江蘇省南京市、鹽城市高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題蘇教版(1).doc

南京市2014屆高三年級(jí)第二次模擬考試 數(shù) 學(xué) 2014.03注意事項(xiàng)：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘2答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙參考公式：柱體的體積公式：vsh，其中s為柱體的底面積，h為柱體的高圓柱的側(cè)面積公式：s側(cè)2rh，其中r為圓柱的底面半徑，h為圓柱的高一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上）1函數(shù)f(x)lnx的定義域?yàn)?2已知復(fù)數(shù)z12i，z2a2i(i為虛數(shù)單位，ar)若z1z2為實(shí)數(shù)，則a的值為 150 200 250 300 350 400 4500.005a0.0010.0040.003o成績/分(第3題圖)3某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績?cè)?00，350)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)共有 k1開始輸出k結(jié)束s6 s1yn ss(k1)2 kk1(第6題圖)4盒中有3張分別標(biāo)有1，2，3的卡片從盒中隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼后放回，再隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼，則兩次抽取的卡片號(hào)碼中至少有一個(gè)為偶數(shù)的概率為 5已知等差數(shù)列an的公差d不為0，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則的值為 6執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的k的值為 xxyo22(第7題圖)7函數(shù)f(x)asin(x)(a，為常數(shù)，a0，0，0)的圖象如下圖所示，則f()的值為 8在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y24x的準(zhǔn)線相交于a，b兩點(diǎn)若aob的面積為2，則雙曲線的離心率為 9表面積為12的圓柱，當(dāng)其體積最大時(shí)，該圓柱的底面半徑與高的比為 10已知|1，|2，aob，則與的夾角大小為 11在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過點(diǎn)p(5，3)作直線l與圓x2y24相交于a，b兩點(diǎn)，若oaob，則直線l的斜率為 12已知f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x2，當(dāng)x1時(shí)，f(x1)f(x)f(1)，且 若直線ykx與函數(shù)yf(x)的圖象恰有5個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為 13在abc中，點(diǎn)d在邊bc上，且dc2bd，abadac3k1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 14設(shè)函數(shù)f(x)axsinxcosx若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)a，b，使得曲線yf(x)在點(diǎn)a，b處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.1(0，1 24 3300 4 52 64 71 8 9 1060 111或 1222 13(，) 141，1二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為矩形，平面pab平面abcd，papb，pbcdea(第15題圖) bpbc，e為pc的中點(diǎn) （1）求證：ap平面bde； （2）求證：be平面pac15證：（1）設(shè)acbdo，連結(jié)oe因?yàn)閍bcd為矩形，所以o是ac的中點(diǎn)因?yàn)閑是pc中點(diǎn)，所以oeap 4分因?yàn)閍p平面bde，oe平面bde，所以ap平面bde 6分（2）因?yàn)槠矫鎝ab平面abcd，bcab，平面pab平面abcdab，所以bc平面pab 8分因?yàn)閍p平面pab，所以bcpa因?yàn)閜bpa，bcpbb，bc，pb平面pbc，所以pa平面pbc 12分因?yàn)閎e平面pbc，所以pabe因?yàn)閎ppc，且e為pc中點(diǎn)，所以bepc因?yàn)閜apcp，pa，pc平面pac，所以be平面pac 14分16(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓o交于點(diǎn)a(x1 ，y1 )，(，)將角終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)b(x2，y2)abdocxy(第16題圖)（1）若x1，求x2；（2）過a，b作x軸的垂線，垂足分別為c，d，記aoc及 bod的面積分別為s1，s2，且s1s2，求tan的值16解：（1）解法一：因?yàn)閤1，y10，所以y1 所以sin，cos 2分所以x2cos()coscossinsin 6分 解法二：因?yàn)閤1，y10，所以y1a(，)，則(，)，2分 (x2，y2)， 因?yàn)閨cosaob，所以x2y2 4分 又x22y221，聯(lián)立消去y2得50 x2230x270 解得x2或，又x20，所以x2 6分 解法三：因?yàn)閤1，y10，所以y1 因此a(，)，所以tan2分 所以tan()7，所以直線ob的方程為y7x 4分 由得x，又x20，所以x2 6分（2）s1sincossin2 8分因?yàn)?，)，所以(，) 所以s2sin()cos()sin(2)cos210分 因?yàn)閟1s2，所以sin2cos2，即tan2 12分 所以，解得tan2或tan 因?yàn)?