暢優(yōu)新課堂八年級數學下冊 17.2 一元二次方程的解法（第2課時）教學案 （新版）滬科版.doc

一元二次方程的解法1一元二次方程的求根公式及推導(1)求根公式的定義一般地，對于一元二次方程ax2bxc0(a0)，當b24ac0時，它的根是x.這個式子稱為一元二次方程的求根公式(2)求根公式的推導一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式ax2bxc0(a0)的過程具體推導過程如下：由于a0，在方程兩邊同除以a，得x2x0.移項，得x2x.方程兩邊同加上()2，得x2x()2()2，即(x)2.由于4a20，所以當b24ac0時，可得x.所以x.(1)配方法是推導求根公式的基礎(2)由于4a20，所以只有當b24ac0時，式子才是非負常數，方程才能開方(3)由此可見，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根是由方程的系數a，b，c確定的，只要確定了系數a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根【例1】方程3x287x化為一般形式是_，其中a_，b_，c_，方程的根為_解析：將方程移項可化為3x27x80.其中a3，b7，c8.因為b24ac4943(8)1450，代入求根公式可得x.答案：3x27x803782公式法解一元二次方程(1)定義：用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，對于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出來(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟：將方程化為一般形式ax2bxc0(a0)，確定a，b，c的值計算b24ac的值，從而確定原方程是否有實數根若b24ac0，則把a，b，c及b24ac的值代入求根公式，求出x1，x2；若b24ac0，則方程沒有實數根(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有確認方程是一元二次方程時，方可使用(2)“b24ac0”是一元二次方程求根公式的重要組成部分，是公式成立的前提條件，當b24ac0時，方程沒有實數根(3)用公式法解一元二次方程時，一定先將方程化為一般形式，再確定a，b，c的值，并注意它們的符號(4)當b24ac0時，應把方程的根寫成x1x2，從而說明一元二次方程有兩個相等的實數根，而不是一個根【例2】用公式法解下列方程：(1)2x(x)10；(2)x24x1108x.分析：用公式法解一元二次方程時，先將一元二次方程寫成ax2bxc0(a0)的形式，然后判斷b24ac的值是大于等于0，還是小于0.若b24ac0，把a，b，c的值代入求根公式求解；若b24ac0，則原方程沒有實數根解：(1)原方程可化為2x22x10.因為a2，b2，c1，所以b24ac(2)24210.所以x.所以x1x2.(2)將原方程化為一般形式，得x24x110.因為a1，b4，c11，所以b24ac(4)241(11)164460.所以x.所以x12，x22.點撥：用公式法解一元二次方程時，必須滿足b24ac0，才能將a，b及b24ac的值代入求根公式求解當b24ac0時，原方程沒有實數根3因式分解法(1)定義：通過因式分解，將一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來求解的方法叫做因式分解法(2)因式分解法的理論依據：若ab0，則a0或b0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：將方程的右邊化為0；將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解用因式分解法解一元二次方程的關鍵：一是要將方程右邊化為0；二是方程左邊要能分解為兩個含未知數的一次因式的積【例3】解下列方程：(1)x3x(x3)；(2)(x2)2(2x3)2；(3)x22x3.分析：移項右邊為0左邊能提取公因式(x3)移項左邊能用平方差公式進行分解移項左邊正好是一個完全平方式解：(1)原方程可化為(x3)x(x3)0.(x3)(1x)0.x30，或1x0.x13，x21.(2)原方程可化為(x2)2(2x3)20.(x2)(2x3)(x2)(2x3)0，即(3x1)(x5)0.3x10，或x50.x1，x25.(3)原方程可化為x22x30，即x22x()20.(x)20.x1x2.4因式分解法的兩種類型一元二次方程右邊化為0后，左邊在因式分解時，可分為兩種類型：(1)有公因式可提：把多項式的公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式例如，解方程x3x(x3)0，可通過提公因式(x3)，原方程變形為(x3)(1x)0.(2)能運用公式平方差公式：a2b2(ab)(ab)；完全平方公式：a22abb2(ab)2.運用完全平方公式解一元二次方程，實質上與用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程x240，利用平方差公式變形為(x2)(x2)0；解方程x24x40，利用完全平方公式變形為(x2)20.