（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）自由邊界問題的最優(yōu)控制.pdf

自由邊界問題的最優(yōu)控制 于靜( 計(jì)算數(shù)學(xué)) 指導(dǎo)教師：王子亭( 教授) 摘要 自由邊界問題是非常常見的問題，它存在于伴隨著相的變化的能量流 動問題和某些擴(kuò)散問題中。經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的美式期權(quán)定價問題也屬于自由 邊界問題的范疇。它主要是指控制方程的求解區(qū)域不是完全已知的，其中 未知的部分有時甚至是隨時間變化的，它需要隨著方程的解一同求出來。 在研究自由邊界問題時，大家首先會很自然的想到，要改寫模型，使自由 邊界在模型里消失。本文通過引進(jìn)變分不等式達(dá)到了這一目的，從而可以 從弱解的意義下來研究自由邊界問題的解的性質(zhì)。對于與自由邊界問題等 價的拋物型變分不等式的障礙問題，本文對障礙的最優(yōu)控制做了一定的研 究。障礙是原自由邊界問題中的解需要滿足的某個條件。由于只有很少的 一部分自由邊界問題能夠求出它的解析解，因此，如何用一種高精度的數(shù) 值方法求解就顯的尤為重要。通過對自由邊界問題的改寫我們很自然想到 用變分不等式法求解，即求解它的等價的變分不等式問題。本文采用了有 限元法求解變分不等式，并對氧氣擴(kuò)散問題作了數(shù)值實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論：變分 不等式法在求解自由邊界時，存在著較大的誤差，所以對于以求自由邊界 為目的的問題，這一方法不應(yīng)該是求解時的首選。因此，本文引進(jìn)了譜方 法，同時也對氧氣擴(kuò)散問題作了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，知道了譜方法求解自由邊界是 非常精確的。另外，本文針對前面的理論，研究了一個比較實(shí)際的問題一 美式期權(quán)定價問題。首先改寫此問題為與其等價的拋物型變分不等式模型， 利用拋物型變分不等式的極值原理研究了期權(quán)價格的性質(zhì)。然后利用譜方 法求它的數(shù)值解得到了最佳實(shí)施邊界一自由邊界關(guān)于時間的函數(shù)圖象。由 于美式期權(quán)定價問題中的初始條件帶有弱奇性，不能直接利用譜方法求解， 因此本文提出了用磨光函數(shù)近似帶有弱奇性的初始條件，并證明了近似后 的模型的解能夠很好的收斂到原問題的解。 關(guān)鍵詞：自由邊界，最優(yōu)控制，c h e b y s h e v 譜方法，美式期權(quán)，最佳實(shí)施邊 界 i l l o p t i m a lc o n t r o lo f t h ef r e eb o u n d a r yp r o b l e m s y u j i n g ( c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rw a n g z i t i n g a b s t r a c t f r e eb o u n d a r yp r o b l e m sa r ev e r yp o p u l a r t h e yo c ；u rm o s t l yi nh e a t - f l o w p r o b l e m sw i t hp h a s ec h a n g e sa n di nc e r c a i l ld i f f u s i o np r o c e s s e s i nm a t h e m a t i c s f i n a n c ep r o b l e m s ，t h e r ei sa ni m p o r t a n tp r o b l e m ，c a l l e dp r i c i n ga m e r i c a n o p t i o n s ，w h i c hi sa l s oaf r e eb o u n d a r yp r o b l e m s o m eo ft h eb o u n d a r yo ft h e 行e cb o u n d a r yp r o b l e m si so f t e nu n k n o w n , a n ds o m e t i m e si sm o v i n g i tn e e d st o b es o l v e dw i t ht h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n w h e nw es t u d yaf t e eb o u n d a r y p r o b l e m w ea l w a y st h i n kt or e w r i t et h ep r o b l e mi no r d e rt om a k et h ef r e e b o u n d a r yd i s a p p e a r t h et h e s i si n t r o d u c e dt h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , s ow ec a n s t u d yt