（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）遞歸序列與schur函數(shù)recurrent+sequences+and+schur+functions.pdf

遞歸序列與s c h u r 幽數(shù) 穆彥平 摘要 對稱函數(shù)理論在許多數(shù)學(xué)分支中具有重要的應(yīng)用 例如組合計數(shù) 群論 李代數(shù) 代數(shù)幾何等 s c h u r 函數(shù)是一類最重要的對稱函數(shù) 起著核心作用 v a n d e r m o n d e 行列式在對稱函數(shù)理論中也占有重要的地位 在證明 驗證時非 常有用 同時 對稱函數(shù)理論與遞歸序列理論之間的相互聯(lián)系給我們提供了一 個強有力的工具 參見f 5 1 和f 6 1 本文通過對l a s c o u x 教授的v a n d e r m o n d e 行列式與s c h u r 函數(shù)關(guān)系等式證明過程的研究 以及隨后講授的遞歸序列的 定義 建立了一類特殊的行列式 稱之為 遞歸行列式 與 c h u r 函數(shù)之間 的聯(lián)系 其中遞歸行列式是指行列式的行向量或列向量是一些不同的遞歸序 列 但這些序列具有相同的特征多項式 本文證明了下標(biāo)相同的遞歸行列式 和s c h u r 函數(shù)是成比倒的 因此 可以用對稱函數(shù)研究遞歸行列式 反之亦 然 本文共分為五節(jié) 簡介如下 第一節(jié)介紹了對稱函數(shù)和遞歸序列的一些基本概念 第二節(jié)給出了s e h u r 函數(shù)和遞歸行列式的關(guān)系公式 定理2 2 推論 24 這一關(guān)系是本文的基礎(chǔ) 由此可以得到若干關(guān)于s c h u r 函數(shù)的有趣的 等式 例如s c h u r 函數(shù)的經(jīng)典定義和s c h u r 函數(shù)乘積公式 第三節(jié)給出了s c h u r 函數(shù)與混合遞歸行列式的關(guān)系 推論3 2 令人驚 奇的是混合遞歸行列式之比與前m 行無關(guān) 第四節(jié)通過將由完全對稱函數(shù)組成的遞歸序列擴(kuò)展到負(fù)指數(shù)方向 引理 41 給出了s c h u r 函數(shù)的推廣定義 j 得到了s c h u r 函數(shù)與 的 關(guān)系公式 性質(zhì)43 并對 j 做了進(jìn)一步的研究 得到 些與第二節(jié)類 似的結(jié)論 最后還導(dǎo)出了 jj 的分解公式和s k e w 形式 性質(zhì)4 6 第五節(jié)給出了一些與對稱函數(shù)的p i e t h y s m 有關(guān)的遞歸序列 例如新序列 特征多項式的根是原來特征多項式的根的齊次冪 從而給出了構(gòu)造新遞歸序 列的一種方法 定理5 1 關(guān)鍵詞遞歸序列 持征多項式 s c h u r 函數(shù) 遞歸序列與s c h u r 函數(shù)穆彥平 a b s t r a c t t h et h e o r yo fs y m m e t r i cf u n c t i o t t sh a su l a n ya p p l i c a t i o n st oe n u n l e r a t i v e c o m b i n a t o r i c s a sw e l la st os u c ho t h e rb r a n c h e so fm a t h e m a t i c sa sg r o u pt h e o r y l i ea l g e b r a s a n da l g e b r a i cg e o m e t r yak i n do fi m p o r t a n ts y m m e t r i cf u n c t i o n s i ss c h u rf u n c t i o n s w h i c ha c t sa sak e yr o l e v a n d e r m o n d ed e t e r m i n a n ta l s op l a y s a ni m p o r t a n tr o l e w h i c hi sv e r yu s e f u li np r o v i n ga n dc h e c k i n ga tt h es a m e t i m e t h ei n t e r p l a yo ft h et h e o r yo fs y m m e t r i cf u n c t i o n sa n dt h et h e o r yo fr e c u r r e n ts e q u e n c e sp r o v i d e su sn p o w e r f u lt o o l c f f 5 a n df 6 i nt h i st h e s i s w es e t u pt h ec o n n e c t i o nb e t w e e ns c h u rf u n c t i o n sa n dd e t e r m i n a n t sf c a l l e d 他c t n d e t e r m i n a n t s w h o s e e n t r i e sa r ee l e m e n t so fd i f i e r e n tr e c u r r e n ts e q u e n c e sh a v i n g s a m ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l t h i si d e ad e r i v e sf r o ms t u d y i n gt h ep r o o fo f t h ee q u a t i o nb e t w e e nv a n d e r m o n d ed e t e r m i n a n ta n ds c h u rf u n c t i o n sg i v e nb y p r o f e s s o rl a s c o u x w es h o wt h a tr e c u r r e n td e t e r m j d a n t sa r ep r o p o r t i o n a lt o s c h u rf u n c t i o n sw i t ht h es a n l ei n d i c e s t h u s o n ec a nu s es y m m e t r i cf u a c t i o n s t om a n i p u l a t er e c u r r e n td e t e r m i n a n t s a n dv i c ev e r s at h i st h e s i sc o n t a i n sf i v e s e c t i o n s s e c t i o n1i n t r o d u c e ss o m ed e f i n i t i o n so fs y m m e t r i cf u n c t i o n sa