（課程與教學論專業(yè)論文）對中學數(shù)學教育中推理能力及其階段性培養(yǎng)的研究.pdf

2 摘 要 推理與我們的生活息息相關 一個人推理能力的大小 往往關系到事情的成敗 以及個人的成長和發(fā)展是公民必備的基本能力數(shù)學對發(fā)展推理能力的作用 人們早已深信不疑 首先本文從對數(shù)學推理數(shù)學推理能力的理解著手使人們對數(shù)學推理能 力有一個較為全面的科學的認識糾正長期以來數(shù)學教學注重采用形式化 的方式發(fā)展學生的論證推理能力而忽視合情推理能力的培養(yǎng)指出數(shù)學教學 應該采取論證推理和合情推理并重的原則來培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力 那么教育工作者如何充分地利用數(shù)學這一載體對中學生推理能力進行全面 的培養(yǎng)本文提出了其中應該注意的一些問題并且著重指出高質(zhì)量的數(shù)學教 育應以研究與掌握學生心理發(fā)展的規(guī)律為前提在不同階段學生在推理能力的 水平上呈現(xiàn)出不同的層次不考察學生心理發(fā)展的客觀規(guī)律就會使教育超前 或滯后學生的認知發(fā)展盲目行事因此對學生的數(shù)學推理能力的培養(yǎng)要注意 層次性 而教材是教與學的藍本關系著教育效果的優(yōu)劣因此好的教材要以學生 認知發(fā)展的階段水平為前提來編排才能更加具有針對性和實效性才能合理地 促進學生推理能力的發(fā)展本文對初中階段全日制初級中學數(shù)學教學大綱下 的現(xiàn)行教材與全日制義務教育數(shù)學課程標準下的實驗教材進行了分析分別 劃分出在幾何部分中二者發(fā)展學生推理能力時所編排的幾大層次 最后對二者呈現(xiàn)的階段性進行對比并且結(jié)合皮亞杰認知發(fā)展的四階段理 論以及數(shù)學教育成果與實踐評述兩類教材在發(fā)展初中生數(shù)學推理能力中階段劃 分的合理性 關鍵詞 數(shù)學推理 數(shù)學推理能力 論證推理能力 合情推理能力 認知發(fā)展水平 教材 層次性 3 abstract reasoning and our life are closely bound up. it is often concerned with ones reasoning ability that whether the things which he did succeeded and his development. so reasoning ability is integrant and basic to a person. mathematics plays a role in developing the ability. and we are cocksure of that. firstly, proceeding from the comprehension of mathematical reasoning and its ability, this article elaborated on the importance of deductive reasoning and plausible reasoning to correct long-term cognition of looking down on the later. so the article emphasized the point that mathematical teaching should take the policy of simultaneous development of the two abilities. then how the educators make good use of the subject of mathematics to train comprehensively the middle school students reasoning ability, on that the article put forward the point that the students disciplinarian of cognitive development is the precondition and foundation of the mathematical education. so the mathematical teaching progress about developing the middle school students reasoning ability should be conscious of their different levels on their corresponding cognitive periods. the mathematical textbook is the chief source of teaching and studying, and relates to the quality of the mathematical education. the eligible textbook is compiled in the different periods effectively according to the levels of the students cognitive ability, in order to improve their reasoning ability. the article analyzed the process of active geometry textbook on mathematics teaching program and experimental one on mathematics curriculum standard in developing of junior high school students mathematical reasoning ability. by demurely analyzing the article compartmentalized the two textbooks stages about training the students mathematical reasoning ability. finally, the article commented on the