h ep r o b l e mi ns o m e “w e a k ”s e n s e f o rt h ep a r a b o l i co b s t a c l ep r o b l e m s ， t h et h e s i ss t u d i e dt h eo p t i m a lc o n t r o lo ft h eo b s t a c l e a n dt h eo b s t a c l ei sa c o n d i t i o nw h i c ht h eo r i g i r l a lp r o b l e ms h o u l db es a t i s f i e dw i t h b e c a u s eo n l ya l i t t l eo ff r e eb o u n d a r yp r o b l e m sc a nb eg i v e nt h e i ra n a l y t i c a ls o l u t i o n s ，h o wt o g e ta c c u r a t es o l u t i o n sw i t has o p h i s t i c a t e dh i g h - q u a l i t yn 啪e n c a la l g o r i t h m b e c o m e sv e r y i m p o r t a n t f r o mr e w r i t i n gt h e f r e eb o u n d a r yp r o b l e m , w e n a t u r a l l yc o n s i d e rt os o l v et h ep r o b l e m 、聃t l lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ym e t h o d i n o t h e rw o r d s t h ep r o b l e mb e c o m e sh o wt 0s o l v et h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y t o d a y t h e r ea r em a n ym e t h o d st os o l v ei t t h em o s tp o p u l a ro n ei sf i n i t ee l e m e n t m e t h o d t h et h e s i ss o l v e dt h eo x y g e nd i f f u s i o np r o b l e mb yt h em e t h o d ，a n dg o t ac o n c l u s i o nt h a tt h e r ei sag r e a te r r o ri nt h es o l u t i o no f t h ef r e eb o u n d a r y s of o r i v ap r o b l e mw h o s ep u r p o s ei st og e tt h ef r e eb o u n d a r y , t h em e t h o dm u s tn o tb et h e f i r s tc h o i c e f o rt h ea b o v er e a s o n st h et h e s i si n t r o d u c e dc h e b y s h e vs p e c t r a l m e t h o d , w h i c hi st e s t e db yt h eo x y g e np r o b l e m a n dw ek n o ws p e c t r a lm e t h o d i sa na c c u r a t em e t h o df o rt h ef x e eb o u n d a r y i na d d i t i o n , w es t u d i e dau s e f u l p r o b l e mc a l l e dp r i c i n ga m e r i c a no p t i o n s f i r s to fa l l ，w er e w r i t et h ep r o b l e m i n t oap a r a b o l i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , t h e ns t u d i e dt h ep r i c eo ft h eo p t i o nb y m a x i m u n lp r i n c i p l e ，f i n a l l yg o tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa n dd r e wt h ep i c t u r eo f t h eo p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r y b e c a u s et h ei n i t i a ld a t ao ft h ep r i c i n ga m e r i c a n o p t i o n si sw e a ks m g u l a f , t h et h e s i su s es m o o t h e df i l n c t i o n t oa p p r o a c ht h ei n i t i a l d a t a , a n dp r o v e dt h a tt h es o l u t i o no f t h ea p p r o x i m a t i v ep r o b l e mi sc o n v e r g e n tt o t h es o l u t i o no f t h eo r g i i l a lp r o b l e m k e yw o r d s ：毹eb o u n d a r y , o p t i m a lc o n t r o l ，c h e b y s h e vs p e c t r a lm e t h o d ，t h e p r i c i n ga m e r i c a no p t i o n s ，t h eo p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r y v 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得 的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中 不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得中國石油大 學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對 本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。 簽名： 渺7 年，月膨日 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本人完全了解中國石油大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校 有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件及電子版，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢?公布論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論 文。 學(xué) 導(dǎo) 年f 目f 毛日一 年r 月，6 日一 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第1 章引言 第1 章引言 自由邊界問題是指微分方程求解區(qū)域的某些邊界不是給定的，是未知 的( 甚至是隨時間變化的) ，這部分邊界就叫自由邊界，它需要和定解問題的 解一起確定。因此相應(yīng)地，在自由邊界上需要補(bǔ)充一個邊界條件，通常叫 做自由邊界條件。例如，方程甜= ，求解區(qū)域?yàn)閝 。假定施只有部分為 已知的，記為s ，未知的部分為r ，在s 上滿足u = 妒。且在r 上有 v 一礦) = 0 。所以我們就要尋求卿r 滿足 f a u = 廠，在q 中 “= 妒， 在s 上 ( 1 1 ) l v ( u 一妒) = o ， 在r 上 這個模型就是一個自由邊賽問題的模型。 1 1 發(fā)展概況 自由邊界問題廣泛存在于諸多工程領(lǐng)域，例如，冶金業(yè)中金屬的融化 凝固、氣體在多孔介質(zhì)中的擴(kuò)散( 例如，氧氣通過生物組織的吸收問題) 、 地下滲流、電化加工、水晶生長以及金融( 美式的期權(quán)定價問題) 等許多 領(lǐng)域均屬于自由邊界問題的范疇。 自由邊界問題大致可以分為兩類：一類是自由邊界依賴于時間變化， 即不穩(wěn)定的自由邊界問題，又叫拋物型自由邊界問題。比較典型的就是 s t e f a n 問題( 性質(zhì)均一的介質(zhì)的融化或凝固問題) 。介質(zhì)中的溫度的變化遵循 能量方程，相的變化的分界面就是自由邊界。這個領(lǐng)域的最早的研究是由 g a b r i e ll a m e 和e m i l ec l a p e y r o n 在1 8 3 1 年開創(chuàng)的【1 1 。1 9 世紀(jì)8 0 年代，f r a n z n e u m a n n 在k o n i g s b e r g 論壇中最早提出了簡單的冰的融化問題的近似解問 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第1 章引言 題。關(guān)于凝固的問題和冰的融化的問題的著作在1 8 8 9 年出版，j o z e fs t e f a n 對于一般的有相變化的問題給出了數(shù)學(xué)模型。相應(yīng)的自由邊界問題就以他 的名字傳了下來，就是我們所熟悉的一相和兩相的s t e f a n 問題。另一類是 自由邊界不隨時間變化，即是穩(wěn)定的自由邊界問題，又叫橢圓型自由邊界 問題，這類問題的自由邊界是固定的，但是卻是未知的，它廣泛存在于地 下液體的滲流問題中。 1 1 1 拋物型自由邊界問題 冰融化、合金冶煉、氧氣擴(kuò)散以及美式期權(quán)定價( 詳見第五章) 等都 屬于這個問題的范疇。 