在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式時，公因式可能是多項式，公式中的字母也可能代表多項式，因此，要注意從整體上觀察，切不可盲目地去化簡整理【例4】解下列方程：(1)4(x3)225(x2)20；(2)(2x1)24(2x1)40；(3)(x3)(x1)4x4.分析：解一元二次方程時，一定要先從整體上分析，選擇適當的解法(1)右邊為0左邊可整體利用平方差公式分解因式(2)右邊為0將2x1作為一個整體，左邊可利用完全平方公式進行因式分解(3)移項后把右邊化為0變形后能提公因式(x1)解：(1)原方程可變形為2(x3)25(x2)20，即(2x6)2(5x10)20.(2x65x10)(2x65x10)0，即(7x16)(3x4)0.7x160，或3x40.x1，x2.(2)原方程可變形為(2x12)20，即(2x3)20.2x30.x1x2.(3)原方程可變形為(x3)(x1)4(x1)0.(x1)20.x1x21.5利用因式分解法解一元二次方程的誤區(qū)應用因式分解法解方程時，常有以下誤區(qū)：(1)對因式分解法的基本思想不理解，沒有將方程化為ab0的形式就急于求解對此要認真審題，看方程的一邊是否是0，若不是0，應先化為0.(2)產生丟根現(xiàn)象對于丟根現(xiàn)象，往往是因為在解方程過程中，出現(xiàn)方程兩邊不屬于同解變形的步驟避免這一錯誤的方法主要是注意方程兩邊不能同除以含有未知數的項【例5】解方程：(1)(x2)(x3)6.(2)2x(x1)3(x1)解：解答顧問點評(1)錯解x20，或x30，得x12，x23.用因式分解法時，右邊必須是0，而本題中右邊不是0正解整理，得x25x0，x(x5)0.x0，或x50.x10，x25.先整理成一般形式，再選擇適當的方法(2)錯解方程兩邊同時除以(x1)，得2x3，解得x.出現(xiàn)兩邊同除以(x1)的錯誤正解移項，得2x(x1)3(x1)0，(x1)(2x3)0.x10，或2x30.解得x11，x2.移項后可提公因式(x1)6選擇適當的方法解一元二次方程(1)一元二次方程一般有四種解法，四種解法對照如下：解法適合類型注意事項直接開平方法(xm)2nn0時，有解；n0時，無解配方法x2pxq0二次項系數若不為1，必須先把系數化為1，再進行配方公式法ax2bxc0(a0)先化為一般形式再用公式b24ac0時，方程有解；b24ac0時，方程無解因式分解法方程的一邊為0，另一邊能夠分解成兩個一次因式的乘積方程的一邊必須是0，另一邊可用任何方法分解因式(2)選擇的原則：首先要看因式分解法或直接開平方法是否可行，接著考慮配方法，最后考慮公式法因式分解法和直接開平方法雖然簡便，但并非所有的方程都適用；配方法適用于任何一個一元二次方程，但過程比較麻煩；公式法是在配方法的基礎上，利用其導出的求根公式直接求解因此，在解一元二次方程時，為了提高解題速度和準確率，應先觀察方程特點，靈活選擇適當的方法進行解題_【例61】選擇適當的方法解下列方程：(1)3x(x1)1x；(2)x22x110；(3)2x25x10.分析：(1)將方程右邊的“1x”移到方程左邊，則變?yōu)椤皒1”，此時有公因式“x1”可提.因式分解法(2)仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)二次項系數與一次項系數的特點，“x22x”易于配方，可選用配方法求解.配方法(3)公式法適用于任何一元二次方程，此題是一元二次方程的一般形式，確定a，b，c的值，就可以直接代入公式求解.公式法解：(1)原方程可化為3x(x1)(x1)0，(x1)(3x1)0.x10，或3x10.x11，x2.(2)移項，得x22x11，配方，得x22x1111，即(x1)212.x12，即x21.x121，x221.(3)a2，b5，c1，b24ac(5)242(1)330，x.x1，x2.【例62】用適當的方法解下列方程：(1)9(x2)216；(2)(x1)2(x1)60；(3)4x24x10；(4)(3x4)29x12.分析：(1)題利用直接開平方法解較好(2)題利用因式分解法解較好(3)題利用求根公式法解較好(4)題利用因式分解法解較好解：(1)原方程變形為(x2)2，所以x2，即x2.所以x1，x2.(2)原方程變形為(x12)(x13)0，即(x1)(x4)0，所以x10或x40.所以x11，x24.(3)因為a4，b4，c1，所以b24ac(4)244116.所以x.所以x1，x2.(4)原方程變形為(3x4)23(3x4)，即(3x4)23(3x4)0，分解因式，得(3x4)(3x4)30，即(3x4)(3x7)0，所以3x40或3x70.所以x1，x2.7用十字相乘法解一元二次方程十字相乘法能把某些二次三項式ax2bxc(a0)因式分解這種方法的關鍵是把二次項的系數a分解成兩個因數a1，a2的積a1a2，把常數項c分解成兩個因數c1，c2的積c1c2，并使a1c2a2c1正好是一次項系數b，那么可以直接寫出結果：ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)當二次項系數為1時，上述公式變?yōu)閤2bxc(xc1)(xc2)此時解決問題的關鍵是將常數項分解為兩個數的積，且其和等于一次項系數例如，分解因式2x27x3，利用上述方法將二次項系數與常數項分解為12與(1)(3)，則交叉相乘再相加，得1(1)2(3)7，結果正好等于一次項系數7，于是二次三項式2x27x3可分解為(x3)(2x1)【例7】用十字相乘法解下列方程：(1)x22