概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊.doc

概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊（2007年版）華中師范大學(xué)漢口分校概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 第一章 隨機(jī)事件及其概率習(xí)題1-1隨機(jī)事件1、選擇題（1）設(shè)為三個事件，則“中至少有一個不發(fā)生”這一事件可表示為（ ）A B C D （2）設(shè)三個元件的壽命分別為，并聯(lián)成一個系統(tǒng)，則只要有一個元件正常工作則系統(tǒng)能正常工作，事件“系統(tǒng)的壽命超過”可表示為（ ）A B C D .2、用集合的形式表示下列隨機(jī)試驗的樣本空間與隨機(jī)事件A：（1）同時擲三枚骰子，記錄三枚骰子的點數(shù)之和，事件A表示“點數(shù)之和大于10”。；A。（2）對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中后便停止射擊，觀察射擊的次數(shù)；事件A表示“射擊次數(shù)不超過5次”。；A。3、設(shè)A，B，C為三個事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：（1） A，B，C都發(fā)生：；（2） A，B，C都不發(fā)生：；（3） A發(fā)生，B與C不發(fā)生：；（4） A，B，C中至少有一個發(fā)生：；（5） A，B，C中至少有兩個發(fā)生：；（6） A，B，C中不多于兩個發(fā)生：。4、設(shè)某工人連續(xù)生產(chǎn)了4個零件，表示他生產(chǎn)的第個零件是正品（），試用表示下列各事件：（1）只有一個是次品；（2）至少有一個次品；（3）沒有一個是次品；（4）恰好有三個是次品；（5）至少有三個不是次品。習(xí)題1-2隨機(jī)事件的概率1、填空題（1）已知，則，。（2）一批產(chǎn)品由45件正品、5件次品組成，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，其中恰有1件次品的概率為 。（3）某寢室住有6名學(xué)生，至少有兩個同學(xué)的生日恰好在同一個月的概率為 。2、選擇題（1）如果與互不相容，則（ ）A B C D （2）事件與互相對立的充要條件是（ ） A B C D （3）設(shè)、是任意兩事件，則。A ； B ；C ； D 。（4）如果，則（ ）A 與不相容 B 與不相容C D （5）設(shè)，則（ ）A B C D 3、袋內(nèi)放有2個伍分，3個貳分，5個壹分的錢幣，任取其中5個，求其金額總數(shù)超過壹角的概率。4、向三個相鄰的軍火庫投擲一枚炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.025，炸中其余兩個軍火庫的概率各為0.1。只要炸中一個另外兩個必然爆炸，求軍火庫發(fā)生爆炸的概率。5、兩艘輪船都要?？吭谕粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達(dá)。設(shè)兩艘輪船停靠泊位的時間分別為1和2，求有一艘輪船?？坎次粫r需要等待一段時間的概率。習(xí)題1-3條件概率1、選擇題：（1）設(shè)A，B為兩個互逆事件，且，則。（A）；（B）；（C）；（D）。（2）已知，則。（A）；（B）；（C）；（D）。2、已知，求。3、口袋中有20個球，其中兩個是紅球，現(xiàn)從袋中取球三次，每次取一球，取后不放回，求第三次才取到紅球的概率。4、 已知甲乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱任取3件放入乙箱，然后再從乙箱中任取一件產(chǎn)品，求該產(chǎn)品為次品的概率。5、 一箱產(chǎn)品，A，B兩廠生產(chǎn)分別個占60，40，其次品率分別為1，2?，F(xiàn)在從中任取一件為次品，問此時該產(chǎn)品是哪個廠生產(chǎn)的可能性最大？6、某學(xué)校五年級有兩個班，一班50名學(xué)生，其中10名女生；二班30名學(xué)生，其中18名女生在兩班中任選一個班，然后從中先后挑選兩名學(xué)生，求（1）先選出的是女生的概率；（2）在已知先選出的是女生的條件下，后選出的也是女生的概率習(xí)題1-4獨立性1、選擇題：（1）設(shè)，則下列結(jié)論正確的是。（A）；（B）；（C）事件與事件相互獨立；（D）事件與事件B互逆。（2）設(shè)，則。（A）事件與互不相容；（B）事件與互逆；（C）事件與不相互獨立；（D）事件與相互獨立。（3）一種零件的加工由兩道工序組成，第一道工序的廢品率為p，第二道工序的廢品率為q，則該零件加工的成品率為（ ） （A） （B） （C） （D）2、已知，。（1）若事件與互不相容，求；（2）若事件與相互獨立，求；3、對同一目標(biāo)進(jìn)行三次獨立射擊，第一次、第二次、第三次射擊的命中率分別為0.4，0.5，0.7。求在這三次射擊中，恰好有一次擊中目標(biāo)的概率。4、甲、乙、丙三人同時各用一發(fā)子彈對目標(biāo)進(jìn)行射擊，三人各自擊中目標(biāo)的概率分別是0.4、0.5、0.7。目標(biāo)被擊中一發(fā)而冒煙的概率為0.2，被擊中兩發(fā)而冒煙的概率為0.6，被擊中三發(fā)則必定冒煙，求目標(biāo)冒煙的概率。17概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 第二章 一維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題2-1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)習(xí)題2-2 離散型隨機(jī)變量1 填空題(1) 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為: ，試確定。(2) 一批產(chǎn)品共100個，其中有10個次品，以X表示任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布律為 。(3) 某射手對一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直至擊中為止，如果每次射擊命中率都是，以X表示射擊的次數(shù)，則X的分布律為 。2. