（凝聚態(tài)物理專業(yè)論文）光子晶體帶隙時域有限差分方法計算.pdf

摘要 摘要 本文將時域有限差分法( f d t d ) 用于光子晶體傳輸特性的研究。采用完全 匹配層( p m l ) 吸收邊界條件來截斷計算區(qū)域，編制了一維光子晶體傳輸特性的 數(shù)值計算程序以及二維正方晶格光子晶體傳輸特性的數(shù)值計算程序。 對于一維光子晶體，計算了不同條件下完整結(jié)構(gòu)階躍型光子晶體的透過率 譜。通過透過率譜的變化，分析了介質(zhì)層數(shù)、介質(zhì)所占空間配比、介質(zhì)介電常數(shù) 比對光子帶隙的影響。發(fā)現(xiàn)介質(zhì)層數(shù)的增加會使光子帶隙拓寬并加深，但是帶隙 的位置不會移動；介質(zhì)介電常數(shù)比越大，帶隙越寬越深，也越容易出現(xiàn)帶隙。 另外還計算了介電常數(shù)連續(xù)變化的一維光子晶體透過率譜。當介質(zhì)中的介電 常數(shù)呈正弦曲線變化，變化范圍在2 0 7 0 之間時，在計算出的1 0 個周期結(jié)構(gòu) 的透過率譜中，同樣存在類似階躍型光子晶體的光子帶隙；當介電常數(shù)變化范圍 是4 1 1 0 “時，在對1 0 0 個周期結(jié)構(gòu)計算出的透射率譜中，也出現(xiàn)了一條很 窄的光子帶隙。 對于二維正方形晶格的光子晶體，計算得出的頻率透過率譜與文獻中給出的 帶隙位置一致。通過對空氣柱所占空間配比不同時的頻率透過率譜分析，發(fā)現(xiàn)光 子帶隙并沒有隨著空氣柱所占空間比例的增加一直增寬加深，而是先增寬加深， 當空氣柱所占比例大到一定程度之后，又會變淺變窄。但是帶隙的位置是一直隨 著空氣柱所占空間比例的增加一直向高頻率方向緩慢移動。 順序抽取晶格中的介質(zhì)柱在光子晶體內(nèi)部形成線缺陷，可以用來制造光子晶 體光波導。計算具有線缺陷的光子晶體的透過率譜可以看出，引入缺陷以后，頻 率位于禁帶處的光的透過率大大增加。場分布圖表明，大部分光沿著缺陷傳播。 關(guān)鍵詞光子晶體；時域有限差分方法；光子帶隙 北京工業(yè)大學理學碩士學位論文 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e dt h et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so f p h o t o n i cc r y s t a l su s i n gt h e f i n i t e - d i f f t r e n t - t i m e - d o m a i nm e t h o d p r o g a m sw e r e d e v e l o p e dt o c a l c u l a t e t h e t r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so fo n e d i m e n s i o n a la n dt w o d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s ， w h i c hu s et h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e rt oc u to f f t h eb o u n d a r yo f s p a c e t r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo fn o r m a l p e r f e c tp e r i o d i c 1 dp h o t o n i c c r y s t a l o f d i f f e r e n ts t r u c t u r ew a sc a l c u l a t e d a c c o r d i n gt ot h ev a r i e t yo ft h es p e c m t r n ，t h ee f f e c t s w h i c hw e r eb o u g h tt ot h ep h o t o n i cb a n dg a pb yl a y e r so fd i e l e c t r i c , r a t i oo fd i e l e c t r i c a n dr a t i oo fd i e l e c t r i cc o n s t a n tw e r ea n a l i z e d t h er e s e a r c hs h o w st l l a tt h ei n c r e a s eo f d i e l e c t r i cl a y e r sw i d e na n dd e e p e nt h ep h o t o n i cb a n dg a pw h i l et h el o c a t i o no fg a p w o n tm o v ea n dt h eg r e a t e rr a t i oo fd i e l e c t r i cc o n s t a n t ，t h ew i d e ra n dd e e p e ro ft h e b a n dg a p f t l n h e rm o r e at r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo f1 dp h o t o n i cc r y s t a lw i t l lc o n t i n u e s l y c h a n g i n gd i e l e c t r i cc o n s t a n tw a sc a l c u l a t e d w h e nt h ec h a n g i n go fd i e l e c t r i cc o n s t a n t p r e s e n t sas i n ew a v ei nt h er a n g eo f2 0 7 。