高中數(shù)學(xué) （1.1.3 解三角形的進(jìn)一步討論）示范教案 新人教A版必修5.doc

1.1.3解三角形的進(jìn)一步討論從容說課本節(jié)課中，應(yīng)先通過分析典型例題，幫助學(xué)生理解并掌握正弦定理和余弦定理；應(yīng)指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然但解題的時(shí)候，應(yīng)有最佳選擇教學(xué)過程中，我們應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問題進(jìn)行歸類，列表如下：解斜三角形時(shí)可用的定理和公式適用類型備注余弦定理a2=b2+c2-2bccosab2=a2+c2-2accosbc2=b2+a2-2bacosc（1）已知三邊（2）已知兩邊及其夾角類型（1）（2）有解時(shí)只有一解正弦定理（3）已知兩角和一邊（4）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角類型（3）在有解時(shí)只有一解，類型（4）可有兩解、一解或無解三角形面積公式（5）已知兩邊及其夾角同時(shí)應(yīng)指出，在解斜三角形問題時(shí)，經(jīng)常要利用正弦、余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化的主要途徑有兩條：（1）化邊為角，然后通過三角變換找出角與角之間的關(guān)系，進(jìn)而解決問題；（2）化角為邊，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題加以解決一般地，當(dāng)已知三角形三邊或三邊數(shù)量關(guān)系時(shí)，常用余弦定理；若既有角的條件，又有邊的條件，通常利用正弦定理或余弦定理，將邊化為角的關(guān)系，利用三角函數(shù)公式求解較為簡(jiǎn)便總之，關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用定理及公式教學(xué)重點(diǎn)1.在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)1.利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向;2.三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求；3.正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用教具準(zhǔn)備 投影儀、幻燈片第一張:課題引入圖片(記作113a)正弦定理:；余弦定理:a2=b2+c2-2bccosa,b2=c2+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abcosc，, ,.第二張:例3、例4(記作113b) 例3已知abc, bd為角b的平分線,求證: abbcaddc. 例4在abc中,求證:a2sin2b+b2sin2a=2absinc.第三張:例5(記作113c) 例5在abc中,bcosa=acosb,試判斷三角形的形狀.三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應(yīng)用二、過程與方法通過引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題三、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過正、余弦定理，在解三角形問題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 前面兩節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的內(nèi)容,并且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關(guān)題型.下面,我們先來回顧一下正、余弦定理的內(nèi)容 (給出幻燈片1.1.3a).從幻燈片大體可以看出,正弦定理、余弦定理實(shí)質(zhì)上反映了三角形內(nèi)的邊角關(guān)系,運(yùn)用定理可以進(jìn)行邊與角之間的轉(zhuǎn)換,這一節(jié),我們將通過例題分析來學(xué)習(xí)正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在判斷三角形形狀和證明三角恒等式時(shí)的應(yīng)用.推進(jìn)新課思考：在abc中，已知a=22cm，b=25cm,a=133，解三角形（由學(xué)生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)無解的情形下面進(jìn)一步來研究這種情形下解三角形的問題【例1】在abc中，已知a,b,a，討論三角形解的情況.師 分析：先由可進(jìn)一步求出b；則c =180-(a+b),從而.一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況1.當(dāng)a為鈍角或直角時(shí)，必須ab才能有且只有一解；否則無解2.當(dāng)a為銳角時(shí)，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若absina，則有兩解；（2）若a=bsina，則只有一解；（3）若absina，則無解（以上解答過程詳見課本第9到第10頁）師 注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)a為銳角且bsinaab時(shí)，有兩解；其他情況時(shí)則只有一解或無解（1）a為直角或鈍角（2）a為銳角【例2】在abc中，已知a =7,b=5,c =3，判斷abc的類型分析：由余弦定理可知a2=b2+c2a是直角abc是直角三角形，a2b2+c2a是鈍角abc是鈍角三角形，a2b2+ca是銳角/abc是銳角三角形。（注意：a是銳角/ abc是銳角三角形 ）解：7252+32,即a2b2+c2，abc是鈍角三角形 教師精講1利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）2正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化例如：在判斷三角形形狀時(shí)，經(jīng)常把a(bǔ)、b、c分別用2rsina、2rsinb、2rsinc來代替3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判斷三角形的形狀，它的主要功能是實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化（1）已知三邊，求三個(gè)角（2）已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角4用方程的思想理解和運(yùn)用余弦定理，當(dāng)?shù)仁絘2=b2+c2-2bccosa中含有未知數(shù)時(shí)，這便成為方程，式中有四個(gè)量，知道三個(gè)，便可以解出另一個(gè)，運(yùn)用此式可以求a或b或c或cosa師 下面,我們來看幻燈片上的例題.