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為:X 0 1 2 3 求X的分布函數(shù)F(x), 及,。3 將一顆骰子拋擲兩次，以X1表示兩次所的點數(shù)之和，以X2表示兩次中得到的小的點數(shù)，試分別求X1，X2的分布律。4 設(shè)一批產(chǎn)品共100只，其中有10只次品，從中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只數(shù)，分別求出在不放回抽樣和有放回抽樣兩種情形下X的分布律。5 設(shè)某城市在一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為0.3的泊松分布,試問(1) 在一周內(nèi)恰好發(fā)生2次交通事故的概率是多少？(2) 在一周內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率是多少？6 某廠有7個顧問，假定每個顧問貢獻(xiàn)正確意見的可能性都是0.6. 現(xiàn)在為某件事的可行與否個別地征求每個顧問的意見，并按多數(shù)顧問的意見作決策. 求作出正確決策的概率。習(xí)題2-3連續(xù)型隨機(jī)變量1. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為, 試求：（1）系數(shù)A；（2）X的密度函數(shù)；（3）2. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 試求：(1)系數(shù)A; (2)X的分布函數(shù); (3)3. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量，（1）求；（2）確定常數(shù)C使.4. 某種型號的電子管壽命X (以小時計)具有以下概率密度 ， 現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立）, 任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？5. 設(shè)K在(0，5)內(nèi)服從均勻分布, 求方程有實根的概率.習(xí)題2-4 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-2-1011/61/31/61/3 試求：(1)，(2)的分布律。2設(shè)隨機(jī)變量XU(0,1), 求:的密度函數(shù)。3設(shè)隨機(jī)變量XN (0,1), 求:的密度函數(shù)。4設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 求的概率密度。概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題3-1 二維隨機(jī)變量1一箱子裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別為80件，10件，10件.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，記 求隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律.2 帶中裝有標(biāo)號為1，2，2的3個球，從中任取一個并且不放回，用 分別表示第一、第二次取到球上的號碼數(shù). 求的聯(lián)合分布律.3設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求（1）常數(shù)；（2）的分布函數(shù)；（3）習(xí)題3-2 邊緣分布1 完成下列表格YX0.10.20.40.20.212隨機(jī)變量在1，2，3，4四個整數(shù)中等可能的取值，另一隨機(jī)變量在1中等可能的取值，試求的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.3二維隨機(jī)變量的概率密度為求的邊緣概率密度.4二維隨機(jī)變量在以原點為圓心，為半徑的圓上服從均勻分布，試求的聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度.習(xí)題3-3 條件分布 習(xí)題3-4 隨機(jī)變量的獨立性1二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為 0100.30.210.40.1試求在的條件下的條件分布律.2隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為（1）求條件概率密度；(2）說明與的獨立性.3. 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨立，試完成下表： Y 1/81/81/614設(shè)和是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，在（0,1）內(nèi)服從均勻分布，的概率密度為（1） 求與的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)關(guān)于的二次方程為 ，求此方程有實根的概率.習(xí)題3-5 兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1設(shè)的聯(lián)合分布律為：X 01200.250.10.310.150.150.05求：（1）的分布律； （2）的分布律.2設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為試求的概率密度.3. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，記，試求的聯(lián)合分布律和邊緣分布律，并判斷它們的獨立性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征習(xí)題41 數(shù)學(xué)期望1設(shè)的分布列為：-1 0 1 2 求（1）；（2）；（3）.2設(shè)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布列為 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求,.3把4個球隨機(jī)地放入4個盒子中去，設(shè)表示空盒子的個數(shù)，求。