rationality of the method of each compilation in the geometry textbook according to the cognitive development theory of j.piaget and mathematical educational achievement. key words mathematical reasoning reasoning ability of mathematics deductive reasoning ability plausible reasoning ability development of cognition textbook characteristic of phases 4 對數(shù)學推理的概述 牛頓從蘋果落地受到啟發(fā)發(fā)現(xiàn)并證明了萬有引力定律解決了困擾人們幾 十年的一個物理學難題這個故事大家都十分熟悉可謂婦孺皆知其過程充分 體現(xiàn)了推理這一思維形式蘋果為什么不往天上飛也不向前后左右掉而偏偏 是垂直地往地上落呢那么一定有什么東西地球在向下吸引它既然蘋果與 地球之間存在吸引力那么其它任何兩個物體之間呢經(jīng)過一系列的推理導出 了萬有引力定律這類事例不勝枚舉推理貫穿其中舉足輕重它作為發(fā)現(xiàn)和 論證真理的主要思維形式為我們開啟了科學之門帶領著我們?nèi)ヌ剿骺茖W的堂 奧 在日常生活中推理也是隨處可見的與我們的生活息息相關醫(yī)療診斷 市場開發(fā)公安破案企業(yè)決策等方方面面推理是我們在聽說讀寫想 中運用的最基本最重要的思維形式之一尤其在當今信息高度紛繁的現(xiàn)代社會 經(jīng)常需要人們通過推理進行選擇和判斷做出決策 11 對數(shù)學推理的理解 推理既然滲透在我們的生活之中那如何來理解推理呢推理是由一個或 幾個已知判斷推出另一個未知判斷的思維形式在數(shù)學中通常把直接表達 判斷的語句稱為命題因而數(shù)學推理就是由已知命題推出新命題的思維過程 具體說來數(shù)學推理是人們在數(shù)學觀念系統(tǒng)作用下由若干數(shù)學條件結(jié)合一定 的數(shù)學知識方法對數(shù)學對象形成某種判斷的思維操作過程 數(shù)學推理作為一類推理有其自身的特點首先就推理的對象而言數(shù)學 推理的對象既不是生活中的常識也不是社會現(xiàn)象而是表示數(shù)量關系和空間形 式的數(shù)學符號其次就推理過程而言在某一個思考過程中數(shù)學推理較之一 般推理更是環(huán)環(huán)相扣連貫進行并且推理的依據(jù)主要來自問題所在數(shù)學系統(tǒng) 數(shù)學高度的抽象性和邏輯的嚴謹性使得數(shù)學推理相對具有一定的難度 數(shù)學是推理的音樂推理是數(shù)學思維的核心的確數(shù)學在某種意義上說 是處理抽象實體的準則而推理是理解抽象的工具我們要依靠推理來思考數(shù)學 客體的確定性并加以廣泛應用因此從數(shù)學學習的過程看無論是數(shù)學知識 的形成還是數(shù)學知識的應用都離不開數(shù)學推理它在數(shù)學學習中占據(jù)中心位置 12 數(shù)學中常用的推理 1 推理有內(nèi)容和形式兩個方面內(nèi)容指推理的前提和結(jié)論前提和結(jié)論之間的 5 聯(lián)系方式則稱為推理的形式它體現(xiàn)的是一種思維過程推理的形式也稱為推理 的方法在形式邏輯中通常只研究推理的形式部分不涉及推理的內(nèi)容則一般 所說的推理即指推理形式這樣推理本身的正確性或稱為有效性只由推理形 式?jīng)Q定而推理結(jié)論的真假性卻不僅取決于推理形式還有前提的真假性 數(shù)學推理按推理形式可以分為演繹法歸納法和類比法即演繹推理歸納 推理和類比推理按照推理結(jié)論的可信性它們又可分別歸屬為兩大類一類是 論證推理必真推理另一類是合情推理似真推理 121 論證推理 在推理的前提正確無誤的情況下推理方法可以導出真實的推理結(jié)論即真 命題則稱這種推理方法為必真的推理方法一般說來必真的推理方法都可以 作為數(shù)學中嚴格論證的方法即又稱為論證推理完全歸納法和演繹法屬于論證 推理它們在數(shù)學理論的整理與證明中有著重要作用 完全歸納法一種特殊的歸納法在歸納推理中當前提判斷的范圍與結(jié)論判斷 的范圍相同時這時的歸納法就稱為完全歸納法由于完全歸納法需要考察一類 事物的全體對象這使它的應用具有一定的局限性而演繹法即演繹推理則是 一種主要的論證推理 1211 演繹推理 演繹推理是思維進程中以某一類事物的一般判斷為前提而作出的該類事物 中的個別特殊事物的判斷的思維形式因此是從一般到特殊的推理這種推理以 形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)有三段論關系推理聯(lián)言推理選言推理假言 推理和模態(tài)推理等推理模式由于演繹推理的每一步都是可靠的無可置辯的和 終決的因而可以用它來肯定數(shù)學知識建立嚴格的數(shù)學體系 曾有人說 演繹是數(shù)學的心臟在很多書中把演繹推理作為論證推理的別名 可見其分量的確演繹推理在數(shù)學中起著舉足輕重的作用它是數(shù)學證明的工 具數(shù)學結(jié)論的可信性要通過演繹推理得到確認演繹的過程是對數(shù)學問題的證 明整理和理解的過程演繹法是擴展數(shù)學知識體系揭示知識的內(nèi)部聯(lián)系的主 要方法因此呈現(xiàn)在我們面前的數(shù)學是一門以論證推理為特征的演繹科學演 繹推理是數(shù)學的特殊標志 1212 證明與證明方法 前面提到論證推理的作用之一便是用于數(shù)學證明證明是數(shù)學的靈魂黑 格爾語人類對數(shù)學命題進行證明的研究已有兩千多年的歷史了數(shù)學家們總是 不厭其煩地去找出一個又一個的命題然后再想方設法證明它們但是證明不 6 是數(shù)學的專利物理學中有證明化學需要證明法官判案離不開證明生活中 也充滿了證明 證明是由若干段推理組成的包括論題論據(jù)和論證三部分數(shù)學證明要求 論題真實論據(jù)確鑿論證嚴謹 數(shù)學證明的種類很多從推理形式上分為演繹證明和歸納證明它們又分別 稱為演繹證法和歸納證法歸納證明是用完全歸納推理形式進行的論證演繹證 明是用演繹推理形式進行的論證很多書上都把它認為是數(shù)學力量的表現(xiàn)是數(shù) 