一塊半無限大的冰，初始溫度達(dá)到融化溫度( 即0 攝氏度) ，在時間t = 0 時冰的表面溫度升高到0 攝氏度以上的某個溫度，隨后一直保持著這個溫 度。融化發(fā)生在邊界或冰水交界處，并移動到冰層內(nèi)部，在溫度為0 攝氏 度處分離出一個區(qū)域，隔開水和冰。由于熱交換只發(fā)生在水中，稱為單相 問題。 假如用u ( x ，) 表示在時間t 時刻水的溫度分布，可以通過解如下的熱傳 導(dǎo)方程來得到未知的u ( x ，f ) 和j ( f ) ： 蚱= k u 搿，0 x 0 ：掰萎文u ( 赫t ：0 n 2 ， ( f ，0 ) = ，j ) = 饑( f ，j ( f ) ) = 五s ( 力 其中| i ：墨( c 、p 、k 分別是比熱、密度和熱傳導(dǎo)系數(shù)) 。 c p 單相問題中若冰( 0 x z ) 的初始溫度在融點(diǎn)以下，那么熱傳導(dǎo)同時發(fā) 生在冰和水中，稱為兩相的自由邊界問題。描述如下： 2 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文 第1 章引言 魯= 與魯o ( f ) ( 水中) 誓= 島川 o 合金的凝固不同于古典的s t e f a n 問題。預(yù)先并不知道融化的溫度，它依 賴于合金的組成。合金的凝固需要同時研究熱流過程和不純物的擴(kuò)散。一 個簡單的兩相合金凝固過程可以如下表示，其中q ，c j ，t 分別是溫度、濃度和 導(dǎo)熱系數(shù)( i = 1 是固相，f = 2 是液稆) ， 魯= 毛爭魯= b 爭 吣 印， 警= 如等等= 砬等 刪 川 乞警一魯= 石d s 艫s ( ，)乞茁一薔2 石，艫5 壓警一屆豢= ( c l 吲粵d t 艫啪班隴 砘= “2 = g ，c l = c o ( g ) 包= q ( g ) ，x = j ( f ) 氧氣的擴(kuò)散是帶有隱式自由邊界條件的典型例子，所謂隱式自由邊界條 件是指在自由邊界條件中缺少關(guān)于自由邊界s ( t ) 的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。首先，氧氣以常 速度擴(kuò)散到一種即能吸收氧氣y s f - 與氧氣反應(yīng)的介質(zhì)中。在介質(zhì)表面的氧 氣濃度保持常數(shù)，氧氣擴(kuò)散的最內(nèi)部邊界構(gòu)成了自由邊界。問題的第一個 階段是連續(xù)的直到達(dá)到一個穩(wěn)態(tài)，氧氣不再擴(kuò)散到介質(zhì)中，介質(zhì)表面不再 3 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第1 章引言 有氧氣進(jìn)入或出來。介質(zhì)繼續(xù)吸收已經(jīng)擴(kuò)散到其中的氧氣，相應(yīng)的標(biāo)志滲 透深度的邊界將退到表面。解決此類問題的主要目的是取得邊界軌跡及決 定氧氣的分布的函數(shù)，氧氣擴(kuò)散方程為： c t = q ，一l ，0 x 0 c ( o ，功= 去( 1 一x ) 2 ，j ( o ) = 1 ( 1 3 ) c a t ，o ) = 0 ，c ( t ，j ( f ) ) = 0 c a t ，s ( f ”= 0 其中c 為氧氣自由擴(kuò)散的濃度。 1 1 2 橢圓型自由邊界問題 橢圓型自由邊界問題起源于液體在多孔介質(zhì)中的滲流，比較典型是水 壩中水的滲流；開闊的水渠中水的滲流；或者是井中液體的滲流。這類問 題中多孔介質(zhì)被以一個明顯的分界面分開的兩種液體占據(jù)，這個分界面就 稱為自由邊界。水氣，油水，油氣以及咸水淡水分界面都是比較常見的。 以簡單的矩形壩為例： 一個矩形壩將位于兩個不同水位的水庫分開，假定水是不可壓縮的， 水壩的滲透率是均一的，且底部是水平的不滲透的，那么水會在水壩中滲 流。水壩可以被認(rèn)為是二維的即在( x ，y ) 平面內(nèi)( 如圖所示) 。滲流區(qū)域 是有界的，邊界為a f 、b d 、a b 以及自由邊界f d 。那么這個問題的模型為： v 2 = o ，在q ，0 x x l ，o _ j 2 眇( v 一“) 西c 方 ( 2 4 ) no 所以在整個區(qū)域中有坼一v 2 一f o 。 2 i1 拋物型變分不等式 若 觚音彤功去+ 喜訛力詈邶砌 a , o ( t ，x ) 舌乞a i 1 2 ，v ( t ，g ，孝置4 ( 力 o ) ( 2 5 ) 那么稱算予蓋+ 彳為拋物型算子，顯然云一厶也是拋物型算子。 講 講 一 若v ，嘞存在且有界，那么我們引入彳的一個雙線性形式， 口以”j 2 ( 考考+ 云詈v + 咖沖 c z 射 其中， 磊卻摹 令 ( v ，們= a v w a k k ( 妒) 是( 紡) 的一個閉凸子集，考慮如下問題：對于所有的1 ，置 ) ， 尋找甜，使u 滿足 甜足( ) 1 0 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第2 章自由邊界問題的變分原理 ( 坼，v 一甜) + 口( f ；v 一“) 2 ( 廠，v - u ) v v k ( 2 7 ) 這個問題被稱為拋物型變分不等式【1 0 1 。 