0 ，t h ee x i s t e n so fp h o t o n i cb a n dg a pw a s d e t e c t e di nt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo fs t r u c t u r ew i t h10p e r i o d s an a l t o wb a n dg a p a l s ow a sf o u n di nt h es p e c t r u mo fs t r u c t u r ew i t h1 0 0p e r i o d s w i t ht h ed i e l e c t r i c c o n s t a n tc h a n g i n gc o n t i n u e s l y i n t h er a n g eo f 4 士l x l o 一 t h ec a l c u l a t e dt r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo f2 dp h o t o n i cc r y s t a lo fs q u a r el a t t i c i s c o n f o r mt ot h ep r e v i o u sp a p e r i tw a sf o u n db ya n a l y s i so ft r a n s m i s s i o ns p e c t r u mi n d i f f e r e n tr a t i oo fa i rc o l u m nt h a tt h eb a n dg a pd i d n ta l w a y sb e c o m ew i d e ra st h er a t i o i n c r e a s e d ，w h i l et h el o c a t i o no fb a n dg a pm o v e dt o w a r d sh i g h 丘e q u e n c ys l o w l y al i n ed e f e c tw a sf o r m e di nl a t t i c eb yr e m o v i n gd i e l e c t r i cc y l i n d e r ss e q u e n t l y f r o m p e r f e c t s t r u c t u r e i tc a nb e u s e dt o p r o d u c ep h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d t r a n s m i s s i o no fl i g h ti np r o h i b i tb a n da r i s e dg r e a t l ya f e ri n t r o d u c i n gt h el i n e d e f e c t a n di tc a l lb es e e ni nt h em a po fe mf i e l dt h a tt h em o s tp a r to fl i g h tt r a n s m i t a l o n et h ed e f e c t k e y w o r d sp o t o n i cc r y s t a l ；p h o t o n i cb a n dg a p ；f i n i t ed i f f i r e n tt i m ed o m a i n i i 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的研 究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他 人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得北京工業(yè)大學或其它教育機構(gòu) 的學位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均 已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。 簽名 馴鋤 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本人完全了解北京工業(yè)大學有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定，即：學校有權(quán) 保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學?？梢怨颊撐牡娜炕虿?分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。 ( 保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 簽名導師簽名日期：2 0 0 5 5 2 0 刮 第1 章緒論 第1 章緒論 1 1 弓i 言 在過去的半個世紀中，半導體技術(shù)已經(jīng)滲入了人們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷妗?當前，半導體技術(shù)正朝著高集成度、高速度的方向發(fā)展。隨著集成度和速度的提 高，各種電子設(shè)備的體積不斷縮小，功能不斷增強，速度不斷增快。但是同時， 由于集成度的增大，又出現(xiàn)了諸如電路阻抗和能量損耗的加大，高速信號處理對 信號同步要求的提高等一系列問題。這些問題表明，半導體器件的能力己接近其 工作極限。而導致這一結(jié)果的原因在于半導體器件的工作載體是電子，于是人們 開始研究用光子代替電子作為信息的載體。 光子作為信息的載體，具有許多電子無法比擬的優(yōu)勢。