學區(qū)別于其它科學的主要特征數(shù)學史上演繹證明的典范是歐幾里得的幾何 原本它使數(shù)學知識的整理工作達到了一個輝煌的高峰被稱為數(shù)學家的圣經(jīng) 在數(shù)學史乃至人類科學史上具有無與倫比的崇高地位它對數(shù)學定理按邏輯次序 的排列對數(shù)學定理的證明構(gòu)建了數(shù)學史上第一個公理系統(tǒng)開創(chuàng)了科學理論 系統(tǒng)化的先河決定了其后的數(shù)學思想的發(fā)展所以幾何原本從歐幾里得時 代至十八世紀一直是學習幾何和推理的重要教材像這樣一本書作為教材被人 們推崇兩千多年是人類文化史上所沒有的 此外在中學數(shù)學證明中還用到兩種特殊的證明方法反證法和數(shù)學歸納法 其中反證法是一種間接證法數(shù)學歸納法屬于演繹法它是用來證明某些與自然 數(shù)有關的數(shù)學命題的方法 證明是研究數(shù)學的重要方法也是數(shù)學課程和數(shù)學學習的重要組成部分因 此正確認識證明的教育功能是數(shù)學教學的需要也是實現(xiàn)數(shù)學教育目標的需要 首先數(shù)學證明的價值顯然有助于核實真理還有一個更重要的價值是增進 理解尤其是一個命題的不同證明方法能加深學生對該命題及其相關知識的理 解并且證明將命題的條件和結(jié)論聯(lián)系起來把新舊知識聯(lián)系起來使有關知 識形成一個邏輯鏈一個知識子系統(tǒng)從而使學生習得的知識得以系統(tǒng)化此外 在證明中還能發(fā)展學生的思維能力甚至通過思路的拓寬導致新的發(fā)現(xiàn) 因此應該讓學生懂得數(shù)學證明的價值從中體會和理解證明的必要性并 能對一些命題加以證明 122 合情推理 合情推理一詞來自 plausible reasoning 又譯為似真推理它指在推理中前 提是真命題而推理結(jié)論不一定為真則把這種合乎情理的好像為真的推理稱 為合情推理也稱為或然推理它是人們根據(jù)已有的經(jīng)驗知識直觀與感覺得 到的一種可能性推理物理學家的歸納論證律師的案情論證歷史學家的史料 論證和經(jīng)濟學家的統(tǒng)計論證都屬于合情推理之列波利亞polya說數(shù)學家的 創(chuàng)造性工作成果是論證推理即證明但是這個證明是通過合情推理通過猜想 7 而發(fā)現(xiàn)的只要數(shù)學的學習過程稍能反映出數(shù)學發(fā)明過程的話那么應當讓猜想 合情推理占有適當?shù)奈恢?數(shù)學中的合情推理是多種多樣的其中不完全歸納推理簡稱歸納推理和 類比推理是兩種用途最廣的特殊合情推理不完全歸納推理它是由某一類對象 的個別部分所具有的屬性出發(fā)而得到這一類對象都具有該屬性的思維方式類 比推理是根據(jù)兩個不同的對象的某些方面如特征屬性關系等相同或相 似而推出它們在其它方面也相同或相似的思維形式盡管用合情推理得到的結(jié) 論具有或然性還只能稱之為猜想其正確或錯誤還需要嚴格論證但合情推理 在數(shù)學和數(shù)學教育中卻發(fā)揮著不小的作用 1221 合情推理有助于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新 古往今來許多科學家都指出了合情推理在發(fā)現(xiàn)發(fā)明中的作用并達成了共 識法國數(shù)學家拉普拉斯laplace說數(shù)學本身賴以獲得真理的重要工具是歸 納和類比一般說來合情推理中的類比與歸納在數(shù)學創(chuàng)造活動中是相互配合 協(xié)同作戰(zhàn)的其作用關系可用框圖圖 1來表示 的確合情推理這一思維形式中蘊涵著想像和直覺判斷而想像和直覺屬于 創(chuàng)造性思維的范疇所以合情推理有發(fā)現(xiàn)新知識與探索真理的創(chuàng)造性作用并且 用合情推理提出的猜想可以作為數(shù)學研究的起點豐富數(shù)學研究的內(nèi)容這對數(shù) 學的發(fā)生發(fā)展有著很大的推動作用 圖 1 1222 合情推理在數(shù)學教學中有著廣泛的應用 例如中學數(shù)學教材中的一些概念公式及定理通過歸納法引出更符合學 生的認知特點也符合人們的從特殊到一般的認識規(guī)律并且有些公式定理 由于知識經(jīng)驗的局限性只能讓學生暫時接受其真實性常常是用不完全歸納 法給出而不加以證明在問題解決教學中教師也可引導學生自覺地用歸納方法 探索發(fā)現(xiàn)解決問題的思路和方向 還有合情推理中的另一種重要方法類比也在數(shù)學教學中發(fā)揮著重要作用 它不僅是學習知識系統(tǒng)地掌握知識和鞏固知識的有效方法之一而且在問題解 決中具有啟迪思維的作用學生在學習中常常調(diào)動利用原有認知結(jié)構(gòu)借助類 從具體問題 或具體素材 出發(fā) 實驗 類比 歸納 聯(lián)想 推廣 預見 形成 猜想 證明 8 比由此及彼溫故知新有效地建構(gòu)新的認知從而推動對新知識的理解和掌 握在此基礎上進一步作恰當類比還可以將這些知識有機地聯(lián)系起來 在問題解決中每當理智缺乏可靠論證的思想時類比這個方法往往指引我 們前進康德語當人們面臨一個比較生疏的問題時往往可以聯(lián)想一個比較 熟悉的問題作為類比對象熟悉問題的解決途徑和方法常可啟發(fā)思維提供線索 使人觸類旁通找到生疏問題的解決途徑和方法也正如波利亞所說類比是一 個偉大的引路人 因此 合情推理的實質(zhì)是發(fā)現(xiàn)這種發(fā)現(xiàn)不限于尋求人類尚未知曉的事物 確切地說它是發(fā)現(xiàn)者用自己的頭腦親自獲得知識自主建立認知結(jié)構(gòu)的過程 是人們探索和創(chuàng)新精神的體現(xiàn) 在數(shù)學教學中需要著重指出的是探索是數(shù)學教學的生命線對概念 公式定理要盡量還原其發(fā)現(xiàn)過程進行實驗聯(lián)想類比歸納猜 想即引導學生先用合情推理的方法給出猜想再加以證明同樣這種方法對很 多例題習題的教學也是適用的 利用合情推理的方法組織教學符合學生心理的認知過程便于學生對所學 內(nèi)容的理解和掌握并且有利于學生認識到數(shù)學學習不是記憶公式或者做些練 習更重要的是探尋解法探索模式或形成猜測只有當教學中反映出這些重點 時學生才有機會把數(shù)學作為一門探索性的動態(tài)的發(fā)展的學科來學習這對 發(fā)展學生的數(shù)學推理能力無不具有重要意義 通過對論證推理和合情推理的分析我們可以看出二者在數(shù)學推理中都有各 