令定義在磊上的函數(shù)( x ，f ) 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)見妒，d f 礦，皿2 ，在a ，紼上 西g ，考慮凸集， k ( 力= v p ( o ，r ；峨1 ( q ) ) ，在邊界a ，q r 上v = g ，v 妒口正) ( 2 8 ) 由( 2 7 ) 和( 2 8 ) 構(gòu)成的問題稱為拋物型障礙問題，被稱為障礙。 拋物型自由邊界問題( 1 4 ) 中聯(lián)力= o ，r l ( t ) = 0 ，則( 1 4 ) 可以改寫成如下 變分不等式模型，v v k ) ，尋找甜足( ) 且滿足， “， v - - u ) + ( _ 丘 “】，v - - 1 ) u ，v u ) ( 2 9 ) k ( ) = v r ( o ，??；風(fēng)1 ( q ) ) ，在邊界a ，q t - l b l 【v 】= g ，v 礦口衛(wèi) 其中，a 。g 是q r 的拋物型自由邊界，o p q r = a q x ( o ，r ) u q 0 ，剮v 】 是邊界黼g 被定義為 髹i 假設(shè)( 2 5 ) ( 2 7 ) 成立，c o ，a q c 2 ”，且，g ，o , g ，見2 9 r ( 磊) ( 2 1 0 ) 根據(jù)文【l o 】的結(jié)論，我們可以直接得到如下結(jié)論，若甜是( 2 9 ) 的解， 則都滿足， 一t 甜廠i 甜礦 口七在g 中 ( 2 1 1 ) ( 一t , u 一3 ( 甜一) = 0j 文 1 0 】還給出如下定理： 甜= g 在a 。島上 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第2 章自由邊界問題的變分原理 定理2 1 ：若( 2 5 ) ( 2 7 ) ( 2 1 0 ) 成立，且j 皿嗎l c 則由( 2 7 ) ( 2 8 ) 構(gòu) 成的拋物型障礙問題存在唯一的解”，并且滿足見“，皿2 甜，d , u ( 易) ， v 1 p o o 。 強(qiáng)最大值原理：假定曇一t 是q r 中的拋物型算子，令甜是g 中的函數(shù)， q 甜，皿”，d 2 u 在蜴中是連續(xù)的，且在g 中魯一厶甜0 。那么， 對于p o q r ，若u ( p o ) = s u p 甜o ，則在c ( p o ) 中，“= - - c o r o t ； c ( ，) 對于p o q n ，若u 在g u q x t 連續(xù)，那么砧= - - c o r l s t 。 2 2 障礙的最優(yōu)控制 最優(yōu)控制問題是人們?nèi)粘Ｉ罴叭粘９ぷ髦卸紩?jīng)常遇到的普遍性問 題。比如我們從事某項(xiàng)工作時，需要我們在已有的條件下，以最小的代價 換取最大的收益。變分不等式的最優(yōu)控制問題實(shí)際上是用變分不等式方法 來研究參數(shù)系統(tǒng)的控制問題。本文中主要研究拋物型變分不等式障礙的最 優(yōu)控制。 拋物型變分不等式的障礙問題的最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)語言描述如下【1 1 】【1 2 | ： 給定矽e u ，廠p ( g ) ，u = 礦d ( q t ) i 諺r ( q r ) ) 為控制集。對應(yīng)有 = r ( ) ，滿足障礙問題( 2 7 ) 一( 2 8 ) 。我們要尋找一個障礙使得 礦= 丁形) 滿足( 2 8 ) 且最接近目標(biāo)效益z ，考慮如下目標(biāo)泛函： ， ) = l 咿( ) 一z ) 2 + t a 妒i z + l 識1 2 a k d t 即，我們尋找合適的礦e u ，使得 ，( + ) 2 贈j ( 2 1 2 ) 1 2 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第2 章自由邊界問題的變分原理 滿足( 2 1 2 ) 的及其對應(yīng)的”= r ( 妒) 稱為最優(yōu)對( + ，r ( 妒) ) 。 變分不等式的障礙的最優(yōu)控制的應(yīng)用很多，可以參看參考文獻(xiàn)【1 3 】【1 4 】【嘲。 考慮懲罰問題( 2 1 3 ) ， l 一t m 】+ 孱( u - c ) = 廠在傷中 “= g在a ，g 上 ( 2 1 3 ) 其中尾( r ) c 。，( o 占 p a t ) 0 其中c 是與占無關(guān)的常數(shù)。 下面我們借助懲罰問題( 2 1 3 ) ，利用s c h a u d e r 不動點(diǎn)定理估計(jì)i 孱( 一) l 的范圍。 s c h a u d e r 不動點(diǎn)定理：設(shè)y 是b a n a c h 空間閉凸子集，t 為y 上的連續(xù)算 子，t y 為y 的緊子集，且t y 是預(yù)緊的，則t 有不動點(diǎn)，即存在一個點(diǎn)r ， 使得砜= 。 引理2 1 ：若( 2 1 0 ) 成立，那么存在( 2 1 3 ) 的解= 叱，且有 l 展( 一礦) l 0 ，令 1 3 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第2 章自由邊界問題的交分原理 我們考慮如下問題 尼( f ) = m a x m i n p 。