最明顯的優(yōu)勢就是 光子在介質(zhì)中的傳播速度遠遠大于電子的傳播速度。另外電介質(zhì)材料的帶寬比金 屬要大得多。通常的光纖通信系統(tǒng)的帶寬都在t h z 數(shù)量級，然而有線電話的帶 寬只有幾百k h z 。而且光子之間相互作用很弱，不存在類似電子之間那么強的庫 侖相互作用，這樣不僅可以減少能量損失，而且容易實現(xiàn)并行處理。 雖然光子比電子具有這么多的優(yōu)勢，但是全光回路卻一直沒有得到大范圍 的應(yīng)用。因為盡管混合型的光電器件比傳統(tǒng)的純電子系統(tǒng)在性能上有了很大的提 升，但是設(shè)計出一種類似電子晶體的多用途光組件卻是困難重重，阻礙了全光系 統(tǒng)的發(fā)展。光子晶體這一光學材料的出現(xiàn)將改變這一現(xiàn)狀。目前，光子晶體已被 應(yīng)用于天線襯底，光子晶體光纖等多個領(lǐng)域，并取得了較好的效果。而且，隨著 對光子晶體研究工作的深入以及對光子晶體認識的深入，科技工作者己逐漸認識 到光子晶體材料在波分復(fù)用等光通信領(lǐng)域，低閩值激光器，照明以及太陽能等諸 多領(lǐng)域的巨大潛在應(yīng)用價值。廣闊的應(yīng)用前景使光子晶體的理論研究、相關(guān)實驗 和實際應(yīng)用得到了迅速發(fā)展，這一領(lǐng)域已經(jīng)成為當今世界范圍內(nèi)研究的熱點。 1 9 9 9 年1 2 月1 7 日，美國的科學雜志把光子晶體方面的研究列為十大科學 進展之一。 1 2 光子晶體概述 光子晶體是一類介電常數(shù)周期性變化的電介質(zhì)材料。介電常數(shù)的周期性變 化會在晶體內(nèi)產(chǎn)生一個禁止在晶體內(nèi)傳播的電磁波頻率范圍，稱為光予禁帶 ( p b g ) 。能量處于禁帶內(nèi)的電磁模將不能在晶體內(nèi)傳播。 由電子的能帶理論知道，處于周期性勢場中的電子的波函數(shù)滿足薛定諤方程 一2 筆- v 2 + v c ) 妒叫 ， 其中等效勢場v ( r ) 具有周期為晶格常數(shù)如的周期性， v ( 7 ) = y ( i + r )( 1 2 ) 矗是普朗克常數(shù)，e 為電子能量。 而介質(zhì)中的m a x w e l l 方程可以寫為 _ v 2 丘川v 畫一等馳) 五= 7 ( 0 2 島e ( 1 3 ) 其中是介質(zhì)的平均介電常數(shù)，毛( ，) 是位置i 處的介電常數(shù)值，如果毛( r ) 具有 周期性，就有 q ( ，) = e i ( r + d ) ( 1 4 ) 比較( 1 1 ) 式和( 1 3 ) 式可知，它們的形式是相似的，可以建立如下的類比：礦( 尹) 類 比于等2 毛( r ) ，e 類比于7 ( 0 2 島。因此，光子在周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)中的性質(zhì)就類似 于電子在周期性勢場中所具有的性質(zhì)。電子在周期性勢場中具有能帶結(jié)構(gòu)，表現(xiàn) 為某一能量范圍的電子態(tài)密度為零，即電子不能處于這個能態(tài)。由于上述的類似 性，光子在周期性電介質(zhì)材料中也具有能帶結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)為光子禁帶，在完整結(jié)構(gòu) 的光子晶體中，能量位于禁帶內(nèi)的光子將不能在晶體內(nèi)傳播。 從結(jié)構(gòu)上看，光子晶體可以分為一維、二維和三維光子晶體【2 】( 如圖1 1 所示) 。 一維光子晶體是由兩種介電常數(shù)不同的材料薄片以a b a b 的形式交替排列 組成( 圖l 一1 ( a ) ) ，每種材料的厚度固定，在結(jié)構(gòu)上與傳統(tǒng)的多層膜系統(tǒng)相似。 二維光子晶體( 圖l 一1 ( b ) ) 中電介質(zhì)在兩個方向上的排列具有周期性， 在第三個方向上的介電常數(shù)均勻分布。目前研究得較多的二維光子晶體基本結(jié)構(gòu) 主要有以下兩種：一種是介電常數(shù)為c a 的電介質(zhì)柱在介電常數(shù)為的材料中排 第l 章緒論 列成正方形格子；另一種是介質(zhì)柱排列成三角形格子( 也叫六角形格子) 的結(jié)構(gòu)。 ( a )( b )( c ) 圖1 1 一維、二維和三維光子晶體示意國 f i g 1 1 s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o no fo n e - d i m e n s i o n a l ( 1 d ) ，t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) ，a n dt h r e e - d i m e n s i o n a l ( 3 d ) p h o t o n i cc r y s t a l s ， 圖1 2 是二維正方形格子的光子晶體截面圖。圖1 2 ( a ) 是高介電常數(shù) 的介質(zhì)柱在低介電常數(shù)的材料中按正方形格子排列；圖1 - - 2 ( b ) 表示低介電常 數(shù)的介質(zhì)柱在高介電常數(shù)的材料中按正方形格子排列。 這種結(jié)構(gòu)是由很多相互平行的介電常數(shù)為巳的介質(zhì)柱周期性的嵌入在介電 常數(shù)為毛的材料中構(gòu)成。它們的垂直截面是正方形格子。 ( a )( b ) 圖1 - - 2 二維正方形格子光子晶體 f i g 1 2t o pv i e wo f t w o - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a lo f s q u a r el a t t i c e 圖1 3 是二維三角形格子的光子晶體截面圖。