自的特點與作用論證推理是對數(shù)學問題的證明整理的過程是發(fā)展數(shù)學知識 體系揭示知識的內(nèi)部聯(lián)系加深對知識充分理解的主要方法它使數(shù)學具有嚴 格的邏輯性即演繹性但這僅僅是數(shù)學的一個方面數(shù)學所呈現(xiàn)的東西是數(shù)學 建造過程的尾聲是數(shù)學家創(chuàng)造性工作結(jié)出的果實而在依靠論證推理整理成這 些定型的邏輯材料之前有著更為漫長的探索發(fā)現(xiàn)過程這就是數(shù)學的另一個側(cè) 面數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法之一合情推理它是同樣重要的數(shù)學推理方法正如全 能的數(shù)學家彭佳勒早就指出數(shù)學推理的性質(zhì)是什么把它仔細分析一下知 大不為然它在某種范圍內(nèi)卻帶有歸納推理合情推理的性質(zhì)其所以豐裕 亦正在此因此論證推理和合情推理既不相同又相輔相成數(shù)學推理是二者 的有機結(jié)合我們必須正確處理好二者的關系全面培養(yǎng)學生的推理能力 彭佳勒科學與假設北京商務印書館1930 9 13 數(shù)學推理與數(shù)學思維 在前面通過對推理概念的介紹我們認識到推理是一種思維形式而思維是 人腦對客觀世界的本質(zhì)屬性相互關系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括的和間接的反映 是心理學的核心問題從屬于認識過程多年來一直受到心理學家的關注具體 說來思維是在表象概念的基礎上進行分析綜合判斷推理等認識活動的 過程所以推理從屬于認識過程它可以作為一個相對獨立的思維活動出現(xiàn) 也可經(jīng)常參與許多其它的認識活動 在數(shù)學中思維就其基本成分而言一般分為形象思維抽象邏輯思維和直 覺思維三種這三種思維形式都是數(shù)學推理在數(shù)學活動中的不同表現(xiàn)相互作用 交織在一起首先勿庸置疑邏輯思維與形象思維的主要運演手段分別是論證 推理和合情推理此外我們認為直覺思維主要指直覺和靈感是人腦對客 觀世界及其關系的一種非常直接的識別或猜想的心理狀態(tài)也是一種合情推理 它是數(shù)學推理過程斷與續(xù)即簡縮性跳躍性間斷性直接性的一種 表現(xiàn) 因此數(shù)學推理屬于數(shù)學思維形式而一切數(shù)學思維活動又以推理的某種形 式展開這樣對數(shù)學推理的訓練能有利地增強學生思維的嚴密性與靈活性以 及思維的廣闊性與深刻性進而改善他們的思維品質(zhì) 綜上數(shù)學推理主要的教育功能一方面數(shù)學推理為數(shù)學的建立和發(fā)展起 著重要的基礎作用另一方面推理是培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)形成理性思維導 致真正的數(shù)學記憶和洞察的基礎在數(shù)學推理中要用到相互關聯(lián)的知識因此 推理把數(shù)學內(nèi)容看成是一個相互關聯(lián)的知識網(wǎng)這不僅是推理的結(jié)果也是進一 步推理的基礎這顯然對學生進行有意義的學習建構(gòu)良好的認知結(jié)構(gòu)是十分有 益的這樣推理就能幫助學生更好地理解數(shù)學研究的對象認識數(shù)學并產(chǎn)生 一種可靠的記憶基本的數(shù)學關系的本質(zhì)記憶即數(shù)學記憶并且通常所 說的數(shù)學儲存數(shù)學靈感事實上都有賴于數(shù)學記憶和數(shù)學知識網(wǎng)的形成和 發(fā)展同時數(shù)學儲存數(shù)學靈感又都是洞察的基礎因此總的說來數(shù) 學推理不僅是建立數(shù)學發(fā)展數(shù)學的基礎也是學生形成理性思維導致真正的 數(shù)學理解和洞察的基礎 2 對數(shù)學推理能力的認識 推理能力是一個公民應具備的基本能力之一推理能力的大小往往關系到 事情的成敗以及個人的成長和發(fā)展因而推理能力水平的高低是衡量一個人 智力發(fā)展水平的重要標志國外許多心理學家把它作為劃分兒童智力發(fā)展階段的 9 13 數(shù)學推理與數(shù)學思維 在前面通過對推理概念的介紹我們認識到推理是一種思維形式而思維是 人腦對客觀世界的本質(zhì)屬性相互關系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括的和間接的反映 是心理學的核心問題從屬于認識過程多年來一直受到心理學家的關注具體 說來思維是在表象概念的基礎上進行分析綜合判斷推理等認識活動的 過程所以推理從屬于認識過程它可以作為一個相對獨立的思維活動出現(xiàn) 也可經(jīng)常參與許多其它的認識活動 在數(shù)學中思維就其基本成分而言一般分為形象思維抽象邏輯思維和直 覺思維三種這三種思維形式都是數(shù)學推理在數(shù)學活動中的不同表現(xiàn)相互作用 交織在一起首先勿庸置疑邏輯思維與形象思維的主要運演手段分別是論證 推理和合情推理此外我們認為直覺思維主要指直覺和靈感是人腦對客 觀世界及其關系的一種非常直接的識別或猜想的心理狀態(tài)也是一種合情推理 它是數(shù)學推理過程斷與續(xù)即簡縮性跳躍性間斷性直接性的一種 表現(xiàn) 因此數(shù)學推理屬于數(shù)學思維形式而一切數(shù)學思維活動又以推理的某種形 式展開這樣對數(shù)學推理的訓練能有利地增強學生思維的嚴密性與靈活性以 及思維的廣闊性與深刻性進而改善他們的思維品質(zhì) 綜上數(shù)學推理主要的教育功能一方面數(shù)學推理為數(shù)學的建立和發(fā)展起 著重要的基礎作用另一方面推理是培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)形成理性思維導 致真正的數(shù)學記憶和洞察的基礎在數(shù)學推理中要用到相互關聯(lián)的知識因此 推理把數(shù)學內(nèi)容看成是一個相互關聯(lián)的知識網(wǎng)這不僅是推理的結(jié)果也是進一 步推理的基礎這顯然對學生進行有意義的學習建構(gòu)良好的認知結(jié)構(gòu)是十分有 益的這樣推理就能幫助學生更好地理解數(shù)學研究的對象認識數(shù)學并產(chǎn)生 一種可靠的記憶基本的數(shù)學關系的本質(zhì)記憶即數(shù)學記憶并且通常所 