng)典的結(jié)論推廣到不可約周期 馬鏈上。 首先，對(duì)于正常返周期馬鏈，文獻(xiàn)【2 】推論6 的證明是通過(guò)有限循環(huán)分解， 利用其骨架鏈在某個(gè)循環(huán)集上的平穩(wěn)分布來(lái)構(gòu)造原鏈的平穩(wěn)分布，但沒(méi)有明確 給出原鏈的平穩(wěn)分布與骨架鏈在循環(huán)集上的諸平穩(wěn)分布之問(wèn)的關(guān)系。本文利用 骨架鏈在循環(huán)集上的諸平穩(wěn)分布構(gòu)造出原鏈的平穩(wěn)分布，具體方法是先將諸平 穩(wěn)分布延拓到整個(gè)空間，再將它們求和后平均。此構(gòu)造形式更具一般性，而且 應(yīng)用更加方便。 其次，本文給出了關(guān)于一些不可約周期馬鏈的幾何遍歷性和一致遍歷性結(jié) 論。文中找到了一個(gè)重要的漂移條件( v 4 ) ，它與馬鏈的“定量”收斂性質(zhì)即幾 何遍歷性和一致遍歷性之間存在著相應(yīng)的聯(lián)系。當(dāng)不可約周期馬鏈滿足( v 4 ) 7 時(shí)，根據(jù)前面的工作，可將對(duì)于不可約非周期馬鏈成立的若干“定量”收斂性 結(jié)論推廣到其骨架鏈在每個(gè)循環(huán)集上的相應(yīng)結(jié)論，進(jìn)而得到關(guān)于原鏈的“定 量”收斂性結(jié)論。 總之，貫穿本文的基本思想是對(duì)于一給定的不可約周期馬鏈( 由給定條件可 推出其具有平穩(wěn)分布) ，通過(guò)有限循環(huán)分解，先給出骨架鏈在每個(gè)循環(huán)集上滿足 的各遍歷性結(jié)論，再由循環(huán)集上的諸平穩(wěn)分布構(gòu)造出原鏈的平穩(wěn)分布，從而得 到原鏈的各遍歷性結(jié)論。 最后，由于以后要頻繁運(yùn)用到( 強(qiáng)) 馬氏性，本文簡(jiǎn)單總結(jié)了推移算子和 ( 強(qiáng)) 馬氏性的關(guān)系，并通過(guò)一些實(shí)例說(shuō)明了在不同情形下的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：不可約；周期；正常返；循環(huán)；平穩(wěn)分布；幾何遍歷；一致遍歷；漂移條件； 馬氏性；推移算子 湖北大學(xué)碩士學(xué)位論文 a bs t r a c t w i t ht h ew i d e s p r e a du s eo fm c m ca l g o r i t h m s ，w ea r ee s p e c i a l l yc o n c e m e d a b o u tt h ec o n v e r g e n c eq u e s t i o nt h e yi n v o v l et h a t ，i sp ( z ，a ) “c l o s e ”t o7 r ( a ) f o r l a r g ee n o u g hn ? f o r t h i sq u e s t i o n ，t h er e l e v a n tr e f e r e n c e sh a v em a i n l yp r o v i d e d “q u a l i t a t i v e ”c o n v e r g e n ta n d “q u a n t i t a t i v e ”c o n v e r g e n tr e s u l t sf o ri r r e d u c i b l ea n d a p e r i o d i cm a r k o vc h a i n s b u tt h i sp a p e rh a sm a i n l yd e v e l o p e dt h e s ec l a s s i cr e s u l t st o t h o s eh o l df o ri r r e d u c i b l ea n dp e r i o d i cm a r k o vc h a i n s f i r s t l y , f o rp o s i t i v er e c u r r e n tp e r i o d i cm a r k o vc h a i n ，t h ep r o o fo ft h ec o r o l l a r y6 i nt h er e f e r e n c e 【2 】i st h a tt h e r ei saf i n i t ec y c l i cd e c o m p o s i t i o nf o rt h ec h a i n ，t h e nc o n - s t r u c t i n g t h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no fo r i g i n a lc h a i nb yu s i n gt h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n o fi t ss k e l e t o no ns o m ec y c l i cs e t b u tt h ep r o o fh a s n tg i v e nt h er e l a t i o nb e t w e e nt