數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練習(xí)題.doc

2012年春季數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練題目匯總(1-176) 蘭州理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系惠富春修改整理2012.5.5序號學(xué)號姓名專業(yè)題目1題目2題目30110530002區(qū)維展工程力學(xué)10級00班1176580210530006劉志斌工程力學(xué)10級00班5172570310530012朱亞文工程力學(xué)10級00班9168560410530013薛曉偉工程力學(xué)10級00班13164550510530014王晨工程力學(xué)10級00班17160540610530028張開淼工程力學(xué)10級00班21156530710530029李永虎工程力學(xué)10級00班25152520810530036武福濤工程力學(xué)10級00班29148510910530040賈雁凱工程力學(xué)10級00班33144501010530048王曉婕工程力學(xué)10級00班37140491110510111黃凱應(yīng)用物理學(xué)10級01班41136481210510113尹蓮勇應(yīng)用物理學(xué)10級01班45132471310510123楊旭澤應(yīng)用物理學(xué)10級01班49128461410510139萬紅艷應(yīng)用物理學(xué)10級01班53124451510530011柳成應(yīng)用物理學(xué)10級01班57120441610510107張致國應(yīng)用物理學(xué)10級01班61116431710510109徐東應(yīng)用物理學(xué)10級01班65112421810510119陳海燕應(yīng)用物理學(xué)10級01班69108411910510136章華應(yīng)用物理學(xué)10級01班73104402010510138劉歡琴應(yīng)用物理學(xué)10級01班77100392110510201黃彬富應(yīng)用物理學(xué)10級02班8196382210510203王先利應(yīng)用物理學(xué)10級02班8592372310510204劉榮輝應(yīng)用物理學(xué)10級02班8988362410510207李文超應(yīng)用物理學(xué)10級02班9384352510510209王飛翔應(yīng)用物理學(xué)10級02班9780342610510211李志勇應(yīng)用物理學(xué)10級02班10176332710510212朱偉應(yīng)用物理學(xué)10級02班10572322810510216馬曉強應(yīng)用物理學(xué)10級02班10968312910510221盛少威應(yīng)用物理學(xué)10級02班11364303010510237梁志瑞應(yīng)用物理學(xué)10級02班1176029目錄（176個，2012-5-3更新 惠富春）2012年春季數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練題目匯總(1-176)11 面試時間最優(yōu)化問題62 疾病傳染及防治的數(shù)學(xué)建模問題63 高層寫字樓的電梯規(guī)劃64 學(xué)生食堂排隊分析75 流感疫苗接種的數(shù)學(xué)模型76 失業(yè)與再就業(yè)的數(shù)學(xué)模型設(shè)計77 垃圾運輸問題78 最優(yōu)捕魚策略模型89 森林管理及其數(shù)學(xué)模型910 再生資源的合理利用與開發(fā)策略911 水塔流量的估計912 存貯問題的數(shù)學(xué)模型1013 最佳廣告費用及其效應(yīng)1014 最佳培養(yǎng)基配比方案1115 飛機票的預(yù)訂策略問題1216 競爭模型1217 基金使用的數(shù)學(xué)模型1218 沙漠行車問題1319 臺階設(shè)計中的建模問題1320 房產(chǎn)公司制定月建造計劃模型1321 農(nóng)場計劃模型1422 路燈安置優(yōu)化問題1523緊急調(diào)兵問題1524降落傘的選擇問題1525 人力資源調(diào)度的優(yōu)化模型1627 吸煙的危害及煙塵過濾問題1728人力資源規(guī)劃問題1729 投資的收益和風(fēng)險1830 屋檐水槽模型1931 航運公司的運輸調(diào)度問題1932 公務(wù)員招聘2033 籃球罰球投籃模型2134 洗盤子問題2135 衣服漂洗問題2136 大餃子能裝陷2237 水下爆炸問題2238 飲酒駕車模型2239 湖泊污染濃度預(yù)測模型2340 貨運公司收益問題2341 旅行者整體規(guī)劃模型2442 關(guān)于種群增長穩(wěn)定的數(shù)學(xué)建模2443 搶渡長江問題2444 貨幣增值問題2545 試卷的合理均衡分配2646 雨中行走問題2647 開放式基金的投資問題2648 排課方案2749 “最優(yōu)”的排課方案2850 “義利統(tǒng)一”問題2951 火箭運載衛(wèi)星2952 