說的數(shù)學儲存數(shù)學靈感事實上都有賴于數(shù)學記憶和數(shù)學知識網(wǎng)的形成和 發(fā)展同時數(shù)學儲存數(shù)學靈感又都是洞察的基礎因此總的說來數(shù) 學推理不僅是建立數(shù)學發(fā)展數(shù)學的基礎也是學生形成理性思維導致真正的 數(shù)學理解和洞察的基礎 2 對數(shù)學推理能力的認識 推理能力是一個公民應具備的基本能力之一推理能力的大小往往關系到 事情的成敗以及個人的成長和發(fā)展因而推理能力水平的高低是衡量一個人 智力發(fā)展水平的重要標志國外許多心理學家把它作為劃分兒童智力發(fā)展階段的 10 主要指標之一在數(shù)學中由于學科的特點在學習活動中推理能力作為不可或 缺的一種數(shù)學能力是其它數(shù)學能力的前提和基礎在數(shù)學的教與學中扮演著重 要角色 21 對數(shù)學推理能力的界定 要較全面的理解數(shù)學推理能力把握好數(shù)學推理與數(shù)學能力這兩 個概念是必要的 以往數(shù)學推理能力即被認為邏輯思維能力顯然這種理解是片面的通過 以上對數(shù)學推理的詳細分析我們對數(shù)學推理有了較全面的認識首先數(shù) 學推理是一種思維形式這一點可幫助我們來深入地理解數(shù)學推理能力是一 種數(shù)學思維能力 并且數(shù)學推理不僅表現(xiàn)為邏輯思維這種形式還表現(xiàn)為直覺思維和形象 思維形式因此數(shù)學推理能力實際上是學生邏輯論證能力獨立思考能力 探索能力創(chuàng)新能力等的綜合體現(xiàn)是一種復合型能力 借助數(shù)學推理認識我們初步認識了數(shù)學推理能力接著參看一下數(shù) 學能力在數(shù)學中關于數(shù)學能力目前也還沒有統(tǒng)一的認識結(jié)合能力的理 解可以認為數(shù)學能力是一種個性心理特征它對數(shù)學活動的進程和方式起著 直接的穩(wěn)定的調(diào)控作用很多人贊成把數(shù)學能力看成是在數(shù)學活動中獲得的 是在掌握和運用數(shù)學知識數(shù)學技能的過程中形成的因此數(shù)學能力原則上屬 于數(shù)學活動經(jīng)驗范疇這樣看來數(shù)學推理能力就可以簡單認為是人們從事數(shù) 學推理這一思維活動的個性心理特征 因此通過認真分析筆者把數(shù)學推理能力界定為在數(shù)學活動中用合 情推理去獲得對知識的理解探求問題解決的途徑以及獲得發(fā)現(xiàn)發(fā)明而按 邏輯思維規(guī)律運用論證推理對探索出的結(jié)論加以檢驗證明的個性心理特征 22 數(shù)學推理能力的表現(xiàn) 中學生數(shù)學推理能力一般具有以下表現(xiàn) 1通過實驗歸納類比等獲得數(shù)學猜想并進一步尋求證據(jù)給出證明 或舉出反例也就是說 學生獲得數(shù)學結(jié)論常常經(jīng)歷合情推理論證推理的過程 對這一表現(xiàn)我們不再贅述 2合乎邏輯地準確地闡述自己的數(shù)學思想和觀點 這一點又表現(xiàn)為推理能力的兩個層次思考者能清晰有條理地表達自己的 教育部基礎教育司組織編寫數(shù)學課程標準解讀北京師范大學出版社2002164 11 思考過程做到言之有理落筆有據(jù)在此基礎上能準確運用數(shù)學語言合乎邏輯 地嚴謹?shù)乇磉_自己的觀點即學生的數(shù)學表達經(jīng)歷內(nèi)部語言外部語言形 式化的數(shù)學語言的過程 具體說來無論在合情推理或演繹推理的過程中思考者常在自己的頭腦中 使用殘缺不全不連貫具有高度情境性的語言要把這種內(nèi)部語言轉(zhuǎn)化為 外部語言需要理清思考過程中每一個判斷的理由和依據(jù)使思考過程變得清晰 而有條理從而才能有理有據(jù)地進行口頭表達和書面表達當然這時學生可以使 用非形式化的自然語言以此為前提掌握形式表達的語義內(nèi)容并能加以運用 用數(shù)學語言合乎邏輯地準確地精練地與他人進行交流討論及其質(zhì)疑達到 數(shù)學推理表達的更高階段 3能運用數(shù)學概念思想和方法辨明數(shù)學關系即一個概念系統(tǒng)中公式 法則定理公理間的關系以及不同概念之間的關系建構(gòu)知識體系進行問 題解決 以上我們論述了數(shù)學推理能力的外部表現(xiàn)而具體到學生個體在數(shù)學推理 能力的表現(xiàn)上又不盡相同會有強弱高低之分而數(shù)學推理能力是一種復合能 力是許多數(shù)學能力的綜合體所以我們從數(shù)學推理能力的內(nèi)部結(jié)構(gòu)著手對學 生個體數(shù)學推理能力的表現(xiàn)差異進行分析 1對數(shù)學材料迅速而正確的概括能力 數(shù)學概括能力是數(shù)學推理能力的基礎它是指從大量的或繁雜的數(shù)學材料中 抽出最重要的東西以及外表不同的數(shù)學材料中看出共同點的能力數(shù)學概括是 一種特殊的概括它的對象既有現(xiàn)實世界又有在現(xiàn)實生活中概括出來的數(shù)字 符號和圖形即概括基礎上的再概括 數(shù)學概括能力包括不同的方面數(shù)學概念和數(shù)學規(guī)律的概括顯然這種概括 是歸納推理的基礎把概括的內(nèi)容具體化它在演繹推理中用到在概括的基礎 上再概括進而把數(shù)學知識系統(tǒng)化這是概括的步步高級層次可見一方面 概括能力是推理能力的前提另一方面隨著推理能力的增強概括的層次也在 提高反之亦然 2縮短推理過程用簡縮的結(jié)構(gòu)來進行思維的能力 簡縮在數(shù)學活動中有兩方面的意義一方面簡縮指推理過程程序的縮短 但其運演過程是連續(xù)的合理的即推理過程的壓縮隨著學習的深入基礎 的提高熟練度的加深思維過程便出現(xiàn)簡化省略并開始尋找捷徑另一方 面簡縮表現(xiàn)為思維的跳躍式即不連貫性這是更高層次的簡縮它一般是建 立在學生有了一定數(shù)學能力后形成了各種聯(lián)想這一基礎之上的如合情推理中 的直覺思維 12 縮短推理能力有利于提高思維效率直接抓住問題的癥結(jié)并可以進行發(fā)現(xiàn) 創(chuàng)新活動 3對推理方法的轉(zhuǎn)換能力 對推理方法轉(zhuǎn)換能力主要指心理運演的靈活性其表現(xiàn)形式為善于靈活運用 法則公理定理和方法概括遷移能力強善于靈活變換思路能從不同角 度方向方面運用多種方法去著手解決問題善于把分析與綜合特殊與一般 