h e s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no fo r i g i n a lc h a i na n da l lt h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n so fi t ss k e l e - t o no nt h ec y c l i cs e t s t h i sp a p e rh a sc o n s t r u c t e dt h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no fo r i g i n a l c h a i nb yu s i n ga l lt h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n so fi t ss k e l e t o no nt h ec y c l i cs e t s t h e c o n c r e t em e t h o di st oe x t e n da l lt h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n so nt h ec y c l i cs e t st ot h e w h o l es t a t es p a c e ，t h e na v e r a g et h e i rs u m t h i sc o n s t r u c t i v ef o r mi sm o r eg e n e r a la n d m o r ec o n v e n i e n ti na p p l i c a t i o n s e c o n d l y , t h i sp a p e rh a sp r o v i d e dt h eg e o m e t r i ce r g o d i ca n du n i f o r me r g o d i c r e s u l t sf o rs o m ei r r e d u c i b l ea n dp e r i o d i cm a r k o vc h a i n s i tf i n d sa ni m p o r t a n t d r i f tc o n d i t i o n ( v 4 ) 7 t h e r ei sac o r r e s p o n d i n gc o n n e c t i o nb e t w e e n ( v 4 ) 7a n dt h e “q u a n t i t a t i v e ”c o n v e r g e n tp r o p e r t i e st h a ta r eg e o m e t r i ce r g o d i c i t ya n du n i f o r m e r - g o d i c i t y w h e ni r r e d u c i b l ea n dp e r i o d i cc h a i ns a t i s f i e s ( v 4 ) 7 ，a c c o r d i n gt ot h ew o r k b e f o r e ，w ec a ng e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sh o l df o ri t ss k e l e t o no ne a c hc y c l i c s e tf r o ms e v e r a l “q u a n t i t a t i v e ”c o n v e r g e n tr e s u l t sh o l df o ri r r e d u c i b l ea n da p e r i o d i c c h a i n ，t h e ng i v et h e “q u a n t i t a t i v e ”c o n v e r g e n tr e s u l t sh o l df o ro r i g i n a lc h a i n i no n ew o r d ，t h em a i ni d e at h r o u g h o u tt h i sp a p e ri st h a tt h e r ei saf i n i t ec y c l i c d e c o m p o s i t i o nf o rt h eg i v e ni r r e d u c i b l ea n dp e r i o d i cc h a i n ( w ec a np r o v et h a t i th a s as t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o nb yt h eg i v e nc o n d i t i o n s ) , w ec a np r o v i d ea l lk i n d so fe r g o d i c r e s u l t ss a t i s f i e db yt h es k e l e t o no ne a c hc y c l i cs e t ；t h e nc a nc o n s t r u c tt h