，)，所以tan214分 17(本小題滿分14分)apmnbc(第17題圖)如圖，經(jīng)過村莊a有兩條夾角為60的公路ab，ac，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠p，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫m、n (異于村莊a)，要求pmpnmn2(單位：千米)如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))解法一：設(shè)amn，在amn中，因?yàn)閙n2，所以amsin(120) 2分在apm中，cosampcos(60) 6分ap2am2mp22 ammpcosampsin2(120)422 sin(120) cos(60) 8分sin2(60) sin(60) cos(60)41cos (2120) sin(2120)4sin(2120)cos (2120)sin(2150)，(0，120) 12分 當(dāng)且僅當(dāng)2150270，即60時(shí)，ap2取得最大值12，即ap取得最大值2apmnbc第17題圖d答：設(shè)計(jì)amn為60時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小14分解法二(構(gòu)造直角三角形)：設(shè)pmd，在pmd中，pm2，pd2sin，md2cos 2分在amn中，anmpmd，amsin，adsin2cos，(時(shí)，結(jié)論也正確)6分ap2ad2pd2(sin2cos)2(2sin)2sin2sincos4cos24sin2 8分sin24sin2cos2sin(2)，(0，) 12分當(dāng)且僅當(dāng)2，即時(shí)，ap2取得最大值12，即ap取得最大值2 此時(shí)aman2，pab30 14分解法三：設(shè)amx，any，amn在amn中，因?yàn)閙n2，man60，所以mn2am2an22 amancosman，即x2y22xycos60x2y2xy4 2分因?yàn)?，即，所以siny，cos 6分cosampcos(60)cossiny8分在amp中，ap2am2pm22 ampmcosamp，即ap2x2422xx24x(x2y)42xy12分因?yàn)閤2y2xy4，4xyx2y22xy，即xy4所以ap212，即ap2當(dāng)且僅當(dāng)xy2時(shí)，ap取得最大值2 答：設(shè)計(jì)aman2 km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小14分 解法四(坐標(biāo)法)：以ab所在的直線為x軸，a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系設(shè)m(x1，0)，n(x2，x2)，p(x0，y0)mn2，(x1x2)23x4 2分mn的中點(diǎn)k(，x2) mnp為正三角形，且mn2pk，pkmnpk2(x0)2(y0x2)23， kmnkpk1，即1， 6分 y0x2(x0)，(y0x2)2(x0)2(1)(x0)23，即(x0)23，(x0)2xx00 x0x2，x0x12x2，y0x1 8分ap2xy(2x2x1)2xx4x2x1x244x1x244212， 12分即ap2 答：設(shè)計(jì)aman2 km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小14分解法五(變換法)：以ab所在的直線為x軸，a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系apmnbcxy設(shè)m(x1，0)，n(x2，x2)，p(x0，y0)mn2，(x1x2)23x4即x4x42x1x242x1x24x1x2，即x1x22 4分mnp為正三角形，且mn2pk，pkmn順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60后得到(x0x1，y0)，(x2x1，x2) ，即x0x1(x2x1)x2，y0(x2x1)x2x02x2x1，y0x1 8分ap2xy(2x2x1)2xx4x2x1x2 44x1x244212， 12分即ap2 答：設(shè)計(jì)aman2 km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小14分apmnbcfe解法六(幾何法)：由運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，可使pmn不動(dòng)，點(diǎn)a在運(yùn)動(dòng)由于man60，點(diǎn)a在以mn為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上，4分設(shè)圓弧所在的圓的圓心為f，半徑為r，由圖形的幾何性質(zhì)知：ap的最大值為pfr 8分在amn中，由正弦定理知：2r，r， 10分fmfnr，又pmpn，pf是線段mn的垂直平分線設(shè)pf與mn交于e，則fe2fm2me2r212即fe，又pe 12pf，ap的最大值為pfr2 答：設(shè)計(jì)aman2 km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小14分18 (本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓c1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，焦距為2，一條準(zhǔn)線方程為x2p為橢圓c上一點(diǎn)，直線pf1交橢圓c于另一點(diǎn)q（1）求橢圓c的方程；（2）若點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0，b)，求過p，q，f2三點(diǎn)的圓的方程；（3）若，且，2，求的最大值（1）解：由題意得 解得c1，a22，所以b2a2c21 所以橢圓的方程為y21 2分 （2）因?yàn)閜(0，1)，f1(1，0)，所以pf1的方程為xy10由 解得或所以點(diǎn)q的坐標(biāo)為(，) 4分解法一：因?yàn)閗pfkpf1，所以pqf2為直角三角形 6分因?yàn)閝f2的中點(diǎn)為(，)，qf2，所以圓的方程為(x)2(y)2 8分解法二：設(shè)過p，q，f2三點(diǎn)的圓為x2y2dxeyf0，則 解得 所以圓的方程為x2y2xy0 8分（3）解法一：設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則(x11，y1)，(1x2，y2)因?yàn)?