( r ) ， ，一) u t 一材+ 孱( u - 4 b ) = f在島中 ( 2 1 5 ) “= g 在a ，g 上 對于任意v f ( 傷) 0 p ) ，= 1 ww 2 e ( q o ，且 一w = 廠一尾p 一力在q r 中 ( 2 1 6 ) ，一g e 凰( 易) 且1 w 1 2 p r 其中r 是一個與v 無關(guān)的常量。 令w = t v ，t 是將三，( g ) 空間中以0 中心半徑為r 的球，并且? 是緊 的，有s h a u d e r 不動點(diǎn)定理知，存在，= 乃是( 2 1 6 ) 的解，即存在= ， t u = 甜，“是( 2 1 5 ) 的解。 由于，甜= 。礦2 ”( q o ，x 寸于v p o o ，廈( u - c ) h o l d e r 連續(xù)，下面， 我們估計(jì)見， 一) 的范圍。 令 f ( = f ( ，x ) = 尾a ( 甜一矽) 由忽的定義知，；( x ) s c ( 其中c 不依賴于n ，占) 。令= m i n f ( x ) ， 不妨設(shè)= f c 礦) ，z o ， 孱( o ) ( 其中x o = 礦，妒) ) 則z o 正a ，g ，否則， a = f ( x o ) = 屈，( g 一妒) 2 絞( o ) 2 廈( 0 。 若z 。q r ，則尾。( ，) 關(guān)于f 單調(diào)，且甜一妒在x o 取最小值且不大于0 ，則， f ( z o ) ，( z o ) + 厶礦( 工o ) c 1 4 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第2 章自由邊界問題的變分原萼 那么，l 展。( 一一) i c 。若足夠大，t j u 叫- - - u 。，l 尾( 虬一礦) l s c ，且甜州 是問題( 2 1 6 ) 的解。證畢。 我們定義一維的懲罰問題的解為= t ) ，我們知道1 6 1 呻，當(dāng)譬- - - o 時“。專r ( 砂) 。 引理2 2 ：對于妒u ，懲罰問題( 2 9 ) 的解= 瓦( 妒) ，滿足 器i i v ( f ) k + 0 ( ) 一i l r 皤) + i i k ( g ) c 1 c + i l i l 。, , 西) + i i v g k ( n ) 】2 1 7 證明：首先，我- f f 要考慮到在約束集k 中，甜。由引理2 1 的證明我們 知道 慨( 一刪礦( 佴) c ( 2 1 8 ) 我們糾1 8 1 ， 器阮，+ 她，+ 陋峙c a r ，+ t 弭， c l ( 0 孱( 一礦) 9 f ( 西) + 1 1 1 1 f ( 。r ) + 0 v 9 1 f ( 。) ) 再由( 2 1 8 ) 我們可以得到( 2 1 7 ) 。證畢。 引理2 3 ：對u ，障礙問題( 2 7 ) ( 2 8 ) 存在唯一的解”= 丁( 礦) 。當(dāng)占專o 時，( 2 1 3 ) 的解= 疋( ) 滿足，在r ( q r ) 中， “。斗“強(qiáng)收斂；v - - 爭v u 強(qiáng)收斂； 斗珥弱收斂；a u 。斗a u 弱收斂。 且“滿足。 器酬b + 曬，+ 她，+ c a r ， c 硼廈 一) l b ( 西) + r zc o r ) + t l v g l l , ( 。) ) ( 2 1 9 ) 1 5 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第z 章自由邊界問題的變分原理 證明：首先，由2 3 節(jié)的討論我們知道，( 2 7 ) ( 2 8 ) 存在唯一解，r u 。在r ( g ) 強(qiáng)收斂到卻對每一個t 我們有 j j v 魄一”) 睡( n ) 9 饑一甜) l 印2 ，l u , 甜b n ) 則v 在r ( q ) 中強(qiáng)收斂至a j v u 。 由引理2 1 我們可得到以) ，在r ( 紼) 中收斂到嵋，a u , 在l z ( q r ) 中弱收 斂到a 。由上述地收斂性我們可以知道，( 2 1 9 ) 成立。 解的存在唯一性由上述討論或者由【1 8 】可得。證畢。 根據(jù)引理2 2 和引理2 3 我們可以得到如下定理： 定理2 2 ：障礙問題( 2 7 ) ( 2 8 ) 中存在一個最優(yōu)控制矽，并且是最小化 問題( 2 1 2 ) 的解。 證明：令娩 ：。滿足，九u ， 蠟，( 妒) 2 艦，( 丸) ( 2 - 2 0 ) 從目標(biāo)泛函 ，( 噍) ) ：。有界，我們可以知道，存在一個障礙痧e u ，滿足， 磊礦且敝) ，_ 5 ，由我們將磊與囂= ? 魄) 應(yīng)用到( 2 1 9 ) 中，可以得到， 在r ( 島) 中，蠔- - t 強(qiáng)收斂；v 心斗v u 強(qiáng)收斂；( k ) t 專u t 弱收斂； 以寸缸弱收斂。 所以，我們有 駐m 丁( 晚) = r ( 礦) ( 2 2 1 ) 我們令i - e k ，唯= m a x 0 , , 痧d ，那么我們有唯k ( 純) ，在r ( o ，瓦磁( ( 坳中 咋弱收斂于v ，且有 1 6 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第z 章自由邊界問題的變分原理 0 ( ) 。( 唯一u k ) + t 【】( 唯一嘶) 】蚴l ，( 唯一u k ) d x d t 令k ，對任意v k ( ) 得到， l 【( “) ，d 一甜) + t “】( v 一“+ ) 出衍l ，( 1 1 - - i j * ) d x d t 我們知道在x 娩) 中，辦- - k ，由上述的強(qiáng)收斂性，我們有礦。