第4章 命題與證明.doc

第4章 命題與證明本章是實(shí)驗(yàn)幾何過(guò)渡到論證幾何的啟蒙章節(jié)。我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)歐幾里得幾何對(duì)鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，有著其他內(nèi)容無(wú)法代替的作用；然而幾何入門難的問(wèn)題多年來(lái)一直存在。對(duì)于幾何的處理，本套教科書根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，提供了一個(gè)全新的思路。從七年級(jí)上冊(cè)“圖形的初步知識(shí)”一章的實(shí)驗(yàn)入門，到七年級(jí)下冊(cè)“三角形的初步知識(shí)” “圖形和變換” 的實(shí)驗(yàn)為主，開始出現(xiàn)局部推理，到八年級(jí)上冊(cè)“平行線”“特殊三角形”的實(shí)驗(yàn)，開始向推理過(guò)渡，再到本章開始有固定格式的論證幾何，因?yàn)橛辛艘荒臧霂缀胃行哉J(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，初步的識(shí)圖能力，簡(jiǎn)單的推理能力，再學(xué)習(xí)高層次的論證幾何，自然就有了一定的準(zhǔn)備和基礎(chǔ)。 本章內(nèi)容處于“實(shí)驗(yàn)幾何”與“論證幾何”的交接點(diǎn)上，它對(duì)學(xué)生順利地轉(zhuǎn)入論證幾何的學(xué)習(xí)，有著重要的思維潤(rùn)滑作用。能有效地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)論證幾何的必要性，繼而為下階段的學(xué)習(xí)鋪平了道路。學(xué)生在認(rèn)識(shí)幾何證明的必要性方面是本節(jié)教學(xué)的第一個(gè)難點(diǎn)與重點(diǎn)。學(xué)生已有一年半的實(shí)驗(yàn)幾何的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，固然對(duì)后階段的學(xué)習(xí)有很重要的奠基作用，但也有一定的負(fù)遷移作用。學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于從“量一量” “算一算”及圖形運(yùn)動(dòng)變換中直接得出圖形性質(zhì)，并有了一定的初級(jí)、簡(jiǎn)單推理時(shí)充當(dāng)理由的使用歷史，即基本默認(rèn)了這些性質(zhì)。因此，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到幾何證明的必要性便成為本章的一個(gè)難點(diǎn)。掌握證明的一般步驟與格式是本章教學(xué)的第二個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)。本章教學(xué)時(shí)間約需10課時(shí)，具體安排如下：4.1 定義與命題 2課時(shí)4.2 證明 3課時(shí)4.3 反例與證明 1課時(shí)4.4 反證法 1課時(shí)復(fù)習(xí)評(píng)價(jià)2課時(shí)，機(jī)動(dòng)1課時(shí)合計(jì) 10課時(shí)一、 教科書內(nèi)容和課程教學(xué)目標(biāo)1、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框架圖如下：2、本章的教學(xué)目標(biāo)如下：了解定義、命題、定理的含義，會(huì)區(qū)分命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論。會(huì)在簡(jiǎn)單情況下判斷一個(gè)命題的真假。理解反例的作用，知道利用反例可證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。了解證明的含義，理解證明的必要性，體會(huì)證明的過(guò)程要步步有據(jù)。會(huì)根據(jù)一些基本事實(shí)證明簡(jiǎn)單命題。通過(guò)實(shí)例，體會(huì)反證法的含義。了解反證法的基本步驟。初步會(huì)綜合運(yùn)用命題、證明以及相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。二、本章編寫特點(diǎn)1、教材內(nèi)容生活化且富有情趣，加強(qiáng)與生活和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)以及現(xiàn)代社會(huì)和科技發(fā)展的聯(lián)系，知識(shí)由此變得鮮活起來(lái)，讓學(xué)生有親近感。如在反證法一節(jié)中，用路邊苦李的故事引入課題，讓學(xué)生體會(huì)反證法就在生活中，數(shù)學(xué)就在生活中。又課本在定義與命題這節(jié)中所選擇的素材和問(wèn)題有來(lái)自生活的、自然學(xué)科的、社會(huì)的及其數(shù)學(xué)自身的，將數(shù)學(xué)與自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)有機(jī)整合。