狐貍與野兔共生問題的數(shù)學(xué)模型2953 水庫排污問題3054 倒煤臺的操作方案3055 停車場安排問題的數(shù)學(xué)模型3156 露天采礦3157 乒乓球飛行軌跡問題3258 壓氣機葉片排序3259超額錄取留學(xué)生的策略3360 五個簡單的數(shù)學(xué)問題3361 三個簡單的數(shù)學(xué)問題3562 三個簡單的數(shù)學(xué)問題3563 四個簡單的數(shù)學(xué)問題3664 三個簡單的數(shù)學(xué)問題3765 五個簡單的數(shù)學(xué)問題3866 六個簡單的數(shù)學(xué)問題3967三個簡單的數(shù)學(xué)問題408 貨物托運問題4169 過河問題及洗衣問題4170航空公司經(jīng)營策略4171旅游路線安排計劃4172通勤車運營方案的優(yōu)化模型4273臺球技術(shù)4274多次反彈問題4275最佳乘車路線4276 最佳進貨策略4277臺球問題4378 冰山運輸4379. 狼追兔子4380 投產(chǎn)選擇4381 礦區(qū)選址4482 省時路線4483零件加工4484、水廠設(shè)立4485 截割方案4486、 投資決策4587、 生產(chǎn)安排4588、 最佳存款4589、 最優(yōu)聯(lián)網(wǎng)4590. 剎車距離4691 打樁深度4692 行李托運問題4693. 彩電生產(chǎn)4694強烈的碰撞4795人員疏散問題（集會安全問題）4796大地污染預(yù)報問題4797 風(fēng)和噴水池4898航空公司超員訂票4899 鋼管訂購和運輸48100空洞探測51101投資的收益和風(fēng)險52102 災(zāi)情巡視路線53103自動化車床管理55104鉆井布局55105煤矸石堆積56106制定月建造計劃57107潔具流水時間設(shè)計57108開放式基金的投資問題59109 游戲網(wǎng)站獎項設(shè)計60110 圓明園：該怎樣保護你61111：城市交通擁阻的分析與治理62112三峽工程陡高邊坡開挖優(yōu)化設(shè)計66113、DNA限制性圖譜的繪制68114、人力資源安排問題70115、中原城市群建設(shè)問題71116 學(xué)生評教的數(shù)據(jù)分析與處理71117 貨運公司的收益問題73118 道路改造項目中碎石運輸?shù)脑O(shè)計74119 公務(wù)員招聘75121 冷卻與熱傳導(dǎo)問題77122 斜坡上的均衡77123 公路交通量發(fā)展趨勢預(yù)測78124、服務(wù)機構(gòu)勞務(wù)安排的優(yōu)化設(shè)計78125高考志愿選擇策略80126 授課教師評估問題80127. 航空公司經(jīng)營策略80128 旅游路線安排計劃80129學(xué)生面試問題81130.臺球技術(shù)81131.通過轉(zhuǎn)角問題81132.最佳乘車路線82133抵押貸款買房問題82134： “南水北調(diào)”水的分配82135：游戲網(wǎng)站獎項設(shè)計84136：幾種查字典方式的比較85137： 最低生活保障問題85138： 多商品配送問題86139：轄區(qū)警務(wù)資源的合理配置和經(jīng)費的合理使用86140 學(xué)生在校期間的諸多投資與就業(yè)回報問題87141 下料問題87142. 板材切割問題88143 銀行復(fù)利問題88144 草地水量問題88145: 易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計89146 液體泄漏問題89147體能測試時間安排90148 體重及減肥問題90149 地下管線的鋪設(shè)91150 考試成績分布的合理性分析91151 網(wǎng)絡(luò)游戲?qū)η嗌倌甑挠绊?2152 投保理賠問題92153 最佳捕撈方案93154：生產(chǎn)過程的調(diào)度94155 機場安檢94156 種群生長規(guī)律及預(yù)測問題95157 追擊問題95158 圖像加密問題96159 觀測站的重組與優(yōu)化96160 最佳泄洪方案97161 地面搜索98162 市場拓展問題99163 生產(chǎn)決策與運輸問題99164 固定費用問題與指派問題100165 空中飛行安全設(shè)計101166 建造垃圾場問題102167 科學(xué)評判問題102168物資配送問題103169 考試日程安排問題105170 優(yōu)化問題及應(yīng)用舉例（由四個題目組成）107171野兔數(shù)量及生物共生競爭模型108172 銀行存款理財投資問題109173樹木最優(yōu)的砍伐輪種策略問題109174 貨機裝載貨物最優(yōu)策略問題110175 報童進貨策略問題110176 設(shè)備分配問題（指派問題）110數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練習(xí)題1761 面試時間最優(yōu)化問題有四名同學(xué)到一家公司參加三個階段的面試，公司要求每個同學(xué)都必須首先找公司秘書初試，然后到部門主管處復(fù)試，最后到經(jīng)理處參加面試，并且不容許插隊（即：在任何一個階段4名同學(xué)的順序是一樣的），由于4名同學(xué)的專業(yè)背景不同，所以沒人再三個階段的面試時間也不同，如下表所示： 這四名同學(xué)約定他們?nèi)棵嬖囃瓿梢院笠黄痣x開公司，假定現(xiàn)在時間是早晨8：00，問他們最早何時能離開公司？ （單位：分鐘） 秘書面試 主管復(fù)試 經(jīng)理面試 甲 13 15 20 乙 10 20 18 丙 20 16 10 丁 8 10 15參考答案：首先我們對給出的面試時間表格進行分析，用計算機編程算出任意兩個求職者按照不同的順序參加面試時，求職者等求職者的時間和考官等求職者的時間之和，然后用圖論法建模，將算出的時間表達有向賦權(quán)圖的權(quán)值，問題轉(zhuǎn)化成求有向賦權(quán)圖（圖1）中連接四個頂點的路徑最短問題。我們利用MATLAB編程，按從小到大的順序依次找出n-1（n表示參加面試的人數(shù)）條權(quán)值最小邊，然后用人工參與的方式，將找出的n-1條邊排出最優(yōu)順序。最后，得出丁、甲、乙、丙的順序為最優(yōu)方案，共用84分鐘。即：三人可在9：24一起離開公司2 疾病傳染及防治的數(shù)學(xué)建模問題隨著人類社會的不斷進步，衛(wèi)生設(shè)施的改善，醫(yī)療水平的提高，很多傳染性疾病例如：天花，霍亂等一些曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已得到很好的控制，但一些貧困的發(fā)展中國家仍會出現(xiàn)傳染病流行的現(xiàn)象，特別是一些新的傳染病毒（如SARS、禽流感等）的產(chǎn)生，將會帶來更多傳染病。如何建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病的蔓延，是我們控制傳染病傳播的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。由于不同類型的傳染性疾病具有不同的傳播的特點，并且它在傳染的過程中涉及的因素較多，如傳播途徑，人口的流動以及治愈后的是否會再被傳染都會對傳染病有較大的影響。有時還可考慮對疫區(qū)的易感染者進行注射，其中注射的覆蓋率考慮到健康人數(shù)及疾病蔓延發(fā)展程度。試分析傳播機理，探討發(fā)展變化情況及控制策略。3 高層寫字樓的電梯規(guī)劃每天早上，上班的一段時間內(nèi)，在一棟寫字樓上班的人們隨機地走進大樓，乘坐電梯到達各層；傍晚的一段時間內(nèi)，他們有從各自的樓層乘電梯到達底層。結(jié)果有幾臺電梯在高峰期每一層都要停下來上下一兩位乘客，這樣的浪費造成了高峰期嚴(yán)重的電梯擁擠。試建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，討論如何合理安排樓?nèi)電梯的服務(wù)樓層以改善這種擁擠狀況。4 學(xué)生食堂排隊分析本問題是為了解決如何使學(xué)生盡量減少排隊的時間就能打上飯菜。如果僅僅考慮增加食堂的窗口數(shù)來減少這個時間的話作為食堂方面來說是不愿意的，那樣就增加了他們的成本。而學(xué)生要求減少排隊等待時間，如何在兩者之間找到一個平衡是關(guān)鍵。5 流感疫苗接種的數(shù)學(xué)模型流感病毒有兩種菌種，現(xiàn)已研制成兩種疫苗。疫苗1對菌種1有85的預(yù)防效果，對菌種2有70的預(yù)防效果；疫苗2對菌種1有60的預(yù)防效果，對菌種2有90的預(yù)防效果。兩種疫苗不能在一個人身上同時使用。（1）為使盡可能多的居民具有免疫力，需要進一步了解那些信息？（2）為使盡可能多的居民具有免疫力，應(yīng)采取何種接種疫苗的策略？（3）在采取你所推薦的策略的情況下，估計有多少居民具有免疫力(平均的估計和最壞情況的估計）。6 失業(yè)與再就業(yè)的數(shù)學(xué)模型設(shè)計政府每月為每一位失業(yè)工人發(fā)放一定數(shù)量的失業(yè)救濟金，作為他們基本的生活保障。失業(yè)工人找工作時通常會在心里預(yù)先設(shè)定一個最低工資水平，若找到的工作其工資低于這個預(yù)先設(shè)定的最低工資水平，則放棄該工作，繼續(xù)尋找下一個工作，直至找到高于或等于預(yù)先設(shè)定的最低工資水平的工作為止。要求給出最低工資水平的決定條件，失業(yè)救濟金和最低工資水平的關(guān)系，并對失業(yè)工人找到滿意工作之前的平均等待時間（單位：月）做出合理的估計。7 垃圾運輸問題某城區(qū)有36個垃圾集中點，每天都要從垃圾處理廠（第37號節(jié)點）出發(fā)將垃圾運回。垃圾點的地理坐標(biāo)數(shù)據(jù)表如下圖：序號站點編號垃圾量T坐標(biāo)（km）序號站點編號垃圾量（Y）坐標(biāo)（km）XYXY111.503220151.40199221.501521321.20225330.555422221.80210441.204723231.40279560.850824241.601519651.3031125251.601514771.207926261.002017882.309627272.002113991.4010228281.00242010101.5014029292.10251611111.1017330301.20281812122.7014631311.9051213131.8012932211.30171614141.80101233331.6025715200.6071434341.2092016161.5021635351.5092017170.8061836361.30301218181.50111737370.000019190.801512現(xiàn)有一種載重6噸的運輸車。