數(shù)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文-放縮法在不等式證明中的應(yīng)用.doc

存檔編號(hào) 贛 南 師 范 學(xué) 院 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文放縮法在不等式證明中的應(yīng)用教學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院屆 別 2014屆 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào) 100700039 姓 名 指導(dǎo)教師 完成日期 2014年5月1日 作者聲明本畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下由本人獨(dú)立撰寫(xiě)完成的，沒(méi)有剽竊、抄襲、造假等違反道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和其他侵權(quán)行為。對(duì)本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。因本畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）引起的法律結(jié)果完全由本人承擔(dān)。畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）成果歸贛南師范學(xué)院所有。特此聲明。作者專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者學(xué)號(hào)：100700039作者簽名：2014年 月 日放縮法在不等式證明中的應(yīng)用The zoom method in the application of the inequality proofXiao Chang wang 2014年5月 日目 錄內(nèi)容摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words1序言22放縮法的應(yīng)用依據(jù)-不等式的基本性質(zhì)22.1 不等式理論依據(jù).22.2 不等式的傳遞性22.3 利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)22.4 利用均值不等式的性質(zhì)33放縮法在不等式中的應(yīng)用43.1放縮的基本類(lèi)型43.1.1舍添一些恒正或恒負(fù)的項(xiàng)43.1.2 適當(dāng)?shù)貙⒎质降姆肿樱ɑ蚍帜福┓糯蠡蚩s小53.1.3 利用基本不等式53.1.4 利用函數(shù)的單調(diào)性63.1.5 利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行適度地放縮63.2 放縮的目的63.2.1有利于約分63.2.2 有利于差分73.2.3 有利于消元83.2.4 有利于運(yùn)用公式84如何進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤趴s95總結(jié)10參考文獻(xiàn)11贛南師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)） 2 摘要 ：放縮法是不等式證明中一種很精細(xì)、很巧妙的證明方法，但是，如何快速、有效地進(jìn)行放縮這是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者必須要掌握的內(nèi)容，以及如何靈活、適度地進(jìn)行這是我們研究學(xué)習(xí)的重難點(diǎn).關(guān)鍵詞：放縮法;不等式 ;證明 ;方式 ;目標(biāo) ;適度 Abstract：Scaling is a very fine, very clever method of proof, proof of inequality but, how to fast, effectively scaling this is our mathematics learners must master the content, as well as how flexible, reasonably this is heavy and difficult we studyKeywords: scaling; inequality; prove; target; moderate11.序言不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要的地位，特別是不等式的證明，因此，學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用其證明不等式是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，在不等式的證明中，我們往往遇到從直接給出的已知條件是很難以證明的，這時(shí)如果我們對(duì)式子進(jìn)行放大或縮小，使問(wèn)題發(fā)生相應(yīng)的變化，這樣就使問(wèn)題得以解決，我們稱(chēng)這種方法為放縮法.清楚地說(shuō)放縮法就是在證明不等式中，利用不等式的傳遞性，作相應(yīng)的放大或縮小，證明比原不等式更好的不等式來(lái)代替原不等式的證明，放縮法的目的性很強(qiáng)，在利用放縮法中，其要求很高，在運(yùn)用時(shí)必須要恰到好處，否則不能達(dá)到目的，至于放縮法適用于哪種不等式，這沒(méi)有明確的規(guī)定，這需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)真總結(jié)、歸納.2. 