4設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為 其中，又已知，求，的值.5設(shè)服從在上的均勻分布，其中為軸，軸及直線所圍成的區(qū)域，求（1）; （2） ;（3）. 6某工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命（以年計）服從指數(shù)分布，其概率密度為:工廠規(guī)定，出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)可以調(diào)換，若工廠售出一臺設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費(fèi)300元,試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望。習(xí)題42 方差1、 填空題（1）已知，則 （2）設(shè)，且與相互獨立，則 （3）設(shè)的概率密度為，則 （4）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨立，其中X1U0，6，X2N（0，22），X3服從參數(shù)為=3的泊松分布，記Y=X12X2+3X3，則D（Y）= 2、選擇題（1）對于任意兩個隨機(jī)變量和，若，則 A） B）C）和獨立 D）和不獨立（2）設(shè)X，且，則= A）1， B）2， C）3， D）03、一臺設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2，0.3， 假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望和方差。4、設(shè)兩個隨機(jī)變量，相互獨立，且都服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的方差。5、設(shè)的概率密度為, 求，。6、在每次試驗中，事件發(fā)生的概率為0.5，利用契比雪夫不等式估計：在1000試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)X在400600之間的概率。習(xí)題43 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)習(xí)題44 矩 協(xié)方差矩陣1、選擇題和填空題（1）設(shè)與的相關(guān)系數(shù)，則 A. 與相互獨立。 B. 與不一定相關(guān)。 C. 與必不相關(guān)。 D. 與必相關(guān)。（2）設(shè)隨機(jī)變量與的期望和方差存在，且，則下列說法哪個是不正確的 。 A. B. ， C. 與不相關(guān)， D. 與獨立；（3）設(shè)，則 2、已知隨機(jī)變量與都服從二項分布B(20，0.1)，并且與的相關(guān)系數(shù)=0.5，試求的方差及與的協(xié)方差。3、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X ，Y）的聯(lián)合概率密度為：f (x ,y)=求： 常數(shù)k. 及。4、假設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)的指數(shù)分布，隨機(jī)變量 求（1）的聯(lián)合分布； （2），。 5、設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求的階原點矩和三階中心矩。6、已知隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)為.（1）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 ；（2）求隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù).23概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)題51 大數(shù)定律 習(xí)題52 中心極限定理1、設(shè)隨機(jī)變量X的分布率如下：X0.3 0.6p0.2 0.8試求：。2、利用中心極限定理確定當(dāng)投擲一枚均勻硬幣時，需投擲多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在0.4到0.6之間的概率不小于90%。3、由100個相互獨立起作用的部件組成的一個系統(tǒng)在運(yùn)行過程中，每個部件能正常工作的概率都為90% 為了使整個系統(tǒng)能正常運(yùn)行，至少必須有85%的部件在正常工作，求整個系統(tǒng)能正常運(yùn)行的概率4、一食品店有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機(jī)的，因而售出一只蛋糕的價格是一個隨機(jī)變量，它取1元, 1.2元, 1.5元各值的概率分別為0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，（1）求收入至少為400元的概率；（2）求售出價格為1.2元的蛋糕多于60只的概率。25概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 第六章 樣本及抽樣分布習(xí)題6 樣本及抽樣分布1、填空題： （1）設(shè)是來自總體的樣本，則樣本分布律為 ；（2）設(shè)為總體的一個樣本，且服從分布，則 ；（3）設(shè)為總體的一個樣本，則 ；（4）設(shè)隨機(jī)變量,則Y服從 分布。 2、設(shè)某種電燈泡的壽命服從指數(shù)分布，求來自這一總體的簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度。3、設(shè)，是來自正態(tài)總體 的樣本。試求樣本方差的數(shù)學(xué)期望及方差。4、設(shè)總體，總體，從總體中抽取容量為10的樣本，其樣本方差計為；從總體中抽取容量為8的樣本，其樣本方差記為，求下列概率：（1）； （2）5、從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設(shè)樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上的概率為0.02，求總體的標(biāo)準(zhǔn)差。