每個垃圾點需要用10分鐘的時間裝車，運輸車平均速度為40km/h(夜里運輸，不考慮塞車現(xiàn)象)；每臺車每日平均工作4小時。運輸車重載運費1.8元/噸公里；運輸車和裝垃圾用的鏟車空載費用0.4元/公里1 要投入多少輛運輸車，每臺車的行走路線，方案的運營總費用2 要投入多少輛鏟車，每臺鏟車的行走路線，鏟車的運營費用如果有載重量為4噸，6噸，8噸三種運輸車，應(yīng)該怎樣調(diào)度8 最優(yōu)捕魚策略模型為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)，林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益?？紤]對魚的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分4個年齡組，稱為1齡魚，2齡魚，3齡魚，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年齡組的自然死亡率為0.8（/年），這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.1091011（個），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比）為1.221011/（1.221011 + n）。漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)，下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.421。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。本題提出了兩個問題：（1）建立數(shù)學(xué)模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕撈（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）。（2）某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122，29.7，10.1，3.29（109條），如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。9 森林管理及其數(shù)學(xué)模型單株樹木的商品價值V是由該樹能夠生產(chǎn)的體積和質(zhì)量決定的。顯然V=V(t) 依賴于樹木的年齡t。假設(shè)曲線V(t)已知，c為樹木砍伐的成本。試給出砍伐樹木的最優(yōu)年齡，以能獲得最佳的利潤。如果再考慮森林輪種的問題，即一旦樹木從某一處砍倒，這塊土地便可以來種植新樹。假定各代輪種的周期長度相同，試建模討論最優(yōu)的砍伐輪種的森林管理策略問題（為資金的貼現(xiàn)率）。如果已知哥倫比亞Douglas松樹的凈立木價值V(t)-c 隨著樹齡的變化資料如下：t/年30405060708090100110120V(t)-c/美元04314330349765080591310001075試?yán)蒙鲜瞿Ｐ陀懻揇ouglas松樹的最優(yōu)砍伐輪種的問題。由題目給出的表格，求出最佳伐樹的年齡t*。再考慮輪種問題，考慮伐木的時間周期，求出每次伐木的年齡與樹木，以求能夠達到最大的利潤。10 再生資源的合理利用與開發(fā)策略生物植物都有再生能力，也有從生到老到死的現(xiàn)象。諸如空氣，塑料、廢鋼，石油，煤炭，天然氣及森林、魚類等是人類可利用的寶貴資源，有些資源在一定條件下還有二次開發(fā)利用潛力，有些資源不可再生（最終趨于枯竭），有些卻是可以再生的（只是不要過度開發(fā)），分析和研究某種再生資源的平衡機理及動力系統(tǒng)，解決當(dāng)前經(jīng)濟利益與可持續(xù)發(fā)展間的矛盾。11 水塔流量的估計某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量。面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最底水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位的時候停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約3h.水塔是一個高為12.2m，直徑為17.4m的正圓柱。按照設(shè)計。水塔水位降至約8.2m時，水泵自動啟動，水位升至約10.8m時水泵停止工作。下表是某一天的水位測量記錄（符號“/”表示水泵啟動），試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量。12 存貯問題的數(shù)學(xué)模型現(xiàn)代化的生產(chǎn)和經(jīng)營活動都離不開存貯，為了使生產(chǎn)和經(jīng)營活動有條不紊地進行，一般的企業(yè)總需要一定數(shù)量的貯備物資來支持。貯存問題是人類社會活動，特別是生產(chǎn)經(jīng)營活動中一個普遍存在的問題。物資的存貯，除了用來支持日常的生產(chǎn)經(jīng)營活動外有庫存的調(diào)節(jié)還可以滿足高于平均水平的需求，同時也可以防止低于平均水平的供給。