es t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o no fo r i g i n a lc h a i nb yu s i n ga l lt h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n so fi t ss k e l e t o no i l t h ec y c l i cs e t s ；a tl a s tc a ng i v ea l lk i n d so fe r g o d i cr e s u l t sh o l df o ro r i g i n a lc h a i n l a s t l y ，b e c a u s ew ew i l lu s e ( s t r o n g ) m a r k o vp r o p e r t yf r e q u e n t l yl a t e r , t h i sp a p e r s i m p l yc o n c l u d e st h ec o n n e c t i o nb e t w e e ns h i f to p e r a t o ra n d ( s t r o n g ) m a r k o vp r o p e r t y , a n dg i v e ss o m ee x a m p l e st oi n t e r p r e tt h e i ra p p l i c a t i o ni nd i f f e r e n ts i t u a t i o n s k e yw o r d s ：i r r e d u c i b l e ；p e r i o d i c ；p o s i t i v er e c u r r e n t ；c y c l e ；s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n ； g e o m e t r i ce r g o d i c ；u n i f o r me r g o d i c ；d r i f tc o n d i t i o n ；m a r k o vp r o p e r t y ；s h i f to p e r a t o r 湖北大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得 的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè) 人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集 體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承 擔(dān)。 作者簽名： 包緒 簽名日期：哆年j 月2 7 r 日 學(xué)位論文使用授權(quán)說(shuō)明 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即： 按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存并向國(guó)家 有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)：學(xué) ?？梢栽试S采用影印、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存學(xué)位論文；在不以贏 利為目的的前提下，學(xué)?？梢怨_學(xué)位論文的部分或全部?jī)?nèi)容。( 保密論文在 解密后遵守此規(guī)定) 作者簽名： 包蹈 ， 導(dǎo)師簽名：；套弘義 第l 章引言 第1 章引言 1 1 馬氏鏈的隨機(jī)穩(wěn)定性的研究進(jìn)程 由于馬爾可夫鏈構(gòu)造的模型被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，眾多文獻(xiàn)就這類模型 的結(jié)構(gòu)和穩(wěn)定性作了討論，并且將對(duì)其穩(wěn)定性的研究作為重點(diǎn)。為方便討論， 我們首先引入由一點(diǎn)出發(fā)到達(dá)一個(gè)集合的回轉(zhuǎn)時(shí)的概念。 對(duì)任意集合a ，令 t a ：= m i n n 1 ：圣n a ) 表示鏈?zhǔn)ナ状蔚竭_(dá)a 的時(shí)刻，稱為a 上的首次回轉(zhuǎn)時(shí)。 相關(guān)文獻(xiàn)u , 2 , 2 0 , 2 7 , 2 9 主要從以下三個(gè)方面探討馬氏鏈的隨機(jī)穩(wěn)定性。 鏈的不可約性。最基本的且具有最少限制的穩(wěn)定形式就是馬鏈實(shí)際上不能 由兩條鏈構(gòu)成，即由不同的起始點(diǎn)出發(fā)能夠到達(dá)的集合族不是不同的。這 就使我們首先要定義和研究一般狀態(tài)空間上的鏈的妒不可約性，要求空 間提供一個(gè)測(cè)度妒滿足：對(duì)所有起始點(diǎn)x x ，有 妒似) 0 號(hào)只( t a 0 ( 1 1 ) 其中只表示鏈由圣o = o 出發(fā)，事件發(fā)生的條件概率。 