n dr e c u r r e n t s e q u e n c e s s e c t i o n2 p r o v i d e st w of o r m u l a s b e t w e e ns c h u rf u n c t i o n sa n dr e c u r r e n t d e t e r m i n a n t s t h e o r e m2 2 c o r o l l a r y2 4 t h e s e a r et h eb a s i cr e l a t i o n so f t h i st h e s i sf r o mt h e s er e l a t i o n s o n ec a l lo b t a i ns o m ei n t e r e s l a i n ge q u a t i o n s a b o u ts c h u rf u n c t i o n ss u c ha st h ec l a s s i c a ld e f i n i t i o no fs c h u rf u n c t i o n sa n d t h ep r o d u c to ft w os c h u r u n c t i o n s s e c t i o n3p r o v i d e st h er e l a t i o n o fs c h u rf u n c t i o n sa n dm i x e dr e c u r r e n t d e t e r m i n a n t s c o r o l l a r y32 1 t oo n e ss u r p r i s e t h er a t i oo ft w om i x e dr e c u r r e n t d e t e r m i n a n t si si n d e p e n d e n to ft h ef i r s tmr o w s s e c t i o n4p r o v i d e sn e wd e t e r m i n a n t a le x p r e s s i o n so f s c h u rf u n c t i o n s j b yp r o l o n g i n g t h es e q u e n c e o fc o m p l e t e f u n c t i o n s t on e g a t i v e i n d i c e s l e m m a 4 1 a tt h e8 a l i l et i m ew e g i v ee q u a t i o n sb e t w e e ns c h u rf u n c t i o n sa n d p r o p o s i t i o n4 3 m o r e o v e r w es t u d y ji nm o r ed e t a i l a n do b t a i ns o m er e s u l t s s l i n i l a rt os e c t i o n2 f i n a l l y t h ef a c t o r i z a t i o na n ds k e wf o r m u l ao f j a r e o b t a i n e d p r o p o s i t i o n4 6 s e c t i o n5g i v e ss o m er e c u r r e n ts e q u e n c e sa s s o c i a t e dt op l e t h y s mo fs y m m e t r i cf u n c t i o n s f o re x a m p l ew i t hc h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lh a v i n gr o o t st h e s n o r ep o w e r so ft h er o o t so ft h eo r i g i n a lc h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l t h e r e f o r e t h em e t h o dc o n s t r u c t i n gan e wr e c u r r e n ts e q u e n c ei sg i v e n t h e o r e m5 1 遞歸序列與s c h u r 函數(shù)穆彥平 k e y w o r d s r e c u r r e n ts e q u e n c e c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l s c h u rf u n c t i o n s 壟塑堡型皇主生竺 墮r 一 壁墾 1 d e f i n i t i o na n dn o t a t i o n w es h a j lh a n d l ef u n c t i o n so nd i f f e r e n t s e t so fi n d e t e r m i n a t e s c a l l e d l p h a b e t s t h o u g hw es h a l lm o s t l yu s ec o m m u t a t i v ei n d e t e r m i n a t e s a d d i t i o no f 8 l p h a b e t si st h ed i s j o i n tu n i o nt h a tw es h a l ld e n o t eb y a s i g n a o b 6 a b u 6 a s y m m e t r i cf u n c t i o no fa na l p h a b e tai saf u n c t i o no ft h el e t t e r sw h i c hl s n v a r i a n tu n d e rp e r m u t a t i o no ft h el e t t e r so fa t h e s i m p l e rs y m m e t r i cf u n c t i o n sa r eb e s td e f t i l e dt h r o u g h g e n e r a t i n gf u n c 一 i o sw es h a l lf o l l o w 6 lr a t h e rt h a n f r l e x c e p ti nt h ep r o g r a m s p a r 8 9 r a p h s b e g i n n i n gw i t ha c e a n du s i n gt y p e w r i t e rc h a x a c t e r s t a k i n ga ne x t r ai n d e t e r m i n a t ez o n eh a st h r e ef u n d a m e n t a ls e r i e s 吲 n 1 一 以 a q 高 吲 啪 1 a e a 口 a 1 e a t h ee x p a n s i o