所以， “置( ) g u = r ) 由弱收斂性我們可以得到， 我們可以得到， t l i r a r ( 九) = r ( ) 牌，( 磊) ，( 聲+ ) ( 2 2 3 ) 由( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 我們可以知道，毋是一個最優(yōu)控制，并且 最小化泛函( 2 1 2 ) 。 2 3 拋物型變分不等式的數(shù)值解 當(dāng)與自由邊界問題等價的拋物型變分不等式建立后，剩下的問題就是 解變分不等式?？紤]如下變分不等式 ( 虬，v 一“) + 口( 甜，v - - u ) ( 廠，v - u ) ( 2 2 4 ) 我們利用有限元法【2 1 1 1 2 2 1 來解變分不等式。 首先，對求解區(qū)域剖分，如果o x - i ，選取點(diǎn)x o ， ，x u - l 使得 0 = x o 而 而 一 o , x s ( 3 1 ) u ( x ，o ) = 妒( d ，s ( o ) = s o ( 3 2 ) b 陋】= 緲( d ，u ( t ，j ( f ) ) = 8 ( 0 ( 3 3 ) 扛一名害( 螄問題) ( 3 4 ) l q ( f ，s ( f ) ) = o式問題) 若西是【o ，j ( ，) 】，我們令孝= 娶一1 ，可g l x e l s 映射到善卜l ，l 】，則 a ( t ， 掣= 云警，挈= 南警 鋤 s ( f )a 掌a x 2s 2 ( r )a 善2 o u ( t , x ) ：堂堂+ 燮：蚴墮d s + 盥一( 毒 + 1 ) 一o f f d s + 堂 o t 8 專o t o t 必o s ( t ) d t o t s 8 d t o t 訓(xùn)司小4 鬻髻+ 警囂+ a o ( t 期齏 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第3 章自由邊界問題的譜方法 控制方程變?yōu)椋?絲o t = 4 型8 2 等等+ 擘警+ 囂烏d t 霎+ 甌。期歷+ 于也。( 3 5 )( f ) 苗2 、j ( r )s ( f ) 7 鴛“ 記 玨4 鬻薯+ 學(xué)+ 叢s ( t ) 鳥, i t 旦a 善+ 吼。( 3 6 ， 其中，露( f ，o = c 6 ( t ，x s ( f ) ”o = 0 , 1 ，2 ) ，廠( r ，0 = f ( t ，“六j ( f ) ) ) ， a ( t ，d = u ( t ，x ( 六j o ) ) ) 初始條件變?yōu)椋后? o ，d ：議! 圭j ；嶼 邊界條件變?yōu)椋貉新丁? ，一1 ) = ，瘴( f ，1 ) = 口( ，) 3 1 2 自由邊界的移動速率 由于前沿變換后的方程含有宰，所以，我們需要它的顯式表達(dá)式。對 于s t e f a n 問題中，孚以自由邊界條件的形式給出來了，對于隱式的自由邊 界問題，我們就需要推導(dǎo)出自由邊界的移動速度閉。 對方程u ( t ，j ( 偽= 口( d 關(guān)于t 求導(dǎo)，得到 警= 磊d 比刪= 坼( ，一+ 魯毗刪 由于( 3 3 ) ，我們有 坼p ，j o ) ) = 痧( d o = 丟蠔以s o ) ) = ( f s o ) ) + 罷以s ( ，) ) = ( t ( 砌，+ 妄甜。以s ( f ) ) 因此，若甜。0 ， 中國石油大學(xué)( 華東) 硬士學(xué)位論文第3 章自由邊界問題的譜方法 妾：咎業(yè)l ：一掣i ，b = - 1 或l 西 | ( f 刪2 i ( ，舢 一 若t = ；一1 ，口( f ) z 。，由上式知， 則 查：一暾；一到：一生i ；一。一 d t l ol kl 。( f ) 蚱+ 1 l ( f )即) + l l 。，( 霉=(f，jo)dt 一 一ds而8dt ( f ，1 ) ( 3 7 ) 一“、“ 3 1 3c h e b y s h e v 展開 經(jīng)過前沿變換后的自由邊界問題的求解區(qū)域從西變換到了【1 ，l 】。我們 可以對解進(jìn)行c h e b y s h e v 多項(xiàng)式展開。 第一類c h e b y s h e v 多項(xiàng)式定義為 疋( x ) ) 薔定義為 乙( 力= c o s ( c x ) s - 1 x ) ，一1 x s l ，開= 0 1 顯然寫( 力= l ，五( 工) = x ，t a x ) = 2 礦一1 ，一遞推關(guān)系 五+ l ( 工) = 2 工耳( z ) 一五。( x ) ，j = l 2 c h e b y s h e v 多項(xiàng)式的主要性質(zhì)剴 i ( x ) l - 1 ，- l x l ( 3 8 ) 五( 1 ) = ( 4 - 1 ) ( 3 9 ) 弦o ) i j 2 ，一l x 釓五( 士1 ) = ( 1 ) 懈 ( 3 1 0 ) 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第3 章自由邊界問題的譜方法 鏟= 考妻孵艫 悠。p 。m + l ?！皃 + 為奇 l 1 二1 ( 3 i i ) 以o k 手孵o = 手p 峨) = p ( p 2 一肌2 地 ?！眕 ，+ 4 。