這個(gè)條件保證了從每個(gè)可能的起始點(diǎn)出發(fā)，所有通過(guò)妒測(cè)量的“合適大 小”的集合都能被到達(dá)。在可數(shù)狀態(tài)空間中，妒通常取作計(jì)數(shù)測(cè)度。因而在不 可約的條件下，對(duì)于初始位置的小小改變，系統(tǒng)不會(huì)在起始位置變得如此不穩(wěn) 定以致它發(fā)生戲劇性地變化而不能到達(dá)同一狀態(tài)集合。 鏈的常返。l 生。由于不僅需要有從不同類起始點(diǎn)出發(fā)到達(dá)同類狀態(tài)的可能 性，還要保證最終能夠到達(dá)這樣的狀態(tài)集合，因此我們要定義和研究常返 性的概念，即首先需要一個(gè)測(cè)度妒來(lái)保證對(duì)每個(gè)起始點(diǎn)z x ，有 妒( a ) 0 號(hào)只( n 0 兮忍h 】 o o ( 13 ) 湖北大學(xué)碩士學(xué)位論文 這些條件保證了能夠以概率1 ( 如( 1 2 ) ) 或者在有限時(shí)間里( 如( 1 3 ) ) 到達(dá) “合適大小”的集合。研究者對(duì)此進(jìn)行了研究，并給出了大量相應(yīng)的穩(wěn)定性結(jié) 論，還指出對(duì)于一般狀態(tài)空間中的不可約鏈，這些結(jié)論表明要么( 在x 處) 一致 穩(wěn)定性性質(zhì)成立，要么在較好的定義方式下是不穩(wěn)定的，即不存在中間狀態(tài)， 沒(méi)有“部分穩(wěn)定的”行為存在。 鏈的遍歷性。第2 部分中的條件說(shuō)明鏈以常返的方式回到狀態(tài)空間的“中 心”：當(dāng)( 1 3 ) 成立時(shí)，這種常返性的速率比只有( 1 2 ) 時(shí)的快，但在兩種 情形中鏈都沒(méi)有漂離狀態(tài)空間的中心。于是我們希望找到根據(jù)鏈的分布的 收斂性提出的穩(wěn)定性。因此，我們定義和研究鏈的極限或遍歷行為g 在 ( 1 3 ) 描述下的較強(qiáng)常返性條件下，存在一個(gè)通過(guò)7 r 描述的“不變態(tài) ，使 得當(dāng)鏈由此出發(fā)時(shí)( 即若有分布7 r ) ，則它逗留在這種態(tài)中。此外若鏈 從其它某種態(tài)出發(fā)時(shí)，則它以較強(qiáng)的概率意義收斂并以7 r 作為極限分布。 在第3 部分的研究中，文獻(xiàn)【l 】就給出了下面一個(gè)很好的穩(wěn)定性結(jié)論。 定理1 1 ：下面四個(gè)條件等價(jià)： ( i ) 鏈具有唯一概率測(cè)度7 r 滿足不變方程 7 r ( a ) = 7 r ( d z ) p p ，a ) ，a 召( x ) ； ( 1 4 ) ( i i ) 存在某“小”集c b ( x ) 和m c 0 定義2 4 ：鏈西稱為矽不可約的，若對(duì)某測(cè)度妒，西是妒不可約的且測(cè)度砂是 一個(gè)最大不可約測(cè)度，即滿足1 ) 西是妒不可約的；2 ) 對(duì)其它任意測(cè)度，圣是 不可約的當(dāng)且僅當(dāng)矽卜 由此定義， 召+ ( x ) ：= a 8 ( x ) ：矽( 以) o ) 定義2 5 ：對(duì)于馬鏈?zhǔn)?，我們給出下面有關(guān)集合的概念。 ( i ) 集合a u ( x ) 稱為滿集，若西是矽不可約的且妒( 4 c ) = 0 ( i i ) 集合a 召( x ) 稱為吸收集，若p ( x ，a ) = 1 ，z a ( i i i ) 集合c 艿( x ) 稱為小集，若存在m 0 和召( x ) 上的非平凡測(cè)度 ，使得對(duì)任意z gb 召( x ) ，有 p m ( z ，b ) ( b ) ( i v ) 集合a 稱為常返集，若b 【縱l = o o ，x a ( v ) 集合a 稱為一致非常返集，若存在m 0 ，令e c = q 2 1 ：c 是蠔一小集且對(duì)某如 0 ，有v n = 氏) 且d 是集合e c 的最大公約數(shù)，則存在互不相交的集合d l ，d a 艿( x ) ( 即 “d 循環(huán)”) ，使得 ( i ) 對(duì)vx d i ，p ( x ，d i + 1 ) = 1 ，i = 0 ，d 一1 ( m o dd ) ； ( i i ) 集合n + = 【ud i 】c 是妒- 零集。 d 循環(huán) d i ) 是最大的即指對(duì)任意滿足( i ) 、( i i ) 的其它序列 d ，d ：，k = 1 ，) ，有d ，id ；若d = d ，則通過(guò)必要地重排指標(biāo)有，叫= d i ，妒一n e 由此可定義，e c 的最大公約數(shù)d 是鏈?zhǔn)サ闹芷?。?dāng)d = 1 時(shí)，鏈?zhǔn)シQ為 非周期的。 6 第2 章預(yù)備知識(shí) 2 2 常用記號(hào) 用e 表示與b 相對(duì)應(yīng)的期望算子，則對(duì)任意歹可測(cè)函數(shù)h 有， e 。t h = p 只 設(shè)p 為召( x ) 上的概率測(cè)度，記r 為廠上的概率測(cè)度，且有 于是對(duì)v a t 3 ( x ) ， 昂( a ) = 上p ( 如) 只( a ) ，v a 廠 兄( 0 0ea ) = 上p ( 如) 只( 圣oea ) = 上p ( 如) 只( = z ) 厶( z ) = p ( a ) 因此昂給出了馬鏈以肛為初始分布的分布律。