第三章 矩陣的初等變換與線性方程組.doc

第三章矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2(-1), r3(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r33. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (2); 解 (下一步: r22+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) (下一步: r12. ) . (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) (下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) (下一步: r1r2, r2(-1), r4-r3. ) (下一步: r2+r3. ) . 2. 設(shè), 求A. 解 是初等矩陣E(1, 2), 其逆矩陣就是其本身. 是初等矩陣E(1, 2(1), 其逆矩陣是 E(1, 2(-1) . . 3. 試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q, 求下列方陣的逆矩陣: 4. (2)設(shè), , 求X使XA=B. 解 考慮ATXT=BT. 因?yàn)?, 所以 , 從而 . 5. 設(shè), AX =2X+A, 求X. 解 原方程化為(A-2E)X =A. 因?yàn)?, 所以 . 6. 在秩是r 的矩陣中,有沒有等于0的r-1階子式? 有沒有等于0的r階子式? 解 在秩是r的矩陣中, 可能存在等于0的r-1階子式, 也可能存在等于0的r階子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2階子式, 是等于0的3階子式. 7. 從矩陣A中劃去一行得到矩陣B, 問A, B的秩的關(guān)系怎樣? 解 R(A)R(B). 這是因?yàn)锽的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不會(huì)小于B的秩. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個(gè)最高階非零子式: (3). 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) (下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) (下一步: r216r4, r3-16r2. ) , 矩陣的秩為3, 是一個(gè)最高階非零子式. 10. 設(shè)A、B都是mn矩陣, 證明AB的充分必要條件是R(A)=R(B). 證明 根據(jù)定理3, 必要性是成立的. 充分性. 設(shè)R(A)=R(B), 則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的. 設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為D, 則有AD, DB.由等價(jià)關(guān)系的傳遞性, 有AB. 11. 設(shè), 問k為何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3. 解 . (1)當(dāng)k=1時(shí), R(A)=1; (2)當(dāng)k=-2且k1時(shí), R(A)=2; (3)當(dāng)k1且k-2時(shí), R(A)=3. 12. 求解下列齊次線性方程組: (1); 解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 (k為任意常數(shù)). (3); 解 對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=, 于是 , 故方程組的解為 . 13. 求解下列非齊次線性方程組: (1); 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程組無(wú)解. (2); 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k為任意常數(shù)). 18. 證明R(A)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, , 0)Q-1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因?yàn)閍與b