(給出幻燈片1.1.3b)例題剖析【例3】分析：前面接觸的解三角形問題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問題,而角b的平分線bd將abc分成了兩個(gè)三角形：abd與cbd,故要證結(jié)論成立,可證明它的等價(jià)形式: abbcaddc,從而把問題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi),而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比,故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為,再根據(jù)相等角正弦值相等,互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明:在abd內(nèi),利用正弦定理得,即,在bcd內(nèi),利用正弦定理得,即,bd是角b的平分線,abd=dbcsinabd=sindbc.adb+bdc=180,sinadb=sin(180-bdc)=sinbdc.評(píng)述:此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用.例題剖析【例4】分析:此題所證結(jié)論包含關(guān)于abc的邊角關(guān)系,證明時(shí)可以考慮兩種途徑:一是把角的關(guān)系通過正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,若是余弦形式則通過余弦定理;二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,一般是通過正弦定理.另外,此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式,如sin2b=2sinbcosb等,以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.證明一: (化為三角函數(shù))a2sin2b+b2sin2a=(2rsina)22sinbcosb+(2rsinb)22sinacosa=8r2sinasinb(sinacosb+cosasinb)=8r2sinasinbsinc =22rsina2rsinbsinc=2absinc.所以原式得證.證明二: (化為邊的等式)左邊=a22sinbcosb+b22sinacosa= = 教師精講由邊向角轉(zhuǎn)化,通常利用正弦定理的變形式:a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc,在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后,要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用,在此題用到了正弦二倍角公式sin2a=2sinacosa,正弦兩角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinb;由角向邊轉(zhuǎn)化,要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.三角形的有關(guān)證明問題,主要圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開,從某種意義上來看,這類問題就是有了目標(biāo)的含邊和角的式子的化簡(jiǎn)問題.【例5】分析:三角形形狀的判斷,可以根據(jù)角的關(guān)系,也可根據(jù)邊的關(guān)系,所以在已知條件的運(yùn)用上,可以考慮兩種途徑,將邊轉(zhuǎn)化為角,將角轉(zhuǎn)化為邊,下面,我們從這兩個(gè)角度進(jìn)行分析. 解法一:利用余弦定理將角化為邊.bcosa=acosb,.b2+c2-a2=a2+c2-b2.a2=b2.a=b.故此三角形是等腰三角形.解法二:利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.bcosa=acosb,又b=2rsinb，a=2rsina,2rsinbcosa=2rsinacosb.sinacosb-cosasinb=0.sin(a-b)=0.0a,b,-a-b.a-b=0,即a=b.故此三角形是等腰三角形.評(píng)述: (1)在判定三角形形狀時(shí),一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形,一個(gè)方向是邊,走代數(shù)變形之路,通常是正、余弦定理結(jié)合使用;另一方向是角,走三角變形之路,通常是運(yùn)用正弦定理.要求學(xué)生要注重邊角轉(zhuǎn)化的橋梁正、余弦定理.(2)解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式,但應(yīng)注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí),一定要先確定角的范圍.另外,也可運(yùn)用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系,在等式sinbcosa=sinacosb兩端同除以sinasinb,得cota=cotb,再由0a,b,而得a=b.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),我們熟悉了正、余弦定理在進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時(shí)的橋梁作用,并利用正、余弦定理對(duì)三角恒等式進(jìn)行證明以及對(duì)三角形形狀進(jìn)行判斷,其中,要求大家重點(diǎn)體會(huì)正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能.（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形形狀的判定方法.布置作業(yè)1.在abc中,已知,求證: a2、b2、c2成等差數(shù)列.證明: 由已知得sin(b+c)sin(b-c)=sin(a+b)sin(a-b),cos2b-cos2c=cos2a-cos2b,2cos2b=coos2a+cos2c,2=2sin2b=sin2a+sin2c.由正弦定理,可得2b2=a2+c2,即a2、b2、c2成等差數(shù)列.2.在abc中,a=30,cosb=2si