故概率族 b ：z x 決定了 馬鏈西以任何分布為初始分布的分布規(guī)律。 設(shè)，是x 上的可測(cè)函數(shù)，p 是t 3 ( x ) 上的盯- 有限測(cè)度，則記 p n f ( z ) = 上p ( z ，d y ) f ( 跳 蘆p ( a ) = 上弘( 如) p ( z ，a ) 由上面的定義可見，p n ，表示可測(cè)函數(shù)，p p ，l 表示一個(gè)測(cè)度。用以上記號(hào)我們 可以表示 州硝) ：= p ( z ，d y ) f ( 訂 同樣地，c k 方程可以表示成 p m + n = p 帆p 住，m ，禮z + 7 湖北大學(xué)碩士學(xué)位論文 第3 章正常返周期馬鏈的平穩(wěn)分布的構(gòu)造 我們已經(jīng)由文獻(xiàn)【2 】定理4 知道：對(duì)于非周期正常返馬鏈有，0 p 竹( z ，) 一 7 r i l _ 0 ，鉈一0 0 ，7 r a e z x ，其中| 1 i i 為全變差范數(shù)。但正常返周。 。d 。- 1 期馬鏈( 設(shè)周期為d ) 只有下面相應(yīng)結(jié)論：惦ep d + r ( z ，) 一7 r 0 _ 0 ，n _ o o ，7 r a e z x ( 參見文獻(xiàn)【2 】推論6 ) 。我們把這個(gè)重要結(jié)論稱為定理( 木) 。文 獻(xiàn)【2 】給出的證明方法是由鏈存在擊循環(huán) g ：0 i d 一1 ) ，則其出骨架限 制在g 上是不可約、非周期的且有平穩(wěn)分布死，再由某個(gè)礬表示出7 r 進(jìn)行證 明。這里它沒(méi)有明確給出7 r 與諸死之問(wèn)的關(guān)系。下面我對(duì)上述方法進(jìn)行了改 進(jìn)，即和用正常返周期鏈的骨架在循環(huán)類上的諸平穩(wěn)分布構(gòu)造出原鏈的平穩(wěn)分 布，使其構(gòu)造形式更具一般性。 3 1 相關(guān)概念及定理 定義3 1 ：概率測(cè)度7 r 稱為鏈?zhǔn)サ钠椒€(wěn)分布，若 丌( a ) = 丌p ( 4 ) ：= 上丌( 出) p ，a ) ，a b ( x ) o o 定義3 2 ：鏈雪稱為常返的，若它是妒一不可約的且p ( 。，a ) 蘭o o ，z n = l x ，a 召+ ( x ) 定義3 3 ：鏈西稱為h a r r i s ( 常返) 的，若它是妒一不可約的且召+ ( x ) 中的每個(gè)集 合是h a r r i s 常返集，即 q ( z ，a ) ：= 忍( 7 m = o o ) = 1 ，茁a ，a 8 + ( x ) 定義3 4 ：鏈?zhǔn)シQ為正( 常返) 的，若它是妒不可約的且有一個(gè)平穩(wěn)分布7 r 定義3 5 ：召( x ) 上的符號(hào)測(cè)度p 的全變差范數(shù)怕| | 定義如下： 于是有， _ ，：l s 瓜u p w)卜supl a e b ( x ) p ( a ) 一a 蒜) p ( a ) ，：l ，i ) t d t j 8 p n ，) 一7 r 0 = s u pl p 0 ，) 一7 r ( f ) i f ：l f l 1 8 第3 章正常返周期馬鏈的平穩(wěn)分布的構(gòu)造 =2s u p i p 竹( z ，a ) 一7 r ( a ) i a e 6 ( x ) 定理3 1i l l ：設(shè)圣是周期為d 的妒一不可約馬鏈且有d - 循環(huán) g ：i = 1 ，田，則 每個(gè)g 對(duì)于以p d 為轉(zhuǎn)移概率核的鏈?zhǔn) 是吸收集，且西d 在g 上是妒不可約 和非周期的。 定理3 2 【1 1 ：若鏈?zhǔn)ナ浅７档?，則 x=hun ， 其中日是非空的最大吸收集且西限制在日上是h a r r i s 常返的，是非常返集。 定理3 3 【1 1 ：若鏈?zhǔn)ナ钦７档?，則它有唯一的平穩(wěn)分布7 r ，且7 r 與砂等價(jià)。 定理3 4 【1 1 ：若鏈西是正h a r r i s 的和非周期的，則對(duì)任意初始分布入有， l 入( 如) p ( ”) 一丌i i - - , 0 ，禮_ o o 評(píng)注3 6 ：由上述定理，易知若圣是非周期正常返鏈，則對(duì)v z h ， i p 竹( z ，) 一7 r i i _ 0 ，n o o 其中日如定理3 2 所述。進(jìn)而可證得文獻(xiàn)【2 】定理4 。 3 2 結(jié)論及證明 下面給出的三個(gè)命題雖然看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但它們環(huán)環(huán)相扣，缺一不可，為 最終結(jié)論的給出奠定了基礎(chǔ)。 命題3 7 ：若鏈西是正常返的且周期d 1 ，則存在循環(huán)集 凰：0 i d 1 ) 及概率測(cè)度 死：0 i d 一1 ) ，使得對(duì)vx 凰有， i p 甜( z ，) 一死0 _ 0 ，幾一o o 證明：由鏈的有限循環(huán)分解，圣存在d - 循環(huán) g ：0 i d 一1 ) 滿足 ( 1 ) vz g ，p ( x ，g + 1 ) = l ，i = 0 ，d 一1 ( m o dd ) ； d l ( 2 ) n 4 = ( ua ) 。