圖1 - - 3 ( a ) 是高介電常數(shù) 的介質(zhì)柱在低介電常數(shù)的材料中呈三角形格子排列；圖1 - - 3 ( b ) 是低介電常數(shù) 的介質(zhì)柱在高介電常數(shù)的材料中按三角形格子排列。這種結(jié)構(gòu)的光予晶體與正方 形格子的二維光子晶體構(gòu)成方式類似，也是互相平行的介電常數(shù)為如的介質(zhì)柱周 期性的嵌入到介電常數(shù)為的材料中，不同的是它們的垂直截面是三角形格子。 北京工業(yè)大學理學碩士學位論文 ( a )( b ) 圖1 - - 3 二維三角形格子光子晶體 f i g 1 3t o pv i e wo f t w o - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a lo f t r i a n g u l a rl a t t i c e 三維光子晶體中介電常數(shù)的變化在空間的三個方向上都具有周期性( 圖1 一l ( c ) ) 。對三維光子晶體研究的比較多的是面心立方結(jié)構(gòu)和金剛石結(jié)構(gòu)。 圖1 4 是三維面心立方結(jié)構(gòu)的光予晶體。圖l 一4 ( a ) 是高介電常數(shù)的材 料在低介電常數(shù)的材料中周期性排列而成的結(jié)構(gòu)，但是這種結(jié)構(gòu)在制作上有困 難，實際上采用的是如圖l 一4 ( b ) 所示的這種結(jié)構(gòu)，即非球形的低介電常數(shù)材 料空氣在高介電常數(shù)的材料中周期性排列。 ( a ) ( b ) 圖1 4 三維面心立方( f c c ) 結(jié)構(gòu)光子晶體 f i g 1 4s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o no f t h r e e - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l o ff a c e - c e n t e r - c u b e ( f e e ) l a t t i c e 圖1 5 是三維金剛石結(jié)構(gòu)的光子晶體。 第l 章緒論 圖1 5 三維金剛石結(jié)構(gòu)光子晶體 f i g 1 5s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o no f t h r e e - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a lo f d i a m o n ds t r u c t u r e 1 3 光子晶體研究進展 實際上，在光子晶體概念提出之前，層狀介電系統(tǒng)已被研究多年。早在1 8 8 7 年，l o r dr a y l e i g h 就在研究中發(fā)現(xiàn)，在多層膜系統(tǒng)中存在一個狹窄的帶隙，能量 位于帶隙中的光將無法透過多層膜。這一發(fā)現(xiàn)如今己經(jīng)應(yīng)用在各種光學實驗中， 做為波段選擇器、濾波器或反射鏡等。例如光學中常見的布拉格反射鏡( b r a g g r e f l e c t o r ) ，乃是一種四分之一波長多層系統(tǒng)( q u a r t e r - w a v e - s t a c km u l t i l a y e r e d s y s t e m ) ，其實就是簡單的一維光子晶體。 盡管如此，這方面的研究卻停留在一維系統(tǒng)的光學性質(zhì)上，一直未能以“晶 格”的角度來看待周期性光學系統(tǒng)，也因此遲遲未將固體物理上已發(fā)展成熟的能 帶理論運用在這方面。一直到1 9 7 7 年，p o c h iy e h 等人【3 】發(fā)現(xiàn)在一維周期性結(jié)構(gòu) 的缺陷處存在光子局域。這個可能存在于二維和三維周期性結(jié)構(gòu)中的光子帶隙在 19 8 7 年被y 抽l o n o v i t c h 【4 1 和s a j e e vj o h n 5 1 兩個研究小組發(fā)現(xiàn)，標志著p b g 器件的 開始。y a b l o n o v i t c h 指出，三維周期性結(jié)構(gòu)中的電磁波帶隙與電子帶邊發(fā)生交迭， 所有的輻射，包括自發(fā)輻射，都被嚴格抑制。s a j e e vj o h n 則提出，在周期性電介 質(zhì)結(jié)構(gòu)的缺陷處存在光子的a n d e r s o n 局域。從那以后，光子晶體就成為研究的 熱點。 經(jīng)過兩年多的實驗，y a b l o n o v i t c h 小組終于發(fā)現(xiàn)一種面心立方結(jié)構(gòu)有光子能 隙【6 】。這是一種背景為介電材料，相互重疊的空氣孔在其中排列成面心立方結(jié)構(gòu) 的點陣結(jié)構(gòu)，其中空氣孔占8 6 的體積。 受實驗的鼓舞，理論工作者開始關(guān)心光子能帶計算。最初采用的是標量波 的方法，即認為兩種偏振可以分開處理t t , s j ，但是理論和實驗結(jié)果有較大差異， 北京工業(yè)大學理學碩士學位論文 人們馬上意識到這種差異來源于忽略了電磁波是矢量波，在光子能帶的計算中必 須考慮光波的矢量性。不久便出現(xiàn)了考慮矢量性的光子能帶計算9 “”。當重新 計算填充率為8 6 的重疊空氣孔面心立方結(jié)構(gòu)時，發(fā)現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)沒有完全的光子 帶隙【9 ?！?。這是由于面心立方結(jié)構(gòu)的光子晶體由于對稱性，在高對稱點處出現(xiàn)能 帶簡并。從態(tài)密度上看實驗上觀測到的帶隙只是一個贗帶隙。 1 9 9 0 年，k m h o ，ys c h a n ，c m s o u k o u l i s 小組第一個成功地從理論上預(yù) 言金剛石結(jié)構(gòu)的三維光子晶體中存在完整的光子帶隙，且?guī)冻霈F(xiàn)在第二條與第 三條能帶之間6 , 1 1 , i 2 。