no fw h i c hg i v e st h e e l e m e n t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o n s a t h e c o m p l e t ef u n c t i o n ss a a n dt h ep o w e rs u m s 皿t a a 2 a a a a z s 1 a 皿 a w ee x t e n dt h ed e f i n i t i o nb yp u t t i n gs a a a 0f o ri a 1 c l e a r l y s a 0 i fn l a i l e t s t a n d sn o wf o rt h ei n f i n i t em a t r i xw i t hd i a g o n a l j i 1f i l l e dw j t h l s a l lo t h e re n t r i e sb e i n go s s i n c ez n i st h em a t r i xw k h1 s i nt h 怠田 遞歸序列與s d mr 函數(shù)穆彥平 t h d i a g o n a la b o v et h em a i nd i a g o n a l a n d0o u t s i d eo fi t w es e et h a to z a i sa nt o e p l i t zm a t r i x i e am a t r i xw i t hc o n s t a n tv a l u e si ne a c hd i a g o n a l t h a t w es h a l ld e n o t eb ys 1 s a s a s j l 盤 j o s o f a 0 0 s 1 a s o f a l 0 s 2 a s 1 a s o a 2 a d d i t i o no rs u b t r a c t i o no fa l p h a b e t ss t i l lc o r r e s p o n dt op r o d u c to fm a t r i c e s s a 士b s a s b 2 1 t h e a d v a n t a g eo fm a t r i c e s c o m p a r e dt of o r m a ls e r i e s i st h a tt h e yo f f e i t l s t h e i rm i n o r s t h a tw es h a hi n d e x b y i n c r e a s i n g p a r t i t i o n s o r m o r e g e n e r a l l y b y v e c t o r sw i t hc o m p o n e n t si nz m o r ep r e c i s e l y g i v e n i l i n z n j j 1 j n z o n ed e f i n e st h es k e ws e h u r 血n c t i o ns j i i a t ob et h em i n o r o f s a t a k e n o i lr o w s i l 1 i 2 2 i n na n dc o l u m n sj l 1 j 2 2 j n 十n f t h em i n o ri s0i fo n eo ft h e s en u m b e r si s k s 一a 0 t h u s t h e e l e m e n t si nn t hc o l u m n o fm a s 一a a r ea l ln u l lf o rn 七h(yuǎn) e n c e d e t m a s 一a s j a d e t m a s 一a r k d e t p j a k k w h e 弛 f k x kd e n o t et h e 七 七s u b m a t r i x o fmt a k e no f ft h ef i r s t 七 o w 8a n d 七 c o l u m n sn o t i n gt h a ts a i sa nu p p e rt r i a n g u l a rm 8 w 8 h 8 8 d e t m a s 一a k k d e t m a k x k d e t s a k m t h e r e f o r e d e tm j a d e t a 阜 釓 0 d e tf m m s 一m s j m d e t m a s 一a k d e t s j a k x k d e t m a k k kd e c s 一a k k d e t s d a k k 曲 a a sac r 0 1 1 a rv 1w e d e r i v e dt h ec l a s s i e a ld e f t n n f s c h u rf u n c t i o 8 8 7 s e c t i o n13 a n d n s e e t i o u7 1 5 1 c o r 0 1 1 a r y2 3 l e tv m b ei n f i n i t ev a n d e v m o d 8m o n f 1 a ln i m 卜j 警 i 1 n k 2 j d 砌v j a 6 et h e d e 把m 2 n n 吖t h es u b m a t r i zo v a t a k e n 引 m 5 j 1 1 2 2 j k f o ro n y j n 2 叫e o 8 a s j a a i ie l e m e n t so fa a f ed i s t i n c t k x a 0a n dh e n c e 乳 a v l m v o a p r o o f c l e a r l y f o ra r t ya a n n 十s t 卜一a n n 一1 s 一a s d a 0 n 七 5 遞歸序列與s c h u r 函數(shù)穆彥平 h e n c e 1 a a 2 i sa r e c u r r e n ts e q u e n c e w i t hc h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l r z a b y t h e o 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u m b e r a n di t sc o n j u g a t e t a k i n gj n 0 i nc o r o l l a r y2 3 w eg e tt h eg e n e r a l t e r mo ft h ef i b o n a c c i s e q u e n c e s e ea l s o 6 1 s a s o 1 a v o n a k o o a 圜 l2 l1 半 7 i1 舉 學(xué) 1 一 學(xué) 1 學(xué)一學(xué) t a k i n g 0 m 1 j 0 n 一2 a n d 正 只 li n c o r o l l a r y24 e i乏2 l sm