27概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 第七章 參數(shù)估計習(xí)題7-1 點估計 習(xí)題7-2 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)1、選擇題（1）設(shè)是取自總體的一個簡單樣本，則的矩估計是 （A）（B）（C）（D）（2）設(shè)為總體的一個隨機(jī)樣本，為 的無偏估計，C （A）/ （B）/ （C） 1/ （D） /（3）設(shè)總體服從正態(tài)分布是來自的樣本，則的最大似然估計為 （A） （B） （C） （D）（4）在3）題條件下，的無偏估計量是 （A） （B） （C） （D）2、設(shè)總體X具有分布律 ： X123其中為未知參數(shù)，已知取得了樣本值 試求的矩估計值和極大似然估計值。3、設(shè)總體的概率密度為 是來自總體的樣本，求分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量。4、設(shè)總體服從正態(tài)分布，是從此總體中抽取的一個樣本試驗證下面三個估計量： （1） （2） （3）都是的無偏估計，并指出哪一個估計量最有效習(xí)題 7-3 區(qū)間估計 習(xí)題 7-4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1、設(shè)有一組來自正態(tài)總體的樣本觀測值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512， 已知，求的置信區(qū)間（設(shè)置信度為0.95）； 未知，求的置信區(qū)間（設(shè)置信度為0.95）2、某廠生產(chǎn)一批金屬材料，其抗彎強(qiáng)度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從這批金屬材料中抽取11個測試件，測得它們的抗彎強(qiáng)度為（單位：）：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7求：抗彎強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.90的置信區(qū)間。3、某廠利用兩條自動化流水線灌裝番茄醬，分別以兩條流水線上抽取樣本： 及算出，假設(shè)這兩條流水線上灌裝的番茄醬的重量都服從正態(tài)分布，且相互獨立，其均值分別為（1）設(shè)兩總體方差，求置信水平為的置信區(qū)間；（2）求/的置信水平為的置信區(qū)間。 習(xí)題 7-5 非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計舉例 習(xí)題 7-6單側(cè)置信區(qū)間1、假定每次試驗時，事件A發(fā)生的概率未知。若在60次獨立試驗中，A發(fā)生15次。求概率的置信度為0.95的置信區(qū)間。2、從汽車輪胎廠生產(chǎn)的某種輪胎中抽取10個樣品進(jìn)行磨損試驗， 直至輪胎磨損到破壞為止，測得它們的行駛路程（）如下：41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800設(shè)汽車輪胎行駛路程服從正態(tài)分布，求：（1） 的置信水平為95%的單側(cè)置信下限；（2） 的置信水平為95%的單側(cè)置信上限。31概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 第八章 假設(shè)檢驗習(xí)題8 假設(shè)檢驗1、已知某煉鐵廠鐵水含碳量服從正態(tài)分布N(4.55，0.1082).現(xiàn)在測定了9爐鐵水，其平均含碳量為4.484，如果方差沒有變化，可否認(rèn)為現(xiàn)在生產(chǎn)之鐵水平均含碳量仍為4.55()？2、有一批槍彈，出廠時測得槍彈射出槍口的初速度服從(單位:).在儲存較長時間后取出9發(fā)進(jìn)行測試，得樣本值:914、920、910、934、953、945、912、924、940. 假設(shè)儲存后的槍彈射出槍口的初速度仍服從正態(tài)分布，可否認(rèn)為儲存后的槍彈射出槍口的初速度已經(jīng)顯著降低(取)?3、從某鋅礦的東、西兩支礦脈中，各抽取容量分別為9與8的樣本進(jìn)行測試，且測得含鋅量的樣本均值與樣本方差如下，東支:；西支: .假定東、西兩支礦脈的含鋅量都服從正態(tài)分布，那么東、西兩支礦脈的含鋅量有無顯著差異(取)？4、某批導(dǎo)線的電阻(單位:)，從中隨機(jī)地抽取9根，測得其樣本標(biāo)準(zhǔn)差.可否認(rèn)為這批導(dǎo)線電阻的標(biāo)準(zhǔn)差仍為(取)？5、測得兩批電子元件樣品的電阻()：I批0.1400.1380.1430.1420.1440.137II批0.1350.1400.1420.1360.1380.140設(shè)這兩批元件的電阻總體分別服從，且兩樣本相互獨立。試問這兩批電子元件電阻的方差是否一樣？33概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊 參考答案參考答案習(xí)題111、 D,D.2、 （1）；（2）；3、 （1） ； （2） ； （3） （或）；（4）； （5） （或）；（6） 4、 （1）；（2）（或）；（3）；（4）；（5）習(xí)題121、（1）0.6，0.4，0.6，0.2，0，0.4； （2）99/392； （3）0.7772、（1）C；（2）C；（3）A；（4）C （5）B3、0.5； 4、0.225 ； 5、0.121習(xí)題131、（1）C；（2）ABCD2、0.33、0.0894、0.25； 5、乙廠； 6、（1）0.4；（2）0.4856習(xí)題141、（1）C；（2）D（3）C2、（1）0.3；（2）3、0.36； 4、0.458習(xí)題2-1, 2-21、(1) 1 ； (2) ；(3) ；2、 ； ；3、（1）X123456789101112pk1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36（2）X2123456pk11/309/367/365/363/361/364、(1)； (2)5、(1)0.0333 (2)0.259 ； 6、5. 0.71習(xí)題2-31、(1) 1； (2), （3）； 2、.(1) (2) (3) 3、（1）0.5328；0.6977；（2）3 ； 4、； 5、 . 習(xí)題2-41、Y-5-3-11Z014p1/61/31/61/3p1/62/31/62、 ； 3、 ；4、習(xí)題3-11、 0100.10.110.802、 12101/321/31/33、(1)； (2)； （3）3/5習(xí)題3-21、 0.10