此外，有時大批量物資的訂貨或利用物資季節(jié)性價格的波動，可能得到價格上優(yōu)惠，并且實際情況中物資還可能脫銷。存貯物資組要占用大量的資金、人力和物力，有時甚至造成資源的嚴(yán)重浪費。并且有時大量的庫存物資還會引起某些貨物劣質(zhì)化變質(zhì)，造成巨大損失。那么，一個企業(yè)究竟應(yīng)存放多少物資為最適宜呢？13 最佳廣告費用及其效應(yīng)某裝飾材料公司以每桶2元的價錢購進一批彩漆，為了盡快收回資金并獲得較多的贏利，公司經(jīng)理李先生打算做廣告，于是便找到廣告公司的王先生進行咨詢。李經(jīng)理認為，隨著彩漆售價的提高，預(yù)期銷售量將減少，并對此進行了估算（見表1）。他問王先生廣告有多大效應(yīng)。王先生說：“投入一定的廣告費后，銷售量將有一個增長，這由銷售增長因子來表示。例如，投入3萬元的廣告費，銷售增長因子為1.85，即銷售量將是預(yù)期銷售量的1.85倍。據(jù)經(jīng)驗，廣告費與銷售增長因子的關(guān)系有表2?！崩罱?jīng)理聽后，迫切想知道最佳廣告費和售價為多少時預(yù)期的利潤最大，試經(jīng)過計算給出解答。表1 售價與預(yù)期銷售量售價（元） 預(yù)期銷售量（千桶）2.00 412.50 38 3.00 343.50 324.00 294.50 285.00 255.50 226.00 20表2 廣告費與銷售增長因子廣告費（元） 銷售增長因子0 1.0010000 1.4020000 1.7030000 1.8540000 1.9550000 2.0060000 1.9570000 1.8014 最佳培養(yǎng)基配比方案某發(fā)酵實驗中培養(yǎng)基用原料碳源和氮源來生產(chǎn)IFN-（-干擾素），其中碳源（C1，C 2，C3）和氮源（N1，N2，N3，N4）的含量及IFN-（-干擾素）的產(chǎn)量的關(guān)系可由實驗數(shù)據(jù)表參考。如何選擇碳源和氮源的種類及含量使IFN-的產(chǎn)量達到最大，從而給出最佳培養(yǎng)基配比方案？數(shù)據(jù)表NO.C1C2C3N1N2N3N4rhIFN-10.10000.50011.690020.40000.50039.1297310000.50068.2035420000.50083.6580530000.50075.4200600.2000.50020.7360700.5000.50020.7417800.8000.50022.5836901.5000.50025.821310000.100.5005.624011000.500.50010.235712001.500.50014.590913002.500.50020.33461400000.5007.29601500000.50042.58801600000.50051.6000172000000165.5400182000.500072.000019200200054.900020200300042.8400212004000164.2500222005000138.0400232000000126.90002420000.50.5011.484025200022017.160026200033020.800027200044057.240028200055072.9600292000000.0117.6080302000000.0530.9400312000000.111.4750322000000.312.084015 飛機票的預(yù)訂策略問題在激烈的市場競爭中，航空公司為爭取更多的客源而開展的一個優(yōu)質(zhì)服務(wù)項目是預(yù)訂票業(yè)務(wù)。公司承諾，預(yù)先訂購機票的乘客如果未能按時前來登機，可以乘坐下一班機或退票，無需附加任何費用。當(dāng)然也可以訂票時只訂座，登機時才付款，這兩種辦法對于下面的討論是等價的。開展預(yù)訂票業(yè)務(wù)時，對于一次航班，若公司限制預(yù)訂票的數(shù)量恰好等于飛機的容量，那么由于總會有一些訂了機票的乘客不按時前來登機，致使飛機因不滿員飛行而利潤降低，甚至虧本。而如果不限制預(yù)訂票數(shù)量，那么當(dāng)持票按時前來登機的乘客超過飛機的容量時，必然會引起那些不能飛走的乘客的抱怨，公司不管以什么方式補救，也會導(dǎo)致聲譽受損和一定的經(jīng)濟損失，如客源減少，擠掉以后班機的乘客，公司無償供應(yīng)食宿，付給一定的賠償金等。所以航空公司需要綜合考慮經(jīng)濟利益和社會聲譽，確定預(yù)訂票數(shù)量的最佳限額?，F(xiàn)請你建立一個數(shù)學(xué)模型,應(yīng)如何確定發(fā)售機票的票數(shù),使公司,乘客雙方都比較滿意.16 競爭模型市場經(jīng)濟中有一條“正反饋循環(huán)”規(guī)律，也就是比爾蓋茨在其未來之路中津津樂道的正螺旋效應(yīng)，即“好的越好，而糟的越糟”，導(dǎo)致“贏家通吃”，這是類似于生態(tài)系統(tǒng)中種群競爭的一種模型，即馬太效應(yīng)。 人類社會生活中這樣的情況也是屢見不鮮，請你以兩個男生競爭一定量女生的好感為例，從數(shù)學(xué)上給出一點解釋。 17 基金使用的數(shù)學(xué)模型某大學(xué)基金使用計劃。