放縮法應(yīng)用的依據(jù)不等式的基本性質(zhì)。2.1理論依據(jù)：（1）不等式的傳遞性：如果AC,CB,那么AB；（2）等量加不等量為不等量； （3）同分子（母）異分母（子）的兩個(gè)分式大小的比較。放縮法是貫穿證明不等式始終的指導(dǎo)變形方向的一種思考方法.2 贛南師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)）2.2 不等式的傳遞性：若則 我們常常說(shuō)借別人的東西，就是借別人的東西來(lái)使用，在不等式的證明中我們也使用到，當(dāng)我們不能直接證明AC時(shí)，我們可以借助B，讓它起到連接A和C的作用，我們可以先證存在B，使得證AB,BC,這樣我們就得出AC，這就是不等式的傳性的運(yùn)用 例：已知，且，求證： 證明： 2.3 利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)： 在數(shù)學(xué)證明里，證明兩個(gè)數(shù)（式子）的大小方法很多，如作差法，作商法法，分析法等，當(dāng)這些方法難以證明時(shí)，特別是在絕對(duì)值不等式中時(shí)，我們可以利用我們學(xué)過(guò)的絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明. 例：已知且，求證： 證明： 所以我們知道任何數(shù)的平方都大于或等于0，即，化簡(jiǎn)得，即任何兩個(gè)數(shù)的平方之和大于或等于他們積的2倍，而在均值不等式中，因?yàn)榍遗c同號(hào)，所以要滿(mǎn)足上述公式，可知，下面我們談?wù)勂湫再|(zhì)2.4 利用均值不等式的性質(zhì)：若，則. 例：若，且，求證： 證明： 所以 4贛南師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)）3.放縮法在不等式中的應(yīng)用3.1 放縮的基本類(lèi)型3.1.1 舍添一些恒正或恒負(fù)的項(xiàng) 為了往不等式的解靠近，我們?cè)诓荒苤苯咏忸}的情況下，我們可以將式子添加（或減去）某些正項(xiàng)或者負(fù)項(xiàng)，這樣就能使式子放大或縮小.例：證明級(jí)數(shù)收斂.證明：當(dāng)時(shí)，有而，所以， ，于是，對(duì)，只須，當(dāng)時(shí)，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則知收斂3.1.2 適當(dāng)?shù)貙⒎质降姆肿樱ɑ蚍帜福┓糯蠡蚩s小 在分式中，如果分母不變、分子變大（或變?。﹦t值變大（或變?。?；反之，如果分子不變、分母變大（或變?。﹦t值變?。ɑ蜃兇螅@是我們?cè)诜趴s過(guò)程中應(yīng)該掌握的結(jié)論.45贛南師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)）例：已知，求S的整數(shù)部分證明：由，知道(1); ,由（1）、（2）知S=1653.1.3 利用基本不等式 放縮是沒(méi)有固定的方式，這要看情況而選，在選擇時(shí)重要的還是根據(jù)題意所給的條件來(lái)決定的，如下是選擇利用不等式的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行放縮例：已知，求證：證明：因?yàn)椋?所以 所以 3.1.4 利用函數(shù)的單調(diào)性 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，知道單調(diào)函數(shù)具有增減性，而其增減性正相似于放縮法里面的放大或縮小，其實(shí)放大就是往右移動(dòng)，縮小就是往左邊移動(dòng).例：已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，求證：證明：（1）當(dāng)時(shí)，由已知有，于是，所以，因?yàn)?，所以，即?dāng)時(shí)不等式成立 （2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即，由已知有，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)不等式成立，綜合（1）、（2）知，對(duì)時(shí)不等式都成立3.1.5 利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行適度地放縮 在不等式的證明中，如果正面不能進(jìn)行的話(huà)，我們要想到作一些相應(yīng)的變形，使題目變成我們熟悉的公式或恒等式.如二項(xiàng)式定理在不等式證明中的應(yīng)用例：設(shè)，且，求證：證明：令，則，即證，因，故，所以結(jié)論得證，即3.2 放縮的目的 在運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，我們一定要認(rèn)真審題，我們應(yīng)該明白我們應(yīng)該怎么放縮，這樣放的目的是什么，這就是放縮過(guò)程中的重要性，如：3.2.1 有利于約分 我們知道放縮法就是放與縮的過(guò)程，重要的是我們?nèi)绾畏藕涂s，使它達(dá)到我們要證明的問(wèn)題，像在分式中，如果式子不能直接化簡(jiǎn)，我們可以給式子放或縮，使它能夠含有公因式這樣就可以約去公因式達(dá)到化簡(jiǎn)，明白的說(shuō)就是讓分母不變、分子變大（或變?。┦蛊渲底兇蠡蜃冃?；反之，讓分子不變、分母變大（或變?。┦怪底冃。ɑ蜃兇螅? 如下題 就是利用分母變小，使值變大的放縮. 例：證明： 證明：因?yàn)?