具體與抽象有機地聯(lián)系起來善于從正向思維容易轉(zhuǎn)向逆向思維等 數(shù)學推理能力弱的學生有很大一部分是由于推理方法轉(zhuǎn)換較為呆板在推 理中總是遵循業(yè)已使用的規(guī)則和思維方式當遇到新情況新問題和困難時缺 少應變能力導致推理進程停止不前半途而廢這樣長此以往對推理能力的 發(fā)展造成障礙 4在推理過程中的反省認知能力 推理過程的反省認知能力主要指在推理過程中學生每進行一次推理都必須 反思自己這樣推理所要達到的目的以及這樣推理的合理性使推理過程始終處于 自己的意識監(jiān)控之下 數(shù)學推理能力較強的學生往往反省認知能力也較強其表現(xiàn)為推理的思路 清楚具體問題具體分析能及時調(diào)節(jié)修改思路善于發(fā)現(xiàn)推理過程中出現(xiàn)的 錯誤并及時糾正能夠抓住問題解決的有用條件剔除干擾因素善于對問題的 可解性作出正確的估計推理過程的目的性強等這樣推理過程的每一步基本 在意識的監(jiān)控之下提高了推理的效率和結(jié)果的正確性使推理的每一步有根有 據(jù) 5對推理結(jié)果的反思能力 對推理結(jié)果進行反思簡單的指對推理結(jié)果進行檢驗和評估但這還遠遠不 夠更重要的是一方面分析出推理結(jié)果反映出的規(guī)律即從具體的題目中歸 納出一般的結(jié)論和方法并能舉一反三靈活運用另一方面分析自己在推理 過程中思維的優(yōu)劣比如思考還有沒有更簡捷的思路和更佳的方法和同學進 行交流和比較回憶自己推理過程中的漏洞和不足及時彌補對推理結(jié)果的反 思有利于優(yōu)化推理思維結(jié)構(gòu)提高推理思維水平 研究數(shù)學推理能力的目的在于對其的發(fā)展和提高為具體教學提供可借鑒的 內(nèi)容 3 數(shù)學推理能力的培養(yǎng) 古人在九章算術中就設有推理章來培養(yǎng)學生的推理能力而現(xiàn)代在 12 縮短推理能力有利于提高思維效率直接抓住問題的癥結(jié)并可以進行發(fā)現(xiàn) 創(chuàng)新活動 3對推理方法的轉(zhuǎn)換能力 對推理方法轉(zhuǎn)換能力主要指心理運演的靈活性其表現(xiàn)形式為善于靈活運用 法則公理定理和方法概括遷移能力強善于靈活變換思路能從不同角 度方向方面運用多種方法去著手解決問題善于把分析與綜合特殊與一般 具體與抽象有機地聯(lián)系起來善于從正向思維容易轉(zhuǎn)向逆向思維等 數(shù)學推理能力弱的學生有很大一部分是由于推理方法轉(zhuǎn)換較為呆板在推 理中總是遵循業(yè)已使用的規(guī)則和思維方式當遇到新情況新問題和困難時缺 少應變能力導致推理進程停止不前半途而廢這樣長此以往對推理能力的 發(fā)展造成障礙 4在推理過程中的反省認知能力 推理過程的反省認知能力主要指在推理過程中學生每進行一次推理都必須 反思自己這樣推理所要達到的目的以及這樣推理的合理性使推理過程始終處于 自己的意識監(jiān)控之下 數(shù)學推理能力較強的學生往往反省認知能力也較強其表現(xiàn)為推理的思路 清楚具體問題具體分析能及時調(diào)節(jié)修改思路善于發(fā)現(xiàn)推理過程中出現(xiàn)的 錯誤并及時糾正能夠抓住問題解決的有用條件剔除干擾因素善于對問題的 可解性作出正確的估計推理過程的目的性強等這樣推理過程的每一步基本 在意識的監(jiān)控之下提高了推理的效率和結(jié)果的正確性使推理的每一步有根有 據(jù) 5對推理結(jié)果的反思能力 對推理結(jié)果進行反思簡單的指對推理結(jié)果進行檢驗和評估但這還遠遠不 夠更重要的是一方面分析出推理結(jié)果反映出的規(guī)律即從具體的題目中歸 納出一般的結(jié)論和方法并能舉一反三靈活運用另一方面分析自己在推理 過程中思維的優(yōu)劣比如思考還有沒有更簡捷的思路和更佳的方法和同學進 行交流和比較回憶自己推理過程中的漏洞和不足及時彌補對推理結(jié)果的反 思有利于優(yōu)化推理思維結(jié)構(gòu)提高推理思維水平 研究數(shù)學推理能力的目的在于對其的發(fā)展和提高為具體教學提供可借鑒的 內(nèi)容 3 數(shù)學推理能力的培養(yǎng) 古人在九章算術中就設有推理章來培養(yǎng)學生的推理能力而現(xiàn)代在 13 學校的基礎課程中對學生的推理能力進行培養(yǎng)的教育呼聲最響亮的要毫無疑 問的屬于數(shù)學學科可見推理在數(shù)學教學中的地位因為學生推理能力的提高 不僅有利于數(shù)學學習的順利進行而且歸根結(jié)底是為了提高公民的素質(zhì)以適應 時代發(fā)展的要求國家教育部 2001 年 7 月頒布的全日制義務教育數(shù)學課程標準 實驗稿中指出義務教育階段數(shù)學課程的學習強調(diào)學生的數(shù)學活動發(fā) 展學生的推理能力2000 年全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱實驗修訂 版把推理能力作為一種思維能力列入教學的基本目標之一其它國家例如美 國亦是如此nctm 在 2000 年推出的新標準中強調(diào)指出推理能力的培養(yǎng)是 數(shù)學教育中不可忽視的一個重要問題在數(shù)學中對學生的推理能力進行培養(yǎng) 有其深刻的客觀原因和良好的教育成效 可以說數(shù)學學科是發(fā)展學生推理能力的理想國因為數(shù)學具有如下的一些 特點被認為是最適合于進行推理的學科任何術語都被清楚地解釋證明過程 都嚴格地合乎邏輯而不含糊不受任何權(quán)威意見之約束與限制任何悖于常理的 概念與理論只要它能對數(shù)學的發(fā)展有促進作用就不會長期為人們所拒絕 誠然在數(shù)學中人類的理性可以最大限度地發(fā)揮并得到發(fā)展因此數(shù) 學是培養(yǎng)學生邏輯思維能力最好的最經(jīng)濟的材料正如加里寧所說數(shù)學是 鍛煉思維的體操化學家羅蒙諾索夫說至于數(shù)學即使是只不過使人們的思 維有條理也應該學習 嚴格的邏輯推理僅是數(shù)學訓練思維能力的一個方面從前兩章的分析論述中 我們還可得出數(shù)學中蘊涵著豐富的形象思維直覺思維還是學習合情推理的 理想課堂的確數(shù)學思維本身是生動活潑的發(fā)明創(chuàng)造過程其中包括想像類 比聯(lián)想直覺頓悟等方面都表現(xiàn)得淋漓盡致數(shù)學學習是發(fā)現(xiàn)問題提出 