某大學(xué)獲得了一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其投入到學(xué)校教學(xué)或科研中。經(jīng)行家分析，投入到科研上，這筆基金給學(xué)校帶來的年平均收益情況見下表1（譬如某人或科學(xué)組申請到此基金的一部分作為科研經(jīng)費，申請時間3個月，3個月期滿必須歸還校基金會）。假設(shè)投入到教學(xué)中，用于建設(shè)精品課程，分1年、3年、5年建設(shè)課程（建設(shè)期滿投入全部收回），行家估算，這筆基金給學(xué)校帶來的年平均收益見表2。?；饡媱澰趎年內(nèi)每年用部分收益獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額。請你幫助?；饡谌缦虑闆r下設(shè)計基金使用方案，并對M=100萬元，n=10年給出具體結(jié)果；(1) 只投入到科研上不投入到教學(xué)中；(2) 可投入到科研上也可投入到教學(xué)中；(3) 學(xué)校在基金到位后的第14年（2019年）要舉行建校100周年校慶，基金會希望這一年的獎金比其他年度多30%。種 類3個月6個月一 年二 年三 年五 年收益率%1.3681.5121.5481.8002.0162.232表1：科研基金年平均收益率（%）表2：教學(xué)基金年平均收益率（%）種 類一 年三 年五 年收益率%1.982.522.7918 沙漠行車問題某探險隊駕駛一越吉普車穿行2000km的大沙漠。除起點能得到足夠的汽油供應(yīng)外，行車途中的燃料供應(yīng)必須在沿途設(shè)立若干的儲油點，依靠自己運輸汽油來解決。該車在沙漠中行車平均每公里耗油0.25L，車載油箱及油桶總共只能裝載250L汽油。請設(shè)計一個最優(yōu)的行車方案，使行車耗油最少而通過沙漠。試根據(jù)實際情況進行推廣和評價。19 臺階設(shè)計中的建模問題臺階，樓梯是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷模焯煨凶叩慕ㄖY(jié)構(gòu)，良好的臺階設(shè)計不僅可以節(jié)省上樓時間，也可最大限度的減少體力消耗。然而，不合理的設(shè)計會使人們上樓時既費時又費力，甚至還會發(fā)生危險。所以我們不禁要問，怎樣設(shè)計臺階長度寬度比才能達到最優(yōu)呢？20 房產(chǎn)公司制定月建造計劃模型某著名房地產(chǎn)公司通過對歷史資料進行回歸分析（即數(shù)據(jù)擬合），并給合今年上半年可能出現(xiàn)的影響樓盤銷售的因素，預(yù)測該公司2005年上半年的銷售情況如下表所示：月份123456銷售量（套）423241672529 該公司的樓盤2004年12月的銷售均價為4000元/平方米，平均每套120平方米，今年上半年的售價保持不變。2004年12月末尚有49套現(xiàn)房未售出。商品房從規(guī)劃到售出會發(fā)生下列費用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指購地、機器設(shè)備的折舊）和可變成本（鋼材、水泥、裝飾材料和人工成本等，其中人工成本在可變成本中占到大約40%），按照2004年12月份的建材價格計算，可變成本（萬元）與商品房建造套數(shù)（以平均每套120平方米計算）的平方成正比，比例系數(shù)為0.5。且可變成本與建材價格上漲幅度有關(guān)，例如建材價格上漲10%，則可變成本是按前面方法計算結(jié)果的1.1倍。（2）銷售費用，與當(dāng)月的銷售金額成正比。（3）折舊，建造好的商品房未售出的必須計提折舊，折舊分40年平均攤銷，即該公司生產(chǎn)的商品房平均每套每月的折舊為48萬元/（40*12）=0.1萬元。 2004年以來，央行和發(fā)改委出臺了一系列措施平抑建材價格，但由于對建材需求結(jié)構(gòu)而言，總體上求大于供的市場狀況沒有得到根本改善，預(yù)計今年上半年建材的價格仍會有一定的增長。預(yù)計的增長速度（以2004年12月的價格為基準(zhǔn)）見下表：月份123456增長速度10%10%20%20%30%30% 該公司希望在上半年就把建造好的房屋全部銷售完，為使利潤最大化，需要制定出從2005年1月到6月每月的建造計劃（即每月完成多少套，以平均每套120平方米計算）。（1）如果公司的月建造能力沒有限制，并且允許期房（即尚未建好的房屋）銷售，但在6月底前要全部完成交房，如何制定月建造計劃？（2）如果公司每月的建造能力限于33套（以平均每套120平方米計算），并且允許期房（即尚未建好的房屋）銷售，但在6月底前要全部完成交房，又該如何制定月建造計劃？21 農(nóng)場計劃模型某農(nóng)場主有200英畝土地的農(nóng)場，用來飼養(yǎng)奶牛。先要為五年制定生產(chǎn)計劃。現(xiàn)在他有120頭母牛，其中20頭為不到2歲的幼牛，100頭為產(chǎn)奶牛，但他手上已無現(xiàn)金，且欠別人帳20000英鎊需盡早用利潤歸還。每頭幼牛需用2/3英畝土地供養(yǎng)，每頭奶牛需用1英畝。產(chǎn)奶牛平均每頭每年生1.1頭牛，其中一半為公牛，出生后不久即賣掉，平均每頭賣30英鎊；另一半為奶牛，可以在出生后不久賣掉，平均每頭40英鎊，也可以留下飼養(yǎng)，養(yǎng)成2歲成產(chǎn)奶牛。幼牛年損失5%；產(chǎn)奶牛年損失2%。產(chǎn)奶牛養(yǎng)到滿12歲就要賣掉，平均一頭賣120英鎊 ?