隨后y a b l o n o v i t c h 就制造出了世界上第一個具有全帶隙的 三維光子晶體【l3 “】。圖l 一6 是這種光子晶體的制造方法：在一片介電材料上鍍 上具有三角空洞陣列的掩膜，在每一空洞處向下鉆三個孔，鉆孔相互之間呈1 2 0 度，與介電片的垂線呈3 5 2 6 度。這樣的結(jié)構(gòu)具有金剛石結(jié)構(gòu)的對稱性，光子帶 隙從1 0 g h z 到1 3g h z ，位于微波區(qū)域。在微波區(qū)域這種結(jié)構(gòu)可以用微機械鉆孔 的方法得到。在光學波段可以用離子刻蝕的辦法，不過非常困難。當前對三維光 子晶體研究的一個熱點就是制造可見光范圍內(nèi)的全帶隙三維光子晶體。 圖1 6 第一個具有完全能隙的三維光子晶體 f i g 1 6 t h e f i r s t t h r e e - d i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a l w i t h f u l lb a n d g a p 目前對光子晶體的研究主要集中在以下幾個方面： ( 1 ) 金屬一介電結(jié)構(gòu)光子晶體 金屬一介電結(jié)構(gòu)的一維光子晶體 1 5 - 1 8 】是將構(gòu)成一維光子晶體的其中一種材 料用金屬膜代替。數(shù)值計算和實驗研究表明，這種結(jié)構(gòu)的一維光子晶體具有帶隙 寬，對入射角不敏感，并且透射帶的透射率高等特點。 二維的金屬一介電結(jié)構(gòu)光子晶體1 1 9 l 通過在正常的周期性結(jié)構(gòu)中插入金屬棒 ( 圖1 7 ( a ) ) ，在介質(zhì)柱中插入金屬芯或在介電柱外包上一層金屬膜( 圖1 7 6 第1 章緒論 ( b ) ) 來構(gòu)成。這種結(jié)構(gòu)的帶隙依賴于占空比以及短程有序性，而不是對稱性 及長程有序性。同時，這種光子晶體的帶隙位于低頻部分，與介電材料構(gòu)成的光 子晶體正相反。 圖1 - - 7 金屬一介電結(jié)構(gòu)二維光子晶體模型 f i g 1 7m o d e lo f t w o d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a lw i t hm e t a l d i e l e c t r i cs t r u c t u r e ( 2 ) 缺陷態(tài)的研究 正如半導體的應(yīng)用離不開攙雜問題一樣，光子晶體的應(yīng)用同樣離不開缺陷 問題。實際上許多光子晶體的應(yīng)用就是直接利用了光子晶體的缺陷態(tài)，如光予晶 體波導，低閾值激光器等。因此，對含有缺陷的二維光子晶體的研究同樣是科研 工作的一個重點方向。 ( 3 ) 可調(diào)諧光子晶體 目前所做的光予晶體絕大多數(shù)都是不可調(diào)的。光子晶體做出來以后，禁帶 的位置、形狀就不能再發(fā)生變化。如果光子晶體的禁帶可調(diào)，例如通過施加電場、 磁場或者改變溫度來改變折射率、晶格結(jié)構(gòu)等參數(shù)，從而實現(xiàn)對光子禁帶的自如 控制，那必然將產(chǎn)生一系列的新效應(yīng)、新現(xiàn)象，使基于光子晶體的光調(diào)制器成為 可能。近年來陸續(xù)有人提出液晶光子晶體2 呲6 1 、光子雙晶體【2 7 ，2 鍆、超導光子晶體 1 2 9 等新型的禁帶可調(diào)光子晶體。與傳統(tǒng)的光電器件相比，可調(diào)光子晶體最大的優(yōu) 勢就在于尺寸小，易于集成，非常適合應(yīng)用于將來的“集成光路”中。 ( 4 ) 光子晶體中的反常折射現(xiàn)象 近幾年來，人們發(fā)現(xiàn)在光子晶體中存在著反常折射現(xiàn)象：光在晶體的界面 發(fā)生折射時，折射光的偏折不是偏向于界面的法線方向，而是偏向于界面方向也 就是說，在這些光的頻率范圍內(nèi)，光子晶體的折射率小于l 。有實驗表明，光子 晶體中的折射光甚至可以與入射光位于界面法線方向的同側(cè)，因而出現(xiàn)負折射 率。英國皇家學院的p e n d r y 研究了負折射晶體中電磁波的傳播行為i 如】，指出這 樣的晶體對于光來說就如同一個透鏡，可以在晶體中和晶體后成兩個實像。 負折射率物質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用前景，如平面透鏡成像、不受光學衍射成像 限制，可將光束聚焦到遠比光的波長小的尺度等。正折射率的材料需要彎曲的表 北京工業(yè)大學理學碩士學位論文 面才能夠成像，而用負折射率材料制成的平板，卻可以聚焦電磁波產(chǎn)生實像。圖 l 一8 是利用光子晶體的負折射現(xiàn)象進行平面透鏡成像的實驗結(jié)果示意圖。 圖1 8 平面透鏡成像 f i g 1 8i m a g i n gb yaf i a tl e n s m i c r o w a v ee l e c t r i c f i e l d i n t e n s i t ym a po nac r o s s - s e c t i o n a lv i e w o f t h et w o d i m e n s i o n a ls o u r c e - i m a g e ( 1 e r - r i g h t ) s y s t e mf o rt h ef l a tl e n s 1 4 光子晶體的理論研究 由于光子帶隙的形成是布拉格散射和m i e 散射之間復(fù)雜的相互作用的結(jié)果， 數(shù)值計算就成為大多數(shù)理論分析的重要方法。光子晶體的數(shù)值計算主要有一下幾 種方法。 1 4 1 平面波方法( p w e ) 平面波法 1 1 , 3 2 - 3 4 1 是在光子晶體能帶研究中用得比較早和用得最多的一種方 法。