m 為+ l 奇”p p - + 卅為m + l 奇c p ：i 豺奇?！保籭 ：巍 玩p = p 2 ) _ p 乏s ( s 2 一p 2 ) 玩 l 。p = k k + 知l 鑄 c k p p = t k k + l 督c ps - p 鬻羈 c h e b y s h e v 級數(shù)乘法法則【2 5 1 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 們i = i 1 甜p + u p v q ( 3 1 4 ) p + q - k卜d “ n - i 如果令費(fèi)( f ，d = ( 矚( 孝) 滿足，f = 一1 ，廳= o ；亭= 1 ，喀= o 于是根 據(jù)性質(zhì)( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 我們可以得到 n - i ( 一1 ) ”= o n - ! 櫛2 - - 0 h = o 根據(jù)( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 我們可以將( 3 1 ) 所有項(xiàng)都展成c h e b y s h e v 級 數(shù)。 因此我們可以得到一個n + i 階的常微分方程組( 未知量為，及s ( t ) ) 亟d t = 委n - i 厶( 島j ) + 五，呦一3 ( o ) = 霞，文o ) = s o ， 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第3 章自由邊界問題的譜方法 吼( 功q = q 2 ( n ) a = o 罷= g ( t 焉m ) 其中( f ) ，z ( r ) ，純分別是解，源項(xiàng)及初始數(shù)據(jù)的c h e b y s h e v 系數(shù)。4 。， 吼( 一) ，g 的具體形式依賴于具體的邊界條件的形式。 3 1 4 非齊次邊界條件的齊次化 如果邊界條件不是齊次的，即y ( r ) o 或口( f ) 0 ，必須按照下列原則 將非齊次邊界條件齊次化p 7 】；利用邊界條件構(gòu)造一個修正的函數(shù)，使它滿 足修正的有齊次邊界條件的方程。若研“】= u ，我們定義 毗勿= 訛勿一掣刪+ 等緲 顯然w ( t ，參) 滿足 m = 厶，f w 】+ ，( f ，0 p ( t 加知脅- 掣- 9 ( 滬等) + 秀+ 等等) 哇一j 1 + 吼f ) 掣一等) 通過此變換就有仉一1 ) = w ( f ，1 ) = 0 。所以，不失一般性下面討論中所有條 件都是齊次的。 3 1 5 算法的修正 為了提高計(jì)算精度，我們可以將計(jì)算區(qū)域【- 1 ，l 】，分解成幾個小區(qū)間在 這幾個小區(qū)間上分別計(jì)算。我們令 一1 = 矗 ，2 0 ，在占充分小時有 。翌祭阮o ) 一烈x ) i l f 烈工一力一伊( x ) 1 ( j ，) 砂 s 薩脅力一貼) j l 啪渺 s 艿i ( y ) 方= 艿 所以，當(dāng)s 寸0 時，在k 上純( 功一致收斂于礦( 功。 3 2 算法的收斂性 利用磨光函數(shù)近似初始條件得到的數(shù)學(xué)模型的解是否收斂到原問題的 解呢，收斂速度又如何呢? 由于我們對變量做了前沿變換，故偏微分方程 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)位論文第3 章自由邊界問題的譜方法 的成立區(qū)域變成了固定區(qū)域。所以為了討論的方便， 定區(qū)域中，我們考慮如下模型： u t = t 【】+ 廠( f ，功t 0 , x t o 我們將問題限制到固 ( 3 1 8 ) u ( o ，力= 伊( 功，研“i = o ( 3 1 9 ) 其中，厶 ) 和8 u 】同式( 3 i ) ( 3 2 ) 中相同，i o = 【0 ，s o 】。 定理3 3 ：假定哆c 1 e 2 ，f ( t ，功c ，o co ，若初邊值問題( 3 1 8 ) - - ( 3 1 9 ) 的解為u ( t ，力，而另外由一組初值條件( o ，曲= 依( x ) c ( 厶) 確定的問題 的解為( f ，x ) 。假定純( x ) 斗伊，對于任意的石厶和序列毛斗0 ，在任意 有限時間段( o ，t 】內(nèi)，我們有 s u p l u ( t ，x ) - u ( t ，功i 足( r ) 島 ( 3 2 0 ) 特別地，當(dāng)r o 時，在，0 中，當(dāng)療寸o o 時，( f ，x ) - - 致收斂至u u ( t ，力。其中 k ( t ) 在任意【f o ，t 】( t o 0 ) 上都是有界的，當(dāng)f 辛0 時，k ( t ) 專o o - 證明：為了討論問題的方便，我們不妨假定所討論問題的邊界條件為 d i r i c h l e t 條件， u ( t ，0 ) = u ( t ，s o ) = 0 考慮t 的伴隨算子t 【3 0 】， 。= ( f ，工) 等+ ( 2 吃，( f ，x ) 一q ( f ，x ) ) 去+ ( r ，工) 一，( f ，x ) + 吃，( f ，工) 我們假定丘+ 的基本解為g ( x ，；六f ) c 2 e 1 ，且g ( o ，f ；六f ) = 0 。則 3 1 中國石油大學(xué)( 華東) 碩士學(xué)