，F(xiàn)有20頭幼牛中，0歲和1歲各10頭；100頭奶牛中，從2歲至11歲各有10頭；應(yīng)該賣掉的小牛都已賣掉。所由20頭都要飼養(yǎng)成奶牛。 一頭牛所產(chǎn)的奶提供年收入370英鎊?，F(xiàn)在最多只能養(yǎng)160頭牛，超過此數(shù)每多養(yǎng)一頭牛，每年要多花費90英鎊。每頭產(chǎn)奶牛每年消耗0.6噸糧食和0.7噸甜菜。糧食和甜菜可以由農(nóng)場種植出來。每英畝產(chǎn)甜菜1.5噸。只有80英畝的土地適合于種糧食，且產(chǎn)量不同。按產(chǎn)量可分作4組：第一組20英畝，畝產(chǎn)1.1噸。第二組30英畝，畝產(chǎn)0.9噸；第三組20英畝，畝產(chǎn)0.8噸；第四組10英畝，畝產(chǎn)0.65噸。從市場購糧時每噸90英鎊，賣糧食每噸75英鎊；賣甜菜每噸70英鎊，賣甜菜每噸50英鎊。養(yǎng)牛和種植所需勞動量為：每頭牛每年10小時；每頭產(chǎn)奶牛每年42小時；種一英畝糧食每年需4小時；種一英畝天才每年需14小時。 其他費用：每頭幼牛每年50英鎊；產(chǎn)奶牛每頭每年100英鎊；種糧食每畝每年15英鎊；種甜菜每畝每年10英鎊；勞動費用現(xiàn)在每年為6000英鎊，提供5500小時的勞動量。超過此數(shù)的勞動量每小時費用為1.80英鎊。 貸款年率為10%，每年貨幣的收支之差不能為負值。此外，農(nóng)場主不希望產(chǎn)奶牛地數(shù)目在五年末較現(xiàn)在減少超過50%,也不希望增加超過75%。應(yīng)如何安排5年的生產(chǎn)，使收益最大？22 路燈安置優(yōu)化問題 目前大多數(shù)公共場所都安裝了路燈，路燈的高度和路燈之間的間距一般是依靠經(jīng)驗進行設(shè)置的，并沒有從優(yōu)化的角度進行考慮。在能源日益緊張的今天，我們應(yīng)該考慮怎樣盡可能的節(jié)約能源和滿足人們生活的需要，在大多數(shù)的公共場所安裝了路燈是要考慮許多因素的， 不僅僅為了安全，重要的是為了節(jié)約能源。并且如果作為校園整體設(shè)計的一部分，路燈的安排也直接影響到學(xué)校環(huán)境,對于夜晚校園環(huán)境的烘托具有非常重要的意義。23緊急調(diào)兵問題由于軍事上的需要，需將甲地n名戰(zhàn)斗人員（不包括駕駛員）緊急調(diào)往乙地，但是由于運輸車輛不足，m輛車無法保證每個戰(zhàn)斗人員都能同時乘車，顯然，部分戰(zhàn)斗人員乘車，部分戰(zhàn)斗人員急行軍是可行的方案。設(shè)每輛車載人數(shù)目相同，只有一條道路，但足以允許車輛，人員同時進行，請制定一個調(diào)運方案，能最快地實現(xiàn)兵力調(diào)運，并證明方案的最優(yōu)性。24降落傘的選擇問題為向災(zāi)區(qū)空投一批救災(zāi)物資，共2000kg，需選購一些降落傘，已知空投高度為500m，要求降落傘落地時的速度不能超過20米每秒，降落傘的傘面為半徑為r的半球面，用每根長L共16根繩索連接的重m位于球心正下方球面處，如下圖： 每個降落傘的價格由三部分組成。傘面費用由傘的半徑r決定，見下表；繩索費用由繩索總長度及單價4元/米決定，固定費用為200元。r22.533.54C1651703506601000 降落傘在降落過程中除受到重力外，受到空氣的阻力，可以認為與降落的速度和傘的面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用的半徑，載重的降落傘從高度作降落試驗，測得各個時刻的高度，見下表。t(s)0 36912151821242730x(m)500470425372317264215160108551試確定降落傘的選購方案，即共需多少個傘，每個傘的半徑多大(在給定的半徑的傘中選)，在滿足空投要求的條件下，使費用最低。25 人力資源調(diào)度的優(yōu)化模型表1 公司的人員結(jié)構(gòu)及工資情況高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員人 數(shù)日工資（元）925017200101705110目前，公司承接有4個工程項目，其中2項是現(xiàn)場施工監(jiān)理，分別在A地和B地，主要工作在現(xiàn)場完成；另外2項是工程設(shè)計，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完成。由于4 個項目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不一，因此，各項目的合同對有關(guān)技術(shù)人員的收費標(biāo)準(zhǔn)不同，具體情況如表2所示。表2 不同項目和各種人員的收費標(biāo)準(zhǔn)高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員收費（元/天）ABCD1000150013001000800800900800600700700700500600400500為了保證工程質(zhì)量，各項目中必須保證專業(yè)人員結(jié)構(gòu)符合客戶的要求，具體情況如表3 所示：表3：各項目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求ABCD高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員總計1322110252231622211112281-18說明：l 表中“13”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“”符號的同理；l 項目D，由于技術(shù)要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術(shù)員不能參加；l 高級工程師相對稀缺，而且是質(zhì)量保證的關(guān)鍵，因此，各項目客戶對高級工程師的配備有不能少于一定數(shù)目的限制。