l h sn 2 a 1f m竺針i lf l m n l 2 3 s i m p l i f y i n gi t v c ed e r i v et h a t s e ea l s oi i 3 厶 厶 1 r 如r 1 7 l m 慷正 遞歸序列與s c h u r 函數(shù)穆彥平 s i m i l a r l y t a k i n gi 0 m 一2 j 0 n 一2 a n dt r 2 w e d e r i v e e s p e c i a l l y f m f m l r 1 一f m 一1 r 一1 最 碟 l 一霹一1 c o r o l l a r y2 5 w eh a v e d e t 皿i 如 扣一2 a 1 s d a 曲 a d e t 皿r s 一2 a 1 s k p r o 町s i n c e1 o n 2 a a o x er e c u r r e n ts e q u e n c e sw i t hc h a r a c t e r m t i c p o l y n o m i a lr z a m e n t i o n e di nt h ep r o o f o fc o r o l l a r y2 3 s od o e st h e i rs u m o a 皿1 a t h i sf a c ta l s or e s u l t sf r o mt h ef o r m u l a so fn e w t o nr e l a t i n gp o 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ec a nt a k et h er o w so f t h e m a t r i x xo f t h ea b o v ec o r o l l a r y t ob es u c c e s s i v e p o w e r so f o l 2 7 2 z m a n d t h er e c u r r e t i ts e q u e n c et ob es 蠡一3 w i t h 蟊o fo r d e rt e s st h a nk w es t i l l d e n o t eb ywt h ef o l l o w i n gd e t e r m u l a n t l 1 l s o f 盎一髀1 s 1 a 一強 囂l x 2 s 1 f a b s 2 f a b 1 r n k 1 一m k 一1 z 象 z s o f 盎一瑤 s 3 a 一弛 s f k 1 f a b s a b s 一1 a 一蕊 s 6 a 一璐 s 2 1 a 一秘 s m 2 t 2 1 a b d e n o t eb yut h ef o l l o w i n gd e t e r m i n a n t 1 1 s 2 1 f a s 1 1 a r 1 善2 z m s 2 f a 碾 s 2 a 一酩 z i 茹 z 象 s 2 盤一弛 s t 3 a 一瑕1 0 一m 一i m 女一1 m 一l s l m 2 1 f 盤一璉 s2 f a b 1 s z 女一1 a 皿 s 十 a 一強 s k k jl a b s 2 m 2 2 1 a 一恐 遞歸序列與s c h u r 函數(shù)穆彥平 a s w ek n o w n t h a t s z 一x s z s 一1 孔 s 1 z z 一1 s 1 一x x s 一m z d s m 一x o t i t s 一x t h es h i nt e r m i n a t i n gb e c a u s et h e 弘 一x a r en u l lf o rh m w i t hx z l 工r r l t h ea b o v ee q u a t i o nm e a n st h a ts u b t r a c t i n gxi nt h el a s tk c o l u m n so fwd o e sn o tc h a n g et h ev a l u eo fwa tt h es a m et i m ei fn m t h e n s z 一x 0 t h u st h es u b m a t r l xt a k e no nt h ef i r s tm r o w sa n dt h el a s tk c o l u m n se q u a l s0 a n dt h ed e t e r m i n a n tt a k e no nt h e a s tkr o w sa n dt h el a s t c o l l l m n s i s s m a b x s m 1 a b x s m l a 一皿一x s i n 2 a b x s k 1 f a b x 1 s a 一曲一藍(lán) s m k i a b x s m k a b x s i n 2 k 1 a b x e x c h a n g i n gt h eia n d 一i li o w s t h ea b o v ee q u a t i o ne q u a l st o s o a b x w i t h 口 m 一1 t h u s 土1 i z 一z s b a b x 1 s i j s m s i m i l a r l y u 土 n n q s t 口 a b x l 至 曼m o n et r a n s f o r l n si ti n t o 6 l e m m a8 s t o a b x 1 s i a s c a b x w h i c hi sa s p e c i a lc a s e o ft h ef a c t o r i z a t i n ap r o p o s i t i o n n o w c o r o l l a r y3 2a l s o h o l d s 1 4 遞歸序期與s c h u r 函數(shù) 橙彥平 4s e q u e n c e sw i t hn e g a t i v ei n d i c e s i nt h i ss e c t i o n w ew i l la s s u m et h a ta l le l 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o ra n yj z 2 y s eh a v e 巧1 1 磺 t 磐 碟j 嗽 t k 1 兒 k 一1 硝 巧1 靠2 1 硝2 巧q 科 旗 嗽 椎 j p r o o t a k i n gm n s u f f i c i e n tl a r g es u c ht h a tj 口 n 2 口 m w eh a v e d e t 丁熱 1 9 彤 s 口 a d e t t s 1 1 r j 口d e t t s i l s s k s b a jd e t t s i 1 1 jd e t 2 r k a n dd e t t s r 1 1 1 女a(chǎn) r et w od i f f e r e n ts h i f t s f c o r o l l a r y2 4c a l lb et r a n s f o r m e di n t o c o r o