它將電磁場在倒格矢空間以平面波疊加的形式展開，可以將m a x w e l l 方程組 化成本征方程，然后求解本征方程便可得到傳播光子的本征頻率，本征頻率的集 合即為光子能帶。但是，這種方法有明顯的缺點：計算精度和計算量與平面波數(shù) 有很大的關(guān)系，幾乎正比于所用波數(shù)的立方，因此會受到較嚴格的約束，對某些 情況顯得無能為力，如當光子晶體結(jié)構(gòu)復(fù)雜或處理有缺陷的體系時，需要大量平 面波數(shù)?？赡芤驗橛嬎隳芰Φ南拗贫荒苡嬎慊蛘唠y以準確計算。如果介電常數(shù) 不是恒值，而是隨頻率變化，就沒有一個確定的本征方程形式，而且有可能在展 開中出現(xiàn)發(fā)散，導致根本無法求解。 平面波法常用的有緊束縛法【3 5 ，綴加平面波法1 3 6 ，修正平面波法【3 7 】。 第1 蘋緒論 1 4 2 傳輸矩陣法( t m m ) 傳輸矩陣法【38 i 由磁場在實空間格點位置展開，將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)移 矩陣形式，同樣變成本征值求解問題。轉(zhuǎn)移矩陣表示一層( 面) 格點的場強與鄰近 的另一層( 面) 格點場強的關(guān)系，它假設(shè)在構(gòu)成空間中在同一個格點層( 面) 上有相 同的態(tài)和相同的頻率，這樣可以利用麥克斯韋方程組將場從一個位置外推到整個 晶體空間。這種方法對介電常數(shù)隨頻率變化的金屬系統(tǒng)特別有效，由于轉(zhuǎn)移矩陣 小，計算量較平面波方法大大降低，只與實空間格點數(shù)的平方成正比，精確度也 非常好，而且還可以計算反射系數(shù)和透射系數(shù)。 1 4 3 時域有限差分法( f d t d ) 時域有限差分法 3 9 , 4 0 是求解電磁場m a x w e l l 方程的通用方法，也是近幾年來 相當熱門的數(shù)值計算方法。具體方法是：將m a x w e l l 方程組在坐標系中展開成標 量場分量的方程組，然后用二階精度的中心差商代替微商，將連續(xù)的空間和時間 問題離散化，得到標量場分量的迭代差分方程組；由數(shù)值穩(wěn)定性條件和計算所考 慮的光波長范圍確定空間離散步長的大小，根據(jù)空間離散步長將光子晶體沿坐標 軸向方向分成很多y e e 氏網(wǎng)格單元；求出每個網(wǎng)格點的有效介電常數(shù)，再由空間 步長和時間步長所滿足的數(shù)值穩(wěn)定性條件，得出相應(yīng)的時間步長。以上參數(shù)確定 后，加入邊界條件后，就可以將迭代方程組在劃分好的y e e 氏網(wǎng)格空間中迭代， 計算出光子晶體中在任意時刻場的分布情況，并通過傅立葉變換，計算出包含很 大頻率范圍的透射譜。 1 4 4n 階法( o r d e rn ) n 階法【4 1 】是引自電子能帶理論的緊束縛近似的一種方法，是由y e e 在1 9 6 6 年提出的時域有限差分法( f d t d ) 發(fā)展來的【39 1 ?；舅枷胧牵何覀儚亩x的初始 時間的一組場強出發(fā)，根據(jù)布里淵區(qū)的邊界條件，利用麥克斯韋方程組可以求得 場強隨時間的變化，從而最終解得系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)。具體作法：通過傅里葉變換 先將麥克斯韋方程組變換到倒格子空間，用差分形式約簡方程組，然后再作傅里 葉變換，又將其變換回到實空間，得到一組被簡化了的時間域的有限差分方程， 這樣，原方程可以通過一系列在空間和時間上都離散的格點之間的關(guān)系來描述， 北京工業(yè)大學理學碩士學位論文 計算量大大降低，只與組成系統(tǒng)的獨立分量的數(shù)目n 成正比。但是在處理 a n d e r s o n 局域和光子禁帶中的缺陷態(tài)等問題時，計算量劇增。 1 5 光子晶體的應(yīng)用 1 5 1 光子導波器件 如果完整的光子晶體中引入線缺陷，就會形成波導結(jié)構(gòu)。頻率在光子帶隙里 的光波將被限制在線缺陷內(nèi)傳播。這是一種新型的導光機制，光波在普通光纖中 傳播時，利用的是兩種不同介質(zhì)界面上的全反射原理。傳輸光在小角度拐彎處將 損失大部分的能量，特別是拐小于9 0 0 的彎幾乎不可能。而在光子晶體波導中， 即使在拐9 0 0 彎的情況下，也具有很高的效率。由于優(yōu)異的光波導性能，所以光 子晶體波導在光學通訊中有廣泛的用途。光子晶體光纖。在拉制的光子晶體光纖 中還觀測到了產(chǎn)生超連續(xù)光的現(xiàn)象，一定頻率的光在光子晶體光纖里傳播，通過 自相位調(diào)制以及諧波效應(yīng)和其它的非線性效應(yīng)，使得出射光頻率大大的拓寬，變 成超連續(xù)光波。此外，通過引入點缺陷，可以將光子晶體做成波分復(fù)用器，做成 無閾值激光器等。光子晶體在未來的光子器件集成中將起關(guān)鍵作用。 1 5 2 單模發(fā)光二極管 在半導體材料中摻入少量的雜質(zhì)，在電子能隙中將會產(chǎn)生雜質(zhì)的缺陷態(tài)。類 似地向光子晶體中引入微腔，在光子帶隙中也將產(chǎn)生特定的缺陷態(tài)。在適當?shù)奈?腔結(jié)構(gòu)下，微腔將只對應(yīng)于單一的電磁模式。把發(fā)光二極管放置于這樣的光子晶 體中，二極管發(fā)出的光都將受到光子晶體禁帶的限制。從而出射光將具有很好的 方向性和單色性，同時發(fā)光二極管的轉(zhuǎn)換效率可得到大幅度的提高。 1 5 3 高發(fā)射率小型微波天線 傳統(tǒng)的小型偶極平面微波天線是以g a a s 做基底材料的，其發(fā)射效率只有2 而9 8 的能量被基底吸收或者散射消耗掉。如果采用光子晶體做基底材料，對 于頻率處于光予帶隙范圍內(nèi)的電磁波，光子晶體的表面是一個理想的反射面，光 子晶體基底幾乎不消耗能量。這樣天線所發(fā)射的電磁波均被發(fā)射到空間中，從而 大大提高了天線的發(fā)射效率。 