高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 數(shù)學(xué)中的形而上學(xué) 從廣東理數(shù)題淺談曲線相切和判別式的關(guān)系.doc

數(shù)學(xué)中的形而上學(xué)從廣東理數(shù)題淺談圓錐曲線相切與判別式的關(guān)系同學(xué)們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)里面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以聯(lián)立直線與曲線，轉(zhuǎn)化一元二次方程，通過(guò)來(lái)判定。如果0,則直線與曲線相交；=0，直線與曲線相切；0,直線與曲線相離。而不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓錐曲線方程也能通過(guò)代換的方法的到一個(gè)一元二次方程，那么在判斷曲線與曲線位置關(guān)系的時(shí)候也能否能采取轉(zhuǎn)化為二元一次方程判別式的方法來(lái)解決呢？下面，我們通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)探討以上的想法。12年廣東高考理數(shù)第20題第（1）問(wèn)：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓c1：的離心率e= ，且橢圓c上的點(diǎn)到q（0，2）的距離的最大值為3.（1）求橢圓c的方程；我們先來(lái)看到正確解法：解：（1）由得，橢圓方程為橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)q的距離當(dāng)即,得當(dāng)即,得（舍） 橢圓方程為以上解法，利用兩點(diǎn)之間距離公式，然后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)知識(shí)求解。但是有同學(xué)會(huì)猜想如果以點(diǎn)q（0，2）為圓心作半徑為3的圓，根據(jù)題意可知，此圓應(yīng)該是會(huì)與橢圓c1相切的,然后可以通過(guò)判別式=0，把橢圓的參數(shù)求解出來(lái)。如果假想成立，那么運(yùn)算會(huì)比以上提供的正確答案要來(lái)得簡(jiǎn)單。于是，有同學(xué)可能會(huì)提出以下的解法:解：以以點(diǎn)q（0，2）為圓心,3為半徑作圓，得: x2+(y-2)2=9又橢圓的離心率e=, c2a2=23 ，從而a2=3b2于是聯(lián)立方程組： x2+(y-2)2=9 x23b2+y2b2=1 代入： 9-y-223b2+y2b2=1由=0 ,解得b2=1 橢圓方程為看起來(lái)兩種解法會(huì)得到的結(jié)果相同，那么我們是否能認(rèn)為兩種解法都是正確的呢？是否就能斷定由=0就能得到兩曲線相切？往往這種考題，會(huì)讓這些有想法的學(xué)生進(jìn)入“安樂(lè)死”階段，以為只要是相切，就只有一根，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)=0來(lái)求解。這就犯了哲學(xué)中形而上學(xué)的錯(cuò)誤。至于為什么說(shuō)這是一個(gè)錯(cuò)誤，請(qǐng)同學(xué)們看下面的例子：1. 判斷拋物線y2=6x 與圓(x-2)2+y2=3 的位置關(guān)系.聯(lián)立方程組 y2=6x (x-2)2+y2=3 代入消去y得：x2+2x+1=0此時(shí)顯然=0.但是我們通過(guò)作圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中的拋物線和圓根本沒(méi)有交點(diǎn). 于是不難發(fā)現(xiàn)，由=0并不能得到兩曲線相切。那么反過(guò)來(lái)，由兩曲線相切是否能得到=0呢？于是我們可以再舉一些例子來(lái)判斷：2. 求曲線y2=x-1與曲線(x+1)2+y2=4 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù). 通過(guò)作圖，可以發(fā)現(xiàn)兩曲線的公共點(diǎn)有1個(gè)。 但要是聯(lián)立方程： y2=x-1 (x+1)2+y2=4 代入消y得：x2+3x-4=0,明顯地0.于是，兩曲線相切也并不能得到=0.到這里大家應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)，在一開(kāi)始的我們提到的12年廣東理數(shù)題中，后一種解法的解答過(guò)程顯示是不正確的了。至于為什么采用判別式的方法會(huì)得到與答案相同的結(jié)果，筆者認(rèn)為這只是一種巧合，實(shí)際上我們只要把q點(diǎn)位置由y軸移到x軸，就會(huì)有不一樣的結(jié)果，請(qǐng)看下面一個(gè)例子：3. 求點(diǎn)p(3,0)到橢圓 x24+y2=1的最短距離.通過(guò)畫圖，顯然最短距離為pq=1然而如果要算,則假設(shè)以p(3,0)為圓心的圓的方程為：(x-3)2+y2=r2聯(lián)立方程： (x-3)2+y2=r2 x24+y2=1 此時(shí)如果再算=0,得到的結(jié)果讓人很遺憾，會(huì)是r2=-2.從而再次驗(yàn)證了圓錐曲線與圓錐曲線是否相切，與判別式是否等于0毫無(wú)關(guān)系。通過(guò)以上的例子希望能引起同學(xué)們的注意，=0只適用于判斷直線與