各項目對其他專業(yè)人員也有不同的限制或要求；l 各項目客戶對總?cè)藬?shù)都有限制；l 由于C、D兩項目是在辦公室完成，所以每人每天有50元的管理費開支。由于收費是按人工計算的，而且4個項目總共同時最多需要的人數(shù)是10+16+11+18=55，多于公司現(xiàn)有人數(shù)41。因此需解決的問題是：如何合理的分配現(xiàn)有的技術(shù)力量，使公司每天的直接收益最大？并寫出相應(yīng)的論證報告。26 雷達測船模型海面上一輪船沿直線勻速前行，速度為30公里/小時，船上有一雷達可用來測距、測角，船長關(guān)心的是周圍目標(biāo)那些是活動的船，那些是不動的巖石，若是活動的船，請按下面假設(shè)，分析有關(guān)因素，給出船的運動方向和速度。1、若船上雷達測距、測角是準(zhǔn)確的，請你給出你的結(jié)論。2、若船上雷達測距、測角是有誤差，請你給出你的結(jié)論。3、進一步的問題： （1）、誤差怎樣表述更合理？ （2）、有關(guān)數(shù)據(jù)和誤差怎樣時，你難于下結(jié)論？ 4、若船長40分鐘前測得一目標(biāo)距離 d1=50公里，與本船前進方向成 a1=80 度角，現(xiàn)測得此目標(biāo)距離 d2=75公里，與本船前進方向成 a2=105 度角，請給出你的結(jié)論。27 吸煙的危害及煙塵過濾問題香煙的過濾嘴有多大作用？與使用的材料和長度關(guān)系如何？請自己建模分析這一問題，并對模型進行評價、改進。28人力資源規(guī)劃問題某民營企業(yè)正經(jīng)歷一系列變化，這要影響到企業(yè)未來幾年的人力資源安排。由于企業(yè)裝備了新機器，對不熟練工的需求相對減少，對熟練工和半熟練工的需求相對增加；同時，預(yù)計下一年度的貿(mào)易量將下降，從而減少對各類人力的需求?，F(xiàn)有人數(shù)及對未來三年人力需求的估計數(shù)如下： 分類不熟練工半熟練工熟練工 現(xiàn)有人數(shù)20001600 1000 第一年需求10001500 1000 第二年需求500 2000 1500 第三年需求0 500 2000 因工人自動離職和其他原因，存在自然減員問題。有不少人在受雇后干不滿一年就自動離職；干滿一年后，離職的情況就減少了?？紤]到這一因素，設(shè)自然減員率如下： 分類 不熟練工半熟練工熟練工 工作不滿一年25% 20% 10% 工作一年以上8% 5% 5% 若現(xiàn)在沒有招工，所有的現(xiàn)有工人都是已受雇一年以上。對于招工、再培訓(xùn)、解雇、超員雇用，有以下的說明： 關(guān)于招工 每年能新招的各類人數(shù)：熟練工和不熟練工各不超過500人，半熟練工不超過800人。 關(guān)于再培訓(xùn)每年可培訓(xùn)200名不熟練工成為半熟練工，每培訓(xùn)一名的費用開支為400元。培訓(xùn)半熟練工成為熟練工，培訓(xùn)一名開支為500元；培訓(xùn)人數(shù)不超過所訓(xùn)崗位當(dāng)時熟練工人數(shù)的四分之一。可以將工人降低熟練等級使用，這雖然不需要企業(yè)支付什么費用，但這樣的工人有50%將離職（這一減員要另外加到上述的自然減員上）。 關(guān)于解雇解雇一名不熟練工需支付他300元。解雇一名半熟練工或熟練工需支付他600元。 關(guān)于超員雇用整個企業(yè)可超需要多雇用150人。額外費用每人每年為：不熟練工1500元；半熟練工2000元；熟練工3000元。 問題：（1）確定未來三年招工，人員培訓(xùn)，解雇和超員雇用的決策方案，使企業(yè)達到解雇人數(shù)最少的目標(biāo)；（2）確定未來三年招工，人員培訓(xùn)，解雇和超員雇用的決策方案，使企業(yè)達到費用最少的目標(biāo)；（3）比較問題（1）（2）的費用，計算出問題（2）能節(jié)省多少費用？并導(dǎo)出每年每類崗位所節(jié)省的費用。29 投資的收益和風(fēng)險市場上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、）Si ( i=1,n) 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個時期的投資。公司財務(wù)分析人員對這n種資產(chǎn)進行了評估，估算出在這一時期內(nèi)購買Si的平均收益率為，并預(yù)測出購買Si的風(fēng)險損失率為?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時，總體風(fēng)險可用所投資的Si中最大的一個風(fēng)險來度量。購買Si要付交易費，費率為，并且當(dāng)購買額不超過給定值時，交易費按購買計算（不買當(dāng)然無須付費）。另外，假定