問題分析問題解決問題的過程是培養(yǎng)自主學習探索能力的最經(jīng)濟的場所 數(shù)學是啟迪智慧的鑰匙數(shù)學使思維產(chǎn)生活力數(shù)學對提高學生的合情推理 能力有重大的教育價值和意義 因此一切數(shù)學思維活動都或多或少的以數(shù)學推理的某種形式展開數(shù)學與 推理密不可分 3 1 數(shù)學教學與學生推理能力的培養(yǎng) 數(shù)學作為學科因素為學生推理能力的發(fā)展創(chuàng)造了廣闊的天地在現(xiàn)代教學論 中數(shù)學教學被強調(diào)為是思維活動的教學而數(shù)學思維活動的核心又是數(shù)學推理 吳亞萍美國數(shù)學教育的核心問題推理能力的培養(yǎng)外國教育資料1999.559 丁石孫張祖貴 數(shù)學與教育 湖南教育出版社 1998113 14 這樣關于推理的教學便是數(shù)學教學的重點發(fā)展學生的推理能力便成為數(shù)學教 育的中堅因此數(shù)學教學在學生推理能力的培養(yǎng)中具有不可或缺的突出作用 這幾乎是舉世公認無可辯駁的教師要通過數(shù)學這一載體充分發(fā)揮學科優(yōu)勢 對學生進行合理全面的思維訓練最大限度地挖掘與有效地發(fā)展學生在推理能 力方面的潛能使他們獲得科學地生活和工作的基本素養(yǎng) 1幫助學生作好有關知識與技能的準備工作 這一點我們大家比較認可說得也比較多只稍作論述對雙基基礎知 識和基本技能重要性的認識不能盲目夸大但也不能忽視甚至否定因為 數(shù)學知識的習得數(shù)學技能的獲得和數(shù)學能力的形成同時存在于數(shù)學學習活動中 相互聯(lián)系相互制約從根本上說必須協(xié)調(diào)發(fā)展數(shù)學推理能力不可能脫離知識 技能的掌握而孤立存在所以數(shù)學教育應使學生的推理能力在扎實的基礎知識 和基本技能的土壤上得到充分發(fā)展 2創(chuàng)設數(shù)學活動的空間增強學習的動力 能力的發(fā)展以知識與技能的獲得為依托但決不等同能力是在活動中形成 和發(fā)展的 能力的形成是一個緩慢的過程有其自身的特點和規(guī)律它不是學 生懂了也不是學生會了而是學生自己悟出了道理規(guī)律和思考 方法等這種悟只有在數(shù)學活動中才能得以進行 因而教師要加強數(shù)學活動的過程教學這樣可有利地提高學生的合情推理 能力通過適當?shù)膶W習活動盡可能使學生親自體驗概念的形成過程精心設計 和組織教學引導學生參與公式定理法則性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)探索推導的過程 盡量暴露解題的思考過程尤其是思路受阻以及產(chǎn)生錯誤后是如何調(diào)整思維方式 的過程幫助學生掌握探索的方法和解題的規(guī)律這樣在教學活動中教師應給 學生提供足夠的探索交流的空間組織引導學生經(jīng)歷觀察實驗猜想證明 等數(shù)學活動的過程即突出數(shù)學化特點的教學把推理能力的培養(yǎng)有機地融 入其中 同時在學生這種教學活動中盡量給學生呈現(xiàn)熟悉的感興趣的現(xiàn)實的 問題情境并加以適當?shù)膯l(fā)和鼓勵以激發(fā)學生的好奇心和興趣調(diào)動學習的 熱情增強學習的動力使推理能力的培養(yǎng)更加順暢 3 有目的有計劃有步驟地進行論證推理的訓練提高學生論證推理的 能力 合情推理比較符合人的認知過程在教學中的難易程度比較好控制而數(shù)學 的論證推理屬于邏輯推理其中就蘊涵著許多的邏輯知識和法則使學生在接受 起來有一定的難度我國對中學生論證推理能力的培養(yǎng)往往是通過幾年的邏輯 推理訓練而在訓練中教材和教學一般只對數(shù)學內(nèi)容本身進行解釋而對其中 的邏輯成分很少解釋學生在沒有理解邏輯知識的情況下去學習推理往往只是不 15 自覺地使用邏輯法則有時便會造成一些邏輯錯誤這當然不利于學生推理能力 的發(fā)展為了幫助學生更自覺地使用邏輯推理避免邏輯錯誤提高思維和發(fā)展 推理能力在數(shù)學教學中適當?shù)赜嗅槍π缘赜胁襟E地安排學生學習初步的邏 輯知識是有好處的 其次教師要重視向?qū)W生明確運算也是推理算理的思想有意識地在 運算中培養(yǎng)學生推理的習慣和能力這是因為在中學代數(shù)中含有較多的具有算 法性質(zhì)的內(nèi)容學生在學習這部分內(nèi)容時多只是記憶運算的公式和步驟而忽 視對其依據(jù)的有效理解和掌握這就不利于運算的準確性也不利于推理能 力的培養(yǎng)雖然在中學生不能對所有的數(shù)式運算的依據(jù)進行掌握但我 們要盡可能使學生做到數(shù)學地記憶從中提高推理能力其實數(shù)學的各知 識領域都是如此推理的載體是多元化的因此我們應該有步驟地把推理 能力的培養(yǎng)落實到數(shù)學的各內(nèi)容領域之中 還有學生邏輯思維水平的高低尤其受到一定年齡的制約使得邏輯思維能 力的發(fā)展呈現(xiàn)出一定的階段性從大的方面說數(shù)學教育的對象是學生學生是 數(shù)學學習的主體而且數(shù)學教育也有培育學生主體性的任務這是學生與數(shù)學教 育一個矛盾的兩個方面在矛盾的轉(zhuǎn)化中外因是條件內(nèi)因是根據(jù)所以數(shù) 學教育只有依據(jù)學生的內(nèi)因進行教學才能真正促成學生推理能力的合理發(fā)展 不考察學生思維發(fā)展的客觀規(guī)律內(nèi)因的主要方面就會盲目行事不可能使數(shù) 學教育朝著科學的方向行進不可能真正提高數(shù)學教學的質(zhì)量也就不能有效保 障學生數(shù)學推理能力的提高 因此需要著重指出的是在培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力時數(shù)學教學應以研 究與掌握學生認知發(fā)展的規(guī)律為前提考慮并遵循學生的身心特點把握好學生 現(xiàn)有的認知發(fā)展水平使教學內(nèi)容逐層展開循序漸進體現(xiàn)出一定的層次性 這樣才能使數(shù)學教學盡可能的適合并有利促進學生思維的發(fā)展不致超前或滯 后于學生論證推理的思維水平 這一點對幾何教學十分重要尤其在平面幾何教學中要有層次地逐步訓練 分階段地發(fā)展學生的邏輯思維和推理能力對此將在后面展開論述 32 數(shù)學教材與學生推理能力的培養(yǎng) 剛談到了數(shù)學教學對學生推理能力培養(yǎng)的問題使我們了解到數(shù)學推理能 