1 6 本論文的主要工作 光子晶體不僅具有理論價值，更具有非常廣闊的應(yīng)用前景，它已成為光子學 和光子工程研究中的個重要課題。由于光子晶體帶隙分析沒有成熟的解析理 論，對光子晶體的理論研究主要還是依靠數(shù)值計算。目前可靠的商用軟件大多價 格昂貴，而且都為國外的公司開發(fā)?；ヂ?lián)網(wǎng)上共享的光子晶體計算軟件數(shù)量也很 有限，而且大部分并非基于f d t d 算法。國內(nèi)在這方面還是一片空白，基本上是 各自為戰(zhàn)，沒有開發(fā)出一套成熟的軟件來。 本人在導師的指導下，查閱了大量光子晶體和時域有限差分方法的文獻，編 制了一維和二維光子晶體能隙的計算程序，并編制了建模程序，為進一步實現(xiàn)可 視化計算打下了基礎(chǔ)。程序用c + + 語言編寫，便于向u n i x l i n u x 等平臺上擴展。 利用該程序，我們對一維光子晶體帶隙進行了分析。著重研究了介質(zhì)層數(shù)、 介質(zhì)配比和介質(zhì)的介電常數(shù)比對光予晶體帶隙的影響。另外還計算了完整周期二 維正方形品格光子晶體r x 方向的透射譜，以及引入線缺陷后的透射譜和場強 分布圖。 北京工業(yè)大學理學碩士學位論文 第2 章時域有限差分方法理論 2 1 引言 時域有限差分( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n 簡稱f d t d ) 法是求解電磁問題 的一種數(shù)值技術(shù)，它是在1 9 6 6 年由k s y e e 第一次提出的。f d t d 法直接將 有限差分式代替麥克斯韋時域場旋度方程中的微分式，得到關(guān)于場分量的有限差 分式，用具有相同電參量的空間網(wǎng)格去模擬被研究對象，然后選取合適的場初始 值和計算空間的邊界條件，就可以得到包含時問變量的麥克斯韋方程的四維數(shù)值 解。而且通過傅里葉變換還可求得三維空間的頻域解。 最初，由于當時計算機水平的限制，f d t d 技術(shù)本身也有很多重要問題無法 解決，使得其數(shù)值計算精度不高，應(yīng)用范圍也不很廣泛。但后來隨著f d t d 本 身技術(shù)和計算機技術(shù)的發(fā)展，首先解決了有限計算空間的無反射截斷問題，損耗 吸收邊界、輻射吸收邊界【4 2 】、平均值吸收邊界、單向波吸收邊界以及目前應(yīng)用 十分廣泛的完全匹配吸收層( p m l ) 邊界的應(yīng)用，使得f d t d 已能夠很好的解決像 輻射、散射等此類開放性問題。后來發(fā)展的回路積分法、總場與散射場分離技術(shù)、 近遠場變換等技術(shù)的應(yīng)用，使f d t d 算法已經(jīng)發(fā)展成了相當成熟的解決電磁場 問題的數(shù)值計算方法。 作為近年來發(fā)展十分迅速的一種電磁場的數(shù)值計算方法，f d t d 具有一些非 常突出的優(yōu)點： 1 適合分析復(fù)雜電磁系統(tǒng)。它能方便地分析各種復(fù)雜的電磁結(jié)構(gòu)，如只需 在空間點設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)，就能準確地模擬非均勻和各向異性媒質(zhì)。 2 適合于寬帶分析。只需在窄脈沖激勵下，在時域進行一次計算，就能獲 得寬頻帶的各種信息，這是頻域計算方法所無法比擬的優(yōu)點。 3 節(jié)省存儲空間。它的存儲空間與總網(wǎng)格n 成正比，而矩量法所需的存儲 空間與( 3 n ) 2 成正比。當n 比較大時，兩者的差別是很明顯的。 4 適合于并行計算。由于有限差分法計算時，每個網(wǎng)格點的物理量只與其 相鄰網(wǎng)格點的物理量相關(guān)，它特別適合并行計算。 5 適合于可視化計算。由于f d t d 方法是在時域中模擬電磁波的傳播及其 與目標的作用過程，因此，它特別適合進行可視化計算。 基于上述優(yōu)點，目前f d t d 方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于電磁散射、電磁兼容、天 線輻射、微波電路、生物電磁劑量學和瞬態(tài)電磁場等領(lǐng)域。 2 2m a x w e | i 方程及其f d t d 形式 2 2 1f d t d 的差分格式 就一般而言，任何一種微分方程數(shù)值解法的基本精神在于將原本連續(xù)型的問 題經(jīng)由適當?shù)某绦螂x散化成有限維的近似問題，再借助計算器將其近似解求出， 最后由數(shù)學分析來確保近似解的收斂性與穩(wěn)定性。傳統(tǒng)上求解微分方程的數(shù)值方 法為有限差分法，有限差分法的基本想法是將微分方程中的微分算子直接以差分 替代，造成一組有限個未知數(shù)的聯(lián)立方程式，進而求其解。這種方法主要的數(shù)學 分析工具就是泰勒定理，目前主要的基礎(chǔ)問題的算法及數(shù)學分析已經(jīng)相當完備。 在時域有限差分方法中，我們主要用中心差分來建立m a x w e l l 離散方程。 設(shè)有一函數(shù)f ( x ) ，當x 有一個微小的增量缸= h 時，相應(yīng)的函數(shù)f ( x ) 的增量為 a f = f ( x + h ) - f ( x )( 2 1 ) 運用中心差分，一階導數(shù)可以近似的表示為 d l 。笪盟： f ( x + ) 一f ( x h ) d e ca x2 h ( 2 2 ) 只要增量h 很小，差分與微分之間的差異也將很小。這就是將m a x w e l l 方程離散 的基本數(shù)學公式。 2 2 2y e e 元胞 為了建立差分方程，首先要在變量空間把連續(xù)變量離散化。通過把計算空間 劃分成許多網(wǎng)格，只對網(wǎng)格節(jié)點上的物理量進行計算，將在空間上連續(xù)分布的物 理量離散化。