是妒一零集。 i = 0 令h i = g nh d ，其中日如定理3 2 所述( 因而日為滿的吸收集) 。 9 湖北大學(xué)碩士學(xué)位論文 對(duì)vz 凰有， 1 = p ( x ，g + 1 ) = p ( x ，q + 1n 日) + p ( x ，g + 1n 日。) = p ( z ，甄+ 1 ) 因而 皿：0 l d 1 ) 為循環(huán)集。 由于西d 限制在c ；i 是非周期正常返的，則西d 在g 上有唯一平穩(wěn)分布死。 由評(píng)注3 6 ，命題成立。 評(píng)注3 8 ：由命題3 7 知，圣d 限制在c ：i = a + 鼬0 i d 一1 上是正常返的。 于是圣d 在a ，g + k d 上有相同的唯一平穩(wěn)分布，即死= m + k d 。 由于硯( 噩) = 死( gnh ) = 瓤( g ) = 1 ，則 i t i 也是圣d 限制在甄= 玨+ k d 上的 平穩(wěn)分布。 命題3 9 ：若鏈?zhǔn)ナ钦７档那抑芷赿 1 ，則對(duì)vz 丑有， p n “r ( z ，) 一孤i i 一0 ，n o o 兵中k 蘭i + r ( r o o dd ) 且0 k d 一1 證明：當(dāng)i = 0 ，r = 1 時(shí)，由控制收斂定理及命題3 7 ，對(duì)vz h 0 有， l i p d + l ( 。，) 一萬(wàn)ll i =s u pi p ( z ，d y ) ( p 砌 ，) 一7 r l ( f ) 1 f ：1 f l 1 jh i 上。砷，訓(xùn)l 一( ”) 咱i i _ 0 n _ 0 0 同理，對(duì)vz 凰， i ip t l “r ( z ，) 一7 r r i l p r ( z ，匆) | i p d ( ，) 一砟l | ，h ， _ 0 n o o 依此類推，對(duì)vo 鼠 i 押( ”) 一7 r 件i i 厶+ 。p r ( z ，酬i p ，l d ( ”) 一i i _ 0 n 一。o 由題設(shè)及評(píng)注3 8 有，礬= 丌r + i 。故命題成立。 1 0 第3 章正常返周期馬鏈的平穩(wěn)分布的構(gòu)造 由于 若令 卉r i ( a ) = 仉( an 噩) ，va 1 3 ( x ) ， 亓i p d ( a ) = 幾( 如) p 矗( z ，a ) = 7 r t p d 扛，an 甄) = 以( an 月j ) = 元( a ) ， jh 于是雹是圣d 在x 上的平穩(wěn)分布，且限制在皿上氟= 死。 又由于 亓，+ i = 亓七，r + i 蘭k( m o dd ) ，0 k d 一1 則 亓r + 產(chǎn)饑z i ，么，” d 一1 于是由命題3 9 及砂( ( u 凰) 。) = 0 ，我們有下面命題。 i = o 命題3 1 0 ：若鏈?zhǔn)ナ钦７档那抑芷赿 1 ，則 三薹p ，卜丟勤一o ，n t g - - a e 一 定理3 5 ：若鏈西是正常返的且周期d 1 ，則其唯一的平穩(wěn)分布 證明：令 由命題3 9 及命題3 1 0 有， i i r ( z ，) r p ( x ，) 1 d - 1 一三亓r 贏( ”) = 左1 萎d - 1p m ( ”) 1d - 1 芻面l l r 0 1d 1 主亓r | | r 之o 一0 ，n _ 。o ，妒一a e z x( 3 1 ) - | | 三d - 1p + 1 ( 即) 一三薹酬 _ 0 ，n _ o 。，矽一a e z x( 3 2 ) 湖北大學(xué)碩士學(xué)位論文 由( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，對(duì)v ，b b ( x ) ( 表示b ( x ) 上的全體有界函數(shù)) ， 蝴z ) 一芻薹蝴n 一 聃_ 芻塾n 囂一 由于v ，b b ( x ) ，p b u ( x ) ，貝u 有 綜上可知， 移一a e z x 移一a e 茹x ，d - 1 p n p f ( z ) 一去以p ( ，) ，扎一0 0 ，妒一口- e z ex 丟薹砌，= 丟萎訓(xùn)n 小郴一 故5 面是圣的平穩(wěn)分布。 l r 一- - - 0 d l 由于圣是正常返的，于是其唯一平穩(wěn)分布7 r = 露。 3 3 定理3 5 的應(yīng)用 定理3 5 給出了正常返周期馬鏈的平穩(wěn)分布的具體形式，為后面解決周期馬 鏈的遍歷性問(wèn)題提供了便利。利用它，我們很容易證明下面的遍歷定理。 定理3 6 【l 】：若鏈?zhǔn)ナ钦７档那抑芷赿 l ，則存在一個(gè)7 r 零集，使得對(duì)任 意初始分布a 且入( ) = 0 ，有 五1 ) d - 1p 協(xié)h o - - , 0 , n - - - * 锨 d 一1 證明：由命題3 7 和定理3 3 知，7 r ( ( u 凰) 。) = 0 。 i = 0 1 2 1 i i 珥 枷 1 一d =x 砟 “腳 1 一d 又 第3 章正常返周期馬鏈的平穩(wěn)分布的構(gòu)造 令：( d u - 1 風(fēng)) c ，于是由a ( ) ：o 及命題3 1 0 、定理3 5 有， i = o i 丟) 三d - 1p ，州i 定理即證。 