力的培養(yǎng)是滲透在數(shù)學的教學活動中的這就首先要求教師根據(jù)教學目標對課堂 學習進行合理的設計和組織使學生有效地習得數(shù)學知識高水平地掌握數(shù)學技 錢佩玲 中學數(shù)學思想方法北京師范大學出版社 2001 錢佩玲 中學數(shù)學思想方法北京師范大學出版社 2001 16 能進而發(fā)展和提高數(shù)學推理能力而數(shù)學教材是數(shù)學課程內(nèi)容的組織與呈現(xiàn) 為課堂教學提供了線索數(shù)學教材是教與學所依據(jù)的藍本是教師教學的基本素 材是學生學習的主要依據(jù)也是各國數(shù)學教育研究的重要部分數(shù)學教材建設 的質(zhì)量直接影響到數(shù)學教學的質(zhì)量決定著學生推理能力的水平直接決定著二 十一世紀公民的素質(zhì)它對于我國教育發(fā)展的重要性不容置疑因為我們從數(shù) 學教育的重要方面教材著手展開有關學生數(shù)學推理能力的研究是很有意義 的 321 數(shù)學教材編寫的首要原則 的確從學生與數(shù)學教學這對矛盾包含著一系列矛盾教師與學生教師 與教材學生與教材等來看學生與教材的矛盾是教學過程的主要矛盾我們 依然本著前面提到的學生本位的原則在教材的編寫中也應以學生的認知水平為 前提即教材的編寫應注意數(shù)學的邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與學生的認知發(fā)展規(guī)律并重這 是數(shù)學教材編寫的首要原則也是有效地發(fā)展學生推理能力的保障 1數(shù)學具有嚴密的邏輯演繹體系 數(shù)學教材的內(nèi)容是依據(jù)數(shù)學課程的目標等標準從數(shù)學科學的基本內(nèi)容中合理 地精選出來的而數(shù)學具有嚴密的知識結(jié)構(gòu)具有很強的邏輯性與系統(tǒng)性這是 在數(shù)學教材建設中必須予以考慮的不重視數(shù)學知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)性 就不可能使學生對數(shù)學有正確的理解和認識更談不上讓學生運用數(shù)學知識去順 利全面地學習這門學科和解決現(xiàn)實生活中的問題 2數(shù)學教材的編寫要符合學生的認知發(fā)展水平 但數(shù)學教材不能僅僅照般數(shù)學科學的知識結(jié)構(gòu)教育工作者還要研究學生不 同發(fā)展階段的認知方式認知結(jié)構(gòu)與心理發(fā)展規(guī)律從數(shù)學科學知識中選擇那些 有利于學生成長又能被學生接受的最有價值的數(shù)學知識來有步驟地組織教材內(nèi) 容為學生編寫更加具有針對性和實效性教材這樣才能合理地促進學生推理能 力的發(fā)展 322 幾何教材的編寫 3 2 2 1 幾何的教學是培養(yǎng)數(shù)學推理能力的一個契機 前面我們論述到數(shù)學中處處充滿了推理論證推理和合情推理數(shù)學的 每個學科領域都為發(fā)展學生的推理能力提供了天然的素材比如代數(shù)中的算理 統(tǒng)計里的統(tǒng)計推斷線形規(guī)劃中的分析決策等等其中幾何學雖然不一定是推 理能力培養(yǎng)的一個主場所但是不可否認幾何應作為數(shù)學教育的重要課程之 一是長期以來國際數(shù)學教育界多數(shù)人的看法其中重要的原因是幾何在培養(yǎng)學生 的幾何直覺合情推理能力邏輯思維能力以及空間觀念上的作用 17 1幾何有助于發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力 這一點在歐氏幾何兩千多年的歷史中已經(jīng)得到了充分的肯定正如英國學 者費克爾(d.s.fielker)所說歐幾里得的那些定理之所以重要不是因為它是有用 的能夠應用的或它們本身的價值而是因為它們是演繹推理系統(tǒng)的自然發(fā)展的 一部分首先幾何體系有利于人們對演繹推理有較深入的理解要求對思維進 行系統(tǒng)的較為嚴格的訓練而且這種訓練對學生終身有用當前西方國家普遍 感到計算機人才缺乏尤其是編程員缺乏其中一個原因是他們把中學幾何的內(nèi) 容砍得太多造成學生的邏輯思維能力以及對數(shù)學的興趣大大降低 其次在初級階段幾何作為一種訓練邏輯思維與演繹推理的工具有它的 長處它內(nèi)容的直觀性難度的層次性真假的實驗性以及推理過程的可預見性 不要求學生有太多的知識作為基礎學生可以借助于圖形的直觀這一點適合初 中學生的認知水平 當然歐氏綜合幾何也不能被認為是中學中演繹方法的嚴謹和邏輯的唯一模 型已有一些學者提出用邏輯學或數(shù)學的其它材料如組合數(shù)學算法等來替 代幾何的教育功能但國際數(shù)學教育委員會icmi的研究表明到目前為止 還缺乏令人信服的證據(jù)和成功的實驗而相比之下幾何材料則經(jīng)歷了上千年的 千錘百煉 2幾何有助于合情推理能力的發(fā)展 大量心理學實驗尤其是皮亞杰的認知發(fā)生論實驗表明圖形更利于直覺 更利于歸納類比分析綜合等人類一般能力的發(fā)展幾何活動經(jīng)常包含合情 推理活動的各個方面從構(gòu)造猜想表述假設提供證明發(fā)現(xiàn)特例和反例到 最后形成理論這些過程在各種水平的幾何活動中都可以被發(fā)現(xiàn)顯然幾何直 覺是合情推理這一思維活動進行一個重要的因素而幾何直覺又主要是幾何直觀 的產(chǎn)物正如吳文俊院士指出幾何學有形象化的好處幾何會給人以數(shù)學直 覺不能把幾何學等同于邏輯推理應該訓練學生的邏輯推理能力但也應適可 而止只會推理缺乏數(shù)學直覺是不會有創(chuàng)造性的 綜上幾何是不可替代的幾何材料具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)豐富的直觀背景 和鮮明的認知層次通過幾何的學習可以使學生學會利用不同途徑去解決問題 對幾何結(jié)果形成合理的猜想對數(shù)量結(jié)論進行快速的估計為解決具體問題提供 直觀的模型同時對空間與圖形性質(zhì)的探索和推導還有助于培養(yǎng)學生借助直觀 進行推理的能力進而養(yǎng)成推理嚴謹言必有據(jù)和條理化的思維習慣從這種意 義上講研究圖形的幾何作為數(shù)學的分支學科比其它分支更利于培養(yǎng)推理能力 提高思維品質(zhì) 鮑建生幾何的教育價值與課程目標體系教育研究