當在每個離散點上用有限差分來代替微商時，就把在一定空間解微 分方程的問題化為求解有限個差分方程的問題。導出的差分方程叫做原方程的差 分格式。 圖2 1 是由y e e 在1 9 6 6 年首先提出來的電磁場空間網(wǎng)格劃分體系，也叫做 y e e 元胞。這是在直角坐標系下的劃分形式，電磁場各分量的空間分布如圖所示。 由圖可以看出，每一個磁場分量由四個電場分量環(huán)繞；而每一個電場分量又 由四個磁場分量環(huán)繞。這種電磁場分量的空間取樣方式不僅符合法拉第感應(yīng)定律 北京工業(yè)大學理學碩士學位論文 和安培環(huán)路定律的自然結(jié)構(gòu)，而且電磁場各分量的空間相對位置也適合m a x w e l l 方程的差分計算。 圖2 一l l e e 元胞中的電場和磁場分量 f i g 2 1p o s i t i o no ft h ee l e c t r i ca n dm a g n e t i cf i e l dv e c t o rc o m p o n e n t sa b o u tac u b i c u n i tc e l lo f t h ey e es p a c el a t t i c e 2 2 3m a x w e | i 方程組 m a x w e l l 方程組是宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的一組基本方程，它可以寫成微分形 式，也可以寫成積分形式。f d t d 方法就是在m a x w e l l 方程組的微分形式的基礎(chǔ) 上進行差分離散，進而得到迭代公式，利用計算機進行數(shù)值求解。 f d t d 方法的數(shù)學基礎(chǔ)是含時間變量的兩個m a x w e l l 旋度方程 v 。療：塑+ 3 西 乳g = _ 0 a r 8 一無 其中， 豆為電場強度，單位為伏特米( v m ) ； 西為電通量密度，單位為庫侖米2 ( c m 2 ) ： 百為磁場強度，單位為安培瞇( a m ) ； 雪為磁通量密度，單位為韋伯米2 ( w b m 2 ) _ 7 為電流密度，單位為安培米2 ( a m 2 ) ； ( 2 3 ) ( 2 4 ) 第2 蘋時域有限差分方法理論 了。為磁流密度，單位為伏特米2 ( v m 2 ) ； 各向同性線性介質(zhì)中有如下關(guān)系 d = s e ，b = , u h ，j = e r e ，厶= o - h( 2 5 ) 其中， s 表示介質(zhì)的介電常數(shù)，單位為法拉米( f m ) ； t 表示磁導系數(shù)，單位為亨n 米( h m ) ； 盯表示電導率，單位為西門子米( s m ) ； 表示導磁率，單位為歐姆米( f 2 m ) ； 盯和吒分別為介質(zhì)的電損耗和磁損耗。 在直角坐標系中，m a x w e l l 方程組( 2 3 ) ( 2 4 ) 式可以寫為標量形式，經(jīng)過變換得到 以及 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 2 2 4m a x w eii 旋度方程的有限差分表示 根據(jù)圖( 2 1 ) ，可以定義網(wǎng)格點的坐標( “j ，k ) 為 ( f ， k ) = ( i a x ，j a y ，k a z ) ( 2 8 ) 其中心，緲，止是離散的空間網(wǎng)格坐標在分別在z ，y 和z 方向上的空間網(wǎng)格 間距；i ，j ，k 都為正整數(shù)。如果用f 表示時間的離散步長，r l 表示時間步數(shù)， 任意一個含時間和空間變量的函數(shù)可以寫成以下形式 f ”( i ，七) = f ( i a x ，j a y ，k a z ，n a t )( 2 9 ) 上式對時間和空間的微商可以利用中心差分近似表示為 巨 e e 盯 盯 盯 一 一 一 暇i鞏一缸戤一砂 堡砂堡出嗎|奄 f，f = i i = 峨一西嗎一a啦一甜 以 q 4 b g 幔一砂強i堡缸 嗎i堡融堡砂p = = = 啦百堡西啦百 北京工業(yè)大學理學碩士學位論文 型g 趔：旦坐堡叢_ 鯊型2( 2 1 0 ) 戧工 笙掣：竺望型生! 墊叢( 2 11 ) a f f 、 應(yīng)用以上( 2 1 0 ) 及( 2 11 ) 兩式，對m a x w e l l 方程組( 2 6 ) 進行離散，考慮到計算的方 便，采用平均值近似 掣“( f + ，j ，七) + e l ( f + ， k ) e “”( f + ，j ，七) = 二二二之二二 可以得到 e “( f + ，j ，i ) = e ( m ) 霹( + ，j ，t ) + g ( m ) - 1 型塹生絲芒望塑生坦 v 爿；“”( f + ，i + ) 一爿；“”( f + ，七一 ) 1 &l ( 2 1 2 ) 三( 墮一旦蛐1 一叢竺! 坐 啪，2 硒a t 2 2 矗墨 a t 2 2 ( m ) ：j 蘭七 ( 2 1 4 ) 14 螋 ” 2 e ( m ) 上式中標號m = ( f + 1 2 ，j ，七) 。i 到樣對( 2 6 ) 式的其余兩式離散， e “( f ，+ ，七) = e ( 聊) 髟( f ，j + ，k ) + g ( 聊) | 壁墊刖也芝望塑趔 l “ 一垡：3 生：生二竺：3 三：i ! 蜘 a x i 式中m = ( f ，j + 1 2 ，k ) ( 2 1 5 ) e “( f ，k + ) = e ( 研) e ( f ，k + ) 吲吣 豎業(yè)掣盟趔 日；“”( j ，+ ，k + 9 - 彬“”( f ，一 ，七+ ) l a y l 式中m = ( j ，j ，k + 1 2 ) 。 同理，可以將( 2 7 ) 式離散 爿：+ 1 他( f ，- ，+ ，l j + ) = d o ( m ) 日：_ 1 n ( f ，+ ，| j + ) 、 刮咖1 盟世甓掣 e ( f ，_ ，+ ，七+ 1 ) 一髟( f ，_ ，+ ，七) l a z i 其中 i 4 ；“”( f + ，| + ) = d