2、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“證明的教學(xué)所關(guān)注的是對(duì)證明必要性的理解，”教材不僅提供了為數(shù)不少的引起視覺錯(cuò)誤的圖形，還結(jié)合閱讀材料“費(fèi)馬和他的猜想”，從不同角度讓學(xué)生體會(huì)到證明的必要性。在如何讓學(xué)生理解證明的必要性方面可謂頗費(fèi)心機(jī)。3、重視反例的構(gòu)建。傳統(tǒng)教材只在命題的真假教學(xué)時(shí)中提到“反例”。而本套教材不惜重墨，單獨(dú)編寫一節(jié)“反例與證明”。這是為了在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地使用反例，并加強(qiáng)對(duì)反例構(gòu)建方法的指導(dǎo)，這對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展是大有裨益的。三、教學(xué)建議1、本章是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)論證幾何的起步階段。推理形式從歸納推理為主體，轉(zhuǎn)變?yōu)檠堇[推理為主體，邏輯性加強(qiáng)，推理表達(dá)要求嚴(yán)格規(guī)范是本章的特點(diǎn)。教學(xué)中應(yīng)精心設(shè)計(jì)使學(xué)生從直觀幾何到論證幾何，從歸納推理到演繹推理的過(guò)渡階梯。要重視范例的分析過(guò)程教學(xué)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)逆思維的方法。初學(xué)論證幾何，無(wú)論是分析證明思路，還是寫證明過(guò)程，學(xué)生都會(huì)感到困難，應(yīng)多作示范。2、在講解命題的概念時(shí)，應(yīng)通過(guò)生活和數(shù)學(xué)的實(shí)例來(lái)說(shuō)明什么是命題；能夠區(qū)分一個(gè)簡(jiǎn)單命題的真?zhèn)?。教師可通過(guò)生活、代數(shù)、幾何中的具體例子使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，有些命題可以通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)得到，并獲得大家的認(rèn)可，但也有些命題僅僅通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)是不夠的，從而體會(huì)證明的必要性。3、用反證法證題時(shí)，由于要假設(shè)待證明的命題的結(jié)論不成立，就需考慮結(jié)論的反面可能出現(xiàn)的各種情況。如果結(jié)論的反面只有一種情況，那么只需否定這種情況；如果結(jié)論的反面不止一種情況，那么必須把各種情況全部列舉出來(lái)，并加以否定，才能肯定原命題的正確。但課本中沒有出現(xiàn)這類問(wèn)題，教學(xué)時(shí)不必補(bǔ)充。教學(xué)中可以通過(guò)生活實(shí)際和簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)例子，使學(xué)生體會(huì)反證法的思想，但在義務(wù)教育階段不必給出反證法的證明格式。4、舉反例和證明同樣重要，注重反例教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、靈活性，以及注重反例構(gòu)建培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性和創(chuàng)新性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已越來(lái)越被人們重視和認(rèn)可。反例構(gòu)建還是誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的很好載體。教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢?，更重要的是要善于引?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實(shí)際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情境。因此，構(gòu)建反例的過(guò)程也是學(xué)生發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓(xùn)練過(guò)程。 5、關(guān)于設(shè)計(jì)題。本章的設(shè)計(jì)題“費(fèi)馬點(diǎn)”向?qū)W生提供了充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，讓他們經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、想像、分析、猜測(cè)、交流、驗(yàn)證和推理等過(guò)程，使他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^(guò)程中，真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，思想和方法，同時(shí)獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，而教師則成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和交流者。教師可將“設(shè)計(jì)活動(dòng)”當(dāng)