高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考必考題突破講座（三）數(shù)列、不等式及推理與證明學(xué)案.doc

高考必考題突破講座(三)數(shù)列、不等式及推理與證明題型特點(diǎn)考情分析命題趨勢(shì)從近幾年高考試題統(tǒng)計(jì)看，全國(guó)卷中的數(shù)列與三角函數(shù)問(wèn)題基本上交替考查，難度不大如果是數(shù)列問(wèn)題考查內(nèi)容主要集中在兩個(gè)方面：一是以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)，題目多為常規(guī)試題；二是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和問(wèn)題，有時(shí)結(jié)合函數(shù)、不等式等進(jìn)行綜合考查，涉及內(nèi)容較為全面，試題題型規(guī)范、方法可循.2017天津卷，172016四川卷，192016山東卷，18以數(shù)列為載體，綜合不等式，考查推理與證明思想方法的應(yīng)用，仍然是命題關(guān)注點(diǎn).分值：12分1數(shù)列的通項(xiàng)與求和數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考必考的熱點(diǎn)題型，求通項(xiàng)屬于基本問(wèn)題，常涉及與等差、等比的定義、性質(zhì)、基本量運(yùn)算求和問(wèn)題關(guān)鍵在于分析通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的求和方法，常考求和方法有：錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等2數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題數(shù)列是特殊的函數(shù)，以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問(wèn)題體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)，該類綜合題的知識(shí)綜合性強(qiáng)，能很好地考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，因而一直是高考命題者的首選3數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題數(shù)列與不等式知識(shí)相結(jié)合的考查主要有三種：一是判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題；三是考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明在解決這些問(wèn)題時(shí)，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法等如果是解不等式問(wèn)題，要使用不等式的各種不同解法，如數(shù)軸法、因式分解法等【例1】 (2017天津卷)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為sn(nn*)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，s1111b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nn*)解析 (1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，q0.由b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由s1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，所以an3n2，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2，bn的通項(xiàng)公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為tn，由(1)知a2n6n2，b2n124n1，所以a2nb2n1(3n1)4n，故tn24542843(3n1)4n，4tn242543(3n4)4n(3n1)4n1，兩式相減，得3tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18，所以tn4n1.所以，數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為4n1.【例2】 已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn(nn*)，且s3a3，s5a5，s4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)tnsn(nn*)，求數(shù)列tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值解析 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閟3a3，s5a5，s4a4成等差數(shù)列，所以s5a5s3a3s4a4s5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數(shù)列，且a1，所以q.故ann1(1)n1.(2)由(1)得sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sn隨n的增大而減小，所以1sns1，故0sns1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn隨n的增大而增大，所以s2snsns2.綜上，對(duì)于nn*，總有sn.所以數(shù)列tn最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.【例3】 (2016四川卷)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，sn1qsn1，其中q0，nn*.(1)若2a2，a3，a22成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)雙曲線x21的離心率為en，且e2，證明：e1e2en.解析 (1)由已知，sn1qsn1，sn2qsn11，兩式相減得到an2qan1，n1.又由s2qs11得到a2qa1，故an1qan對(duì)所有n1都成立所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，從而anqn1.由2a2，a3，a22成等差數(shù)列，可得2a33a22，即2q23q2，則(2q1)(q2)0，由已知，q0，故q2.所以an2n1(nn*)(2)由(1)可知，anqn1.所以雙曲線x21的離心率en.由e2，q0，解得q.因?yàn)?q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kn*)故e1e2en1qqn1.1(2018河北石家莊二模)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若sm14，sm0，sm214(m2，且mn*)(1)求m的值；(2)若數(shù)列bn滿足log2bn(nn*)，求數(shù)列(an6)bn的前n項(xiàng)和解析 (1)因?yàn)閟m14，sm0，sm214，所以amsmsm14，am1am2sm2sm14，設(shè)數(shù)列an的公差為d，則2am3d14，所以d2.因?yàn)閟mm0，所以a1am4，所以am42(m1)4，解得m5.(2)由(1)知an42(n1)2n6，所以n3log2bn，即bn2n3，所以(an6)bn2n2n3n2n2.設(shè)數(shù)列(an6)bn的前n項(xiàng)和為tn，則tn12132n2n2，所以2tn1122322n2n1，得tn122n2n2n1n2n1(1n)2n1.所以tn(n1)2n1.2在等差數(shù)列an中，a26，a3a627.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且tn，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有tnm成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析 (1)設(shè)公差為d，由題意得解得an3n.(2)sn3(123n)n(n1)，tn，tn1，tn1tn，當(dāng)n3時(shí)，tntn1，且t11t2t3，tn的最大值是，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.3(2018山東濟(jì)南模擬)已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn，滿足s52a225，且a1，a4，a13恰為等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在kn*，使得等式12tk成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，解得a13，d2，an2n1.b1a13，b2a49，等比數(shù)列bn的公比q3，bn3n.(2)不存在理由如下：，tn，12tk(kn*)，易知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，.解析 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意有解得故an的通項(xiàng)公式為an2n1，nn*.(2)因?yàn)閎n，所以sn1，令1，解得n1 008，故取n1 009.2(2018江西南昌模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a11，s3s4s5.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(1)n1an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和t2n.解析 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由s3s4s5，得a1a2a3a5，即3a2a5，所以3(1d)14d，解得d2.an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)t2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.3(2018東北三省四校模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，公差d0，且s3s550，a1，a4，a13成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解析 (1)依題意得解得an2n1.(2)3n1，bnan3n1(2n1)3n1，tn353732(2n1)3n1，3tn3353223n1(2n1)3n，兩式相減，得2tn32323223n1(2n1)3n32(2n1)3n2n3n，tnn3n.4已知二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，點(diǎn)(n，sn)(nn*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，試求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解析 (1)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)，則f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)(n，sn)(nn*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上，所以sn3n22n.當(dāng)n2時(shí)，ansnsn13n22n3(n1)22(n1)6n5；當(dāng)n1時(shí)，a1s131221615，也適合上式，所以an6n5(nn*)(2)由(1)得bn，故tn.5已知數(shù)列an滿足a13，1，nn*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為sn，求使sn4的最小自然數(shù)n.解析 (1)由1，nn*，知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以2n1n1，所以ann22n，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann22n.(2)bnlog2log2log2(n1)log2(n2)，則snb1b2bnlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)，由sn4，得1log2(n2)30，故滿足snd，a2d，d0)假設(shè)存