刪i 芻薹州”川 = 上。) l i 芻戛d - 1 + r ( ”h 8 + 刪i 芻d - 1p 州i _ 0 扎一0 0 我們還發(fā)現(xiàn)命題3 1 0 、定理3 5 和定理( 車) 之間存在著下面的關(guān)系。 ( i ) 由命題3 1 0 和定理3 5 ，可以直接得到定理( 奉) ； ( i i ) 由命題3 1 0 和定理( 宰) ，再加上定理3 3 ，即可得到定理3 5 。 我們可以根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用上述結(jié)論來(lái)討論與正常返周期馬鏈的平穩(wěn)分布 有關(guān)的問(wèn)題。 1 3 湖北大學(xué)碩士學(xué)位論文 第4 章不可約周期馬鏈的幾何遍歷性和一致遍歷性結(jié)論 為了本部分的討論，首先引入漂移條件( v 2 ) 和漂移條件( v 4 ) 。 定義4 1 ：漂移條件( v 2 ) 即為對(duì)某集合c 召( x ) ，常數(shù)b 0 ，b 0 0 有 a v ( x ) - z v ( z ) + b i t ( x ) ，z x 由文獻(xiàn)【l 】知，鏈的分布的收斂性( 即遍歷性) 與( v 2 ) 相對(duì)應(yīng)，并給出了下 面的非周期遍歷定理： 假若圣是非周期h a r r i s 鏈，且有不變測(cè)度7 r ( 即滿足( 1 4 ) ) ，則下面條件等價(jià)： ( i ) 圣是正h a r r i s 的： ( i i ) 存在某細(xì)集c ，某b o o 和在z o x 處有限的非負(fù)函數(shù)y 滿足( v 2 ) 。 以上任一個(gè)條件表明，存在唯一平穩(wěn)分布7 r ，使得對(duì)vz x ，有 尸”( z ，) 一7 r 0 _ 0 ，佗_ o o 但對(duì)于正常返周期為d 的馬鏈垂，第3 章中結(jié)合上述定理( 但沒(méi)有用到( y 2 ) ) 相 應(yīng)給出了下面的結(jié)論( 定理( 木) ) ： 唁l d - 1p d + r ( z ，) 一訓(xùn)_ 。，n _ 。o ，萬(wàn)一口e z x 由此我們受到啟發(fā)：由于馬鏈的“定量”收斂性質(zhì)與( y 4 ) 相對(duì)應(yīng)，文 獻(xiàn)【l 】也給出了相應(yīng)的非周期幾何遍歷定理( 參見后面的定理4 5 ) ，那么是否也能 把相應(yīng)的結(jié)論推廣到不可約周期馬鏈一l - 呢? 回答是肯定的。只是難點(diǎn)在于：由 于這里必須要用到( v 4 ) ，而對(duì)于周期馬鏈，由原鏈滿足( v 4 ) 并不能推出其骨 架鏈也滿足( v 4 ) 。因此，本章的所做工作是先要找到一個(gè)不受周期性限制且與 ( v 4 ) 等價(jià)的漂移條件，再仿照第3 章的方法給出不可約周期馬鏈的幾何遍歷性 結(jié)論和一致遍歷性結(jié)論。 一1 4 第4 章不可約周期馬鏈的幾何遍歷性和一致遍歷性結(jié)論 4 1 不可約周期馬鏈的幾何遍歷性結(jié)論 4 1 1 相關(guān)概念及定理 定義4 3 ：集合c t 3 ( x ) 稱為虼細(xì)集，若 k ( z ，b ) ：= p ( z ，b ) d ( 訖) v o ( b ) ，v x gb 1 3 ( x ) t l = 0 其中是1 3 ( x ) 上的非平凡測(cè)度，a = n ( n ) ) 是z + 上的分布。 定義4 4 ：可測(cè)函數(shù)v ：x _ r 稱為鏈?zhǔn)サ南录?xì)函數(shù)，若對(duì)任意n o o ，下水 平子集c v ( n ) = 穢：v ( y ) 死) 是細(xì)集。 定義4 5 ：集合c u ( x ) 稱為正則集，若鏈垂是妒一不可約的且s u p e r b 】 z g 0 0 ，b 召+ ( x ) 進(jìn)而，鏈西稱為正則的，若x 存在一個(gè)可數(shù)正則集覆蓋。 定義4 6 ：對(duì)任意函數(shù)f ：x _ 【1 ，o o ) ，定義符縣s s t j 度的，- 范數(shù)如下： i i z ，i i ，= s u pl z ，( 夕) j 。 g ：l g lt 定義4 7 ：馬鏈?zhǔn)シQ為y 一幾何遍歷的( 其中v 1 ) ，若圣是正h a r r i s 的且 7 r ( y ) 1 ，使得對(duì)vz x ， 定理4 1 ：假設(shè)鏈雪是妒不可約的，若a 是虼細(xì)集，則存在一個(gè)抽樣分布b ， 使得a 是砂b 細(xì)集，其中如是最大不可約測(cè)度。 定理4 2 【1 1 ：假設(shè)鏈?zhǔn)ナ巧安豢杉s的，且對(duì)某細(xì)集c 召+ ( x ) 有，s u p b 【】 ，則圣是正常返的。 定理4 3 【1 1 ：若集合a 是正則集，則它是細(xì)集。 定理4 4 【1 1 ：若鏈?zhǔn)ナ嵌什豢杉s的，則下列條件等價(jià)： ( i ) 鏈?zhǔn)ナ钦齽t的； ( i i ) ( v 2 ) 對(duì)某細(xì)集c 和有限函數(shù)y 成立。 