，所以即所以解得x2 12分所以x1x2y1y2x2(1x2)yx22(1)x2()2(1)() 14分因?yàn)椋?，所以22，當(dāng)且僅當(dāng)，即1時(shí)，取等號(hào)所以，即最大值為 16分解法二：當(dāng)pq斜率不存在時(shí)， 在y21中，令x1得y 所以，此時(shí) 2 當(dāng)pq斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則pq的方程是yk(x1)， 由得(12k2)x24k2x2k220， 韋達(dá)定理 4設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2) ， 則 的最大值為，此時(shí) 819(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)ex，a，br，且a0（1）若a2，b1，求函數(shù)f(x)的極值；（2）設(shè)g(x)a(x1)exf(x) 當(dāng)a1時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)1成立，求b的最大值； 設(shè)g(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求的取值范圍解：（1）當(dāng)a2，b1時(shí)，f (x)(2)ex，定義域?yàn)?，0)(0，)所以f (x)ex 2分令f (x)0，得x11，x2，列表x(，1)1(1，0)(0，)(，)f (x)f (x)極大值極小值由表知f (x)的極大值是f (1)e1，f (x)的極小值是f ()44分（2） 因?yàn)間 (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，當(dāng)a1時(shí)，g (x)(x2)ex因?yàn)間 (x)1在x（0，）上恒成立，所以bx22x在x（0，）上恒成立 8分記h(x)x22x（x0），則h(x)當(dāng)0x1時(shí)，h(x)0，h(x)在（0，1）上是減函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，h(x)0，h(x)在（1，）上是增函數(shù)所以h(x)minh(1)1e1 所以b的最大值為1e1 10分解法二：因?yàn)間 (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，當(dāng)a1時(shí)，g (x)(x2)ex因?yàn)間 (x)1在x（0，）上恒成立，所以g(2)e20，因此b0 6分g(x)(1)ex(x2)ex因?yàn)閎0，所以：當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0，g(x)在（0，1）上是減函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，g(x)在（1，）上是增函數(shù)所以g(x)ming(1)(1b)e1 8分因?yàn)間 (x)1在x（0，）上恒成立，所以(1b)e11，解得b1e1因此b的最大值為1e1 10分解法一：因?yàn)間 (x)(ax2a)ex，所以g (x)(axa)ex由g (x)g (x)0，得(ax2a)ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0存在x1，使g (x)g (x)0成立，等價(jià)于存在x1，2ax33ax22bxb0成立 12分因?yàn)閍0，所以設(shè)u(x)（x1），則u(x)因?yàn)閤1，u(x)0恒成立，所以u(píng)(x)在（1，）是增函數(shù)，所以u(píng)(x)u(1)1，所以1，即的取值范圍為（1，） 16分解法二：因?yàn)間 (x)(ax2a)ex，所以g (x)(axa)ex由g (x)g (x)0，得(ax2a)ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0存在x1，使g (x)g (x)0成立，等價(jià)于存在x1，2ax33ax22bxb0成立 12分設(shè)u(x)2ax33ax22bxb(x1)u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b-2b 當(dāng)b0時(shí)，u(x) 0此時(shí)u(x)在1，)上單調(diào)遞增，因此u(x)u(1)ab因?yàn)榇嬖趚1，2ax33ax22bxb0成立所以只要ab0即可，此時(shí)10 13分當(dāng)b0時(shí)，令x01，得u(x0)b0，又u(1)ab0于是u(x)0，在(1，x0)上必有零點(diǎn)即存在x1，2ax33ax22bxb0成立，此時(shí)0 15分綜上有的取值范圍為（1，） 16分20(本小題滿分16分)已知數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且對(duì)任意nn*，a2n1，a2n，a2n1成等差數(shù)列，a2n，a2n1，a2n2成等比數(shù)列（1）若a21，a53，求a1的值；（2）設(shè)a1a2，求證：對(duì)任意nn*，且n2，都有解：（1）解法一：因?yàn)閍3，a4，a5成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a332d，a43d因?yàn)閍2，a3，a4成等比數(shù)列，所以a2 3分因?yàn)閍21，所以1，解得d2，或d因?yàn)閍n0，所以d 因?yàn)閍1，a2，a3成等差數(shù)列，所以a12a2a32(32d)5分解法二：因?yàn)閍1，a2，a3成等差數(shù)列，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5成等差數(shù)列，則，3分則，解得或（舍），所以。