因此，對(duì)，只要，即，取，當(dāng)時(shí)，有，即所以3.2.2 有利于差分 數(shù)學(xué)是很講究技巧的，表面上有些式子是無(wú)法求出來(lái)的，但是，如果我們7贛南師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)）認(rèn)真審題，找出題意的本質(zhì)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)它里面蘊(yùn)含著很大的秘密或技巧，例如，的結(jié)果我們可以通分很快就可以算出來(lái)，但是，甚至?xí)r我們?cè)撛趺辞竽兀课覀冎浪麄兯麄兏髯臃謹(jǐn)?shù)都是可以拆開(kāi)的，當(dāng)他們拆開(kāi)時(shí)我們發(fā)現(xiàn)中間兩項(xiàng)之和剛好等于0，最后只剩下首尾兩項(xiàng).下面我們?cè)倏匆活} 例：證明數(shù)列收斂，其中 證明：對(duì)，取，當(dāng)時(shí)， 所以 3.2.3 有利于消元 我們知道解題的過(guò)程就是化簡(jiǎn)，使問(wèn)題由繁化簡(jiǎn)，由難化易，當(dāng)由已知8贛南師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)）件無(wú)法化簡(jiǎn)時(shí)，我們可以給問(wèn)題進(jìn)行適度地放縮，使得問(wèn)題能夠化簡(jiǎn)消元，使問(wèn)題得以解決. 例:證明級(jí)數(shù)的斂散性 證明：取，則不論取多大，若令，則有，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則之知級(jí)數(shù)發(fā)散3.2.4 有利于運(yùn)用公式 數(shù)學(xué)里面我們學(xué)習(xí)了很多數(shù)學(xué)公式，但是我們應(yīng)該如何運(yùn)用這些公式呢，這要具體問(wèn)題具體分析，我們要認(rèn)真地審題，題目的意思跟哪個(gè)公式比較接近，然后把我們所要求的問(wèn)題向所需要的公式靠攏，使問(wèn)題得以解決. 例：證明： 證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有，即，這就等價(jià)于求一元二次方程的解的問(wèn)題，要滿(mǎn)足上述條件，我們知道判別式要小于或等于零，即，化簡(jiǎn)得，所以結(jié)論得證.84.如何進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤趴s- 1 -9贛南師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)）運(yùn)用放縮法證明不等式的確是一種很巧妙的證明方法，但是才能如何做到快速、有效地放縮，即應(yīng)該放多大，縮多小，這是我們?cè)诶梅趴s法選擇證明不等式時(shí)要認(rèn)真考慮的事情，需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步地探討. 例1： 求證：分析：由通項(xiàng)，知，可這樣放縮顯然達(dá)不到目的，這里無(wú)疑是放得太大了，若由通項(xiàng)，經(jīng)檢驗(yàn)可以達(dá)到證明的目的.證明：由通項(xiàng)，所以 （無(wú)窮等比數(shù)列），即.例2:：求證： 分析：由通項(xiàng)（1） （2）（A）由（1）有 ，顯然放縮過(guò)大.（B）若適當(dāng)?shù)乇Ａ裟骋豁?xiàng)（這里保留一項(xiàng)），得，放縮正確（C）由（2）有，顯然放縮過(guò)小（D）若適當(dāng)?shù)乇Ａ裟骋豁?xiàng)（這里保留一項(xiàng)），得，知放縮正確.綜合上述，聯(lián)合（B）、（C）得證，即5.總結(jié)放縮法是一種有意識(shí)地對(duì)相關(guān)的數(shù)或者式子的取值進(jìn)行放大或縮小的方法。如果能夠靈活掌握運(yùn)用這種方法,對(duì)比較大小、不等式的證明等部分?jǐn)?shù)學(xué)試題的解題能起到拔云見(jiàn)霧的效果,在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類(lèi)型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段. 尤其針對(duì)競(jìng)賽問(wèn)題,是一種解決問(wèn)題的很好方法,所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性,對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過(guò)程,在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的度,否則就不能同向傳遞了,此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式,也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要驟 。注意事項(xiàng)：1）放縮的方向要一致；2）放與縮要適度； 3）很多時(shí)候只對(duì)數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）；4）用放縮法證明極其簡(jiǎn)單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象。所以對(duì)放縮法，只需要了解，不須深入。參考文獻(xiàn)111 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)5（必修）M.人民教育出版社,2004.2 馬華祥.“放縮法”的基本策略J.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2003(176):48-49.3 華東師范大