1 5 1 ，冗 o o ，使得對(duì)v z - = z ：y ( z ) o o 且& 是滿的吸收集，有 上面的結(jié)論等價(jià)于 p ，1 0 ，) 一7 r i l y r y ) i p ( z ，) 一7 r l y r 礦y ( z ) ，z - ( 4 1 ) 其中p = r 一1 1 ，使得； 1 ，則( 4 1 ) 兩邊同乘以妒并關(guān)于n 求和得， 嚴(yán)渺( ”) 一丌冗( 三) n y ( z ) ，l 7 1 將原定理中的常數(shù)7 取為f ，兄取為冗( ；) n 即可。 定理4 6 1 1 1 ：漂移條件( y 4 ) 對(duì)細(xì)集c 成立當(dāng)且僅當(dāng)y 是下細(xì)函數(shù)且p y a v + l ，其中入 1 ，l o o 4 1 2 漂移條件( v 4 ) 7 由定理4 5 知( v 4 ) 與馬鏈的幾何遍歷性緊密相關(guān)，并且有了定理4 6 這個(gè)充 要條件作保證，于是我們要找的適當(dāng)漂移條件( v 4 ) 就是： y 是圣的下細(xì)函數(shù)且尸y a v + l ，其中a l ，l o 。 下面的分析說(shuō)明了( v 4 ) 7 不受周期性的限制，體現(xiàn)了它在本部分的重要地位。 4 1 3 結(jié)論及證明 首先給出兩個(gè)重要引理。 引理4 8 ：若鏈?zhǔn)ナ巧耙徊豢杉s的且( y 4 ) 對(duì)細(xì)集g 和在某；t o 處有限的函數(shù) y ( 1 ) 成立，則雪是正常返的。 證明：由題設(shè)知，a v 一p y + b i c 一p + b i c 而= z ：v ( x ) o o ) 0 ，則& 是滿的吸收集。 由定理4 4 知，西限制在s v 上是正則的。 1 6 第4 章不可約周期馬鏈的幾何遍歷性和一致遍歷性結(jié)論 于是存在i e 貝u 集ccs v 且c b + ( x ) ，使得s u p 忍【億】 1 ，骨架鏈?zhǔn) 的所有細(xì)集顯然是圣的細(xì)集。 反之則不成立。但有下面的結(jié)論： 若y 是西的下細(xì)函數(shù)，即y 的任意下水平子集( 禮) = 可x ：y ( 秒) 幾) 是西的細(xì)集，亦即對(duì)固定的n ，存在分布a ，使得( n ) 是虼一細(xì)集。 令k = v b ，則( n ) 限制在& 上的子集即集合 可& ：( 可) 佗) 是雪d 的細(xì)集。往證之： 由定理4 1 知，存在抽樣分布b ，使得( n ) 是西的仇細(xì)集且饑為最大不可約 1 7 湖北大學(xué)碩士學(xué)位論文 測(cè)度，即 p n ( z ，a ) 6 ( n ) c b ( a ) ，v x 仇( 禮) ，a 日( x ) n = o 由于西是如不可約的，則圣d 限制在& 上是饑不可約的。于是c b ( & ) 0 。 對(duì)vx c v ( n ) ns ：= y s i ：( 秒) 禮) 有， d 一1 c b ( an & ) p f l d ( z ，ans i ) b ( n d ) + p “( z ，ans d b ( n d + r ) n = 0n = or = 1 p d ( z ，af ) e l i ) b ( n d ) n = 0 ( 4 2 ) 令6 協(xié) ：嘗，c b , ：去， b ( n d )b ( n d ) t l = on = o o o 其中b ( n d ) 0 ( 事實(shí)上，若b ( n d ) = 0 ，則對(duì)vn z + ，b ( n d ) = 0 在( 4 2 ) 中取a = 最得，0 0 ，則咖是非平凡的。 即證得結(jié)論。 進(jìn)而，k 是西d 限制在& 上的下細(xì)函數(shù)。 綜上所述，就得到下面的引理。 引理4 9 ：若鏈西是妒一不可約的且周期d 1 ，并滿足( v 4 ) 7 ，則k 是圣d 限制 在& 上的下細(xì)函數(shù)且 p d y ( z ) a d y i ( x ) + 了二二_ t ，入 l ，l o o ，。s 由于vx & ，k ( z ) = y ( z ) ，則對(duì)z & 有， p - d ( z ，v ) = p 麗( z ，d y ) y ( y ) = p n d ( z ，k ) ，& 于是，對(duì)vz & ， i p 謝0 ，) 一萬(wàn), l i v =s u pl p 謝 ，) 一億( ，) i l ：l f l ， l ，并滿足( v a ) ，則對(duì)v x & ， i p d ，) 一億0 y 忍西y ( z ) 其中常數(shù)忍 ，p i 1 ，并滿足( v 4 ) 7 ，則對(duì)v z & ， l l p 姍 ，) 一7 1 k i i v 袁知壤y ) 其中k 蘭r + i ( r o o d 回，0 k d 一1 證明：由命題4 1 0 及引理4 9 知，對(duì)v x & 有 l l p 肌d + r ( z ，) 一7 r r + l l y = s u pi f 礦( z ，d y ) ( p n d ( 可，) 一7 r r + ( ，) ) l l ：t s i yd s ；+ ， p ( z ，d y ) i i p d ( 可，) 一+ j s t ， 甩+ l 礙。p r ( z ，d y ) v ( y ) j s r + 冗r “p x p r y ( z )