5分解法三：因?yàn)閍1，a2，a3成等差數(shù)列，則，因?yàn)閍2，a3，a4成等比數(shù)列，則3分因?yàn)閍3，a4，a5成等差數(shù)列，則，則解得：或；當(dāng)時(shí)，（與矛盾，故舍去），所以5分（注：沒有舍去一解，扣1分）（2）證法一：因?yàn)閍2n1，a2n，a2n1成等差數(shù)列，a2n，a2n1，a2n2成等比數(shù)列，所以2a2na2n1a2n1， aa2na2n2；所以aa2n2a2n，n2所以2a2n因?yàn)閍n0，所以2 7分即數(shù)列是等差數(shù)列 所以(n1)()由a1，a2及a2n1，a2n，a2n1是等差數(shù)列，a2n，a2n1，a2n2是等比數(shù)列，可得a48分 所以(n1)()所以a2n10分所以a2n2 從而a2n1所以a2n112分 當(dāng)n2m，mn*時(shí)， 0 14分當(dāng)n2m1，mn*，m2時(shí)， 0 綜上，對(duì)一切nn*，n2，有 16分證法二：若n為奇數(shù)且n3時(shí)，則an，an1，an2成等差數(shù)列因?yàn)?，所以9分若n為偶數(shù)且n2時(shí)，則an，an1，an2成等比數(shù)列，所以11分由可知，對(duì)任意n2，nn*， 13分又因?yàn)椋驗(yàn)閍1a2，所以0，即15分綜上，16分南京市2014屆高三年級(jí)第二次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題 2014.03注意事項(xiàng)：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時(shí)間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙21【選做題】在a、b、c、d四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟a選修41：幾何證明選講如圖，abc為圓的內(nèi)接三角形，abac，bd為圓的弦，且bdac過點(diǎn)a作圓的切線與aebcfd第21題a圖db的延長線交于點(diǎn)e，ad與bc交于點(diǎn)f （1）求證：四邊形acbe為平行四邊形； （2）若ae6，bd5，求線段cf的長.a選修41：幾何證明選講解：（1）因?yàn)閍e與圓相切于點(diǎn)a，所以baeacb因?yàn)閍bac，所以abcacb所以abcbae所以aebc因?yàn)閎dac，所以四邊形acbe為平行四邊形4分（2）因?yàn)閍e與圓相切于點(diǎn)a，所以ae2eb(ebbd)，即62eb(eb5)，解得be4根據(jù)（1）有acbe4，bcae6設(shè)cfx，由bdac，得，即，解得x，即cf10分b選修42：矩陣與變換 已知矩陣a的一個(gè)特征值為2，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 （1）求矩陣a； （2）若a，求x，y的值解：（1）由題意，得 2，即 解得a2，b4所以a 5分 （2）解法一：a，即 ， 所以 8分解得 10分解法二：因?yàn)閍，所以a1 7分 因?yàn)閍，所以a1 所以 10分c選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，求曲線r2cos關(guān)于直線(rr)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程解法一：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線r2cos的直角坐標(biāo)方程為 (x1)2y21，且圓心c為(1，0)4分直線的直角坐標(biāo)方程為yx，因?yàn)閳A心c(1，0)關(guān)于yx的對(duì)稱點(diǎn)為(0，1)，所以圓心c關(guān)于yx的對(duì)稱曲線為x2(y1)21 8分所以曲線r2cos關(guān)于直線(rr)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為r2sin10分解法二：設(shè)曲線r2cos上任意一點(diǎn)為(r，)，其關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為(r，)，則 6分將(r，)代入r2cos，得r2cos()，即r2sin所以曲線r2cos關(guān)于直線(rr)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為r2sin10分d選修45：不等式選講已知x，yr，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1證： 因?yàn)閨x5y|3(xy)2(xy)| 5分由絕對(duì)值不等式性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321即|x5y|1 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）某中學(xué)有4位學(xué)生申請(qǐng)a，b，c三所大學(xué)的自主招生若每位學(xué)生只能申請(qǐng)其中一所大學(xué)，且申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的（1）求恰有2人申請(qǐng)a大學(xué)的概率；（2）求被申請(qǐng)大學(xué)的個(gè)數(shù)x的概率分布列與數(shù)學(xué)期望e(x)22（本小題滿分10分）解（1）記“恰有2人申請(qǐng)a大學(xué)”為事件a， p(a) 答：恰有2人申請(qǐng)a大學(xué)的概率為 4分（2）x的所有可能值為1，2，3p(x1)，p(x2)，p(x3)x的概率分布列為：x123p所以x的數(shù)學(xué)期望e(x)123 10分23（本小題滿分10分） 設(shè)f(n)是定義在n*上的增函數(shù)，f(4)5，且滿足：任意nn*，f(n)z；任意m，nn*，有f(m)f(n)f(mn)f(mn1)（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表達(dá)式23解：（1）因?yàn)閒(1)f(4)f(4)f(4)，所以5 f(1)10，則f(1)21分 因?yàn)閒(n)是單調(diào)增函數(shù)， 所以2f(1)f(2)f(3)f(4)5 因?yàn)閒(n)z，所以f(2)3，f(3)4 3分（2）解：由（1）可猜想f (n)n+1 證明：因?yàn)閒 (n)單調(diào)遞增，所以f (n+1)f (n)，又f(n)z， 所以f (n+